数学建模论文优秀论文

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题目： 最佳购房方案

第 02组

学号 0807050216 李长旭 哈理工大学应科院

摘要：

本文是关于购房优化设计问题，即在以下给出的三种购房方式中，确定最佳的

购房方案：

（1）首付15万元，其余可办银行按揭。 （2）现房价不稳，同时目前股市看涨，推迟买房，先把购房的15万元去买股票，

等股票赚了钱再去买房子。

（3）现在某银行又一种理财产品，除有2.1%保息之外，还有分红。若运气好，

又10%以上的利率。 根据题意，建立了三个数学模型。

模型一：利用银行按揭的相关知识建立银行按揭的数学模型计算出月供金额和供房期限

模型二：根据股票相关的知识，以及股市行情走势和收集的相关数据，利用

Markowitz模型及二次规划建立一套数学方法，来解决如何通过多元化的组合降低组合资产中的风险问题，并用证券价格的评估模型的固定增长模型计算出预期股利的现在价。

模型三：根据某银行的实际情况，及收集到的相关数据，建立银行理财分红模型。

由于模型二的方法风险较大但有较高的收益作为补偿，而模型一还款期限太长并且没有收益，模型三收益太少且延迟了买房时间，所以满足题目要求的最终方案是模型二。

最后，对设计规范的合理性进行了充分和必要的论证。

关键词： 按揭 Markowitz模型 股利 银行利率 预期股利的现在

价 分红 风险系数

问题分析

小李夫妻俩都有一份固定的工作，每个月都有6400元的工资收入，现今租用别人的房子，房租为1000/月，但需要买一套属于自己的住房，面积120平米，价格3600/平米。

现有三种方案可以使小李买到属于自己的住房： 方案一、首付15万元，其余可办银行按揭。

对于此方案，小李只要支付首付款，则可立即入住，就不需要再交房租，不过现在又存在一个问题，到底是使用等额本息还款法（即：等额法）还是等额本金还款法（即：递减还款法），鉴于这两种方法还款，由于等额本息还款法（即：等额法）的优点在于借款人可以准确掌握每月的还款额，有计划地安排家庭的收支。比较方便、易记。缺点是利息支出总额相对较高，适合收入稳定，预期收入变化不大，购买住房用于自住的客户； 而等额本金还款法（即：递减还款法）的优点在于利息支出相对较少，缺点是每月还款额逐步递减，前期还款压力较大。适合目前收入较高或按等额还款法计算月还款额占家庭月收入的比例较小，但预期收入不确定的购买住房用于自住的客户。

根据小李有稳定工作并且有固定的收入所以采用等额还款方式。

方案二、现房价不稳，同时目前股市看涨，推迟买房，先把购房的15万元去买股票，等股票赚了钱再去买房子。

针对此方案，又存在一个问题，因为小李没有炒股经验，在一定程度上股票市场的风险较大，这是一个未知数，同时，再未买房期间，需要月付1000元来租房。所以要根据目前的股市行情来进行具体分析。

方案三、现在某银行又一种理财产品，除有2.1%保息之外，还有分红。若运气好，又10%以上的利率。

针对此方案，表面看似风险低，并且存在一定的收益，但是否真的符合小李的实际情况，任需要通过对银行的情况进行确实的分析。

二、问题的假设

方案一的模型假设：

1、当支付首付款后，保证用户立即入住。

2、不考虑物价变化、货币贬值以及房价起伏等经济波动的影响。

方案二的模型假设：

1、 2、

股利以恒定的增长率增长 银行利率基本不变

3、 政治、经济行势基本稳定。

4、 股票投资时限为六个月。 方案三的问题假设：

1、该产品为招商银行名为“金葵花”的一种有效期为6个月的理财产品

三、模型的建立及求解

方案一、房贷按揭等额还款方式模型的建立

因为小李夫妻每月有固定的6400元工资，每次固定月供，符合小李的实际情况 设贷款总额为p元，银行年利率为r，计划办理n年银行按揭，每期偿还A元，则n期

分析：考虑资金的时间价值，不能简单地平均处理。应考虑偿

还值的折现。一般以一个月为一期，月末偿还，年息为r，月息i=r/12， 还款折现为现在价值的总和应等于贷款总额(不考虑手续费及 中间交易税等项)。

第一期还款A元的折现值为

A1i

A

第二期还款A元的折现值为 „„„„„„„„„„„

(1i)A

2

第n期还款A元的折现值为

A1i

A

(1i)



n

A(1i

n

P

(1i)

n

2

)

所以

A1

1i1i

i1(1i

n

故 AP

)

上述公式即银行按揭的数学模型，又称资金还原公式(已知P求A)。

i1(1i)

n

称为资金还原系数，常用(A/P，i，n)表示，可查复利计算表。

经计算所得结果如下：

模型优缺点：没有风险，首付款后可以立即入住，免交房租，偿还年限长，付给银行的贷款利息较多。

方案二、股票购买的模型建立

现选取上海证券交易所的股票(中国石化、紫金矿业)和深圳证券交易所的股票（粤电力Ａ）进行分析，它们分别属于工业类、商业类和房地产类几大行业，相关性较小，可认为是不相关的风险资产。原始数据选自2008年3月至2009年4月各种股票的每日收盘价，下表为根据原始数据计算所得的期望收益率与方差。

股票收益率与方差

Markowitz模型为以下模型: 不相关风险资产投资优化模型

假设投资者只对不相关风险资产进行组合投资，上述模型中

ij0ij，Markowitz模型简化为：

n

min

n

2





i1

ixi

22



xiri1i1

S.T

n

xi1,xi0,i1,2,,ni1

min

2

0.25x10.27x2

22

0.3x3

2

0.1x10.11x20.15x3



S.Tx1x2x31



x1,x2,x30

用旋转迭代算法求解：

0.25H0

0

00.270

0

00.3

为正定矩阵。

0.1

A

1

0.11

0.15

1

1

0.12

b

1

0

c0

0

松驰变量个数为0，非负变量个数为3，即s=3，t=3，用旋转迭代算法求最

优解结果如下：

x130%x225%x345%

求出投资组合的方差

2=W·VPV·W

25%00

027%0



0

30%0

=

25%

00

30%

27%0

25%

45%

1

0.60.5

0.610.3

0.5

0.3

1



0

30%30%

25%

45%

=5.01%



=

2

=

5.01%

22.4%（风险率）

中国石化股票，紫金矿业股票，粤电力Ａ股票股利在最近两月内分将10％，11％，15％的比率增长， 经估计，适当的折现率为10％。股票前一月的股利分别为1.2元,2.4元,3.2元.

券价格的评估模型的固定增长模型

假设股利以恒定的增长率g增长，设第一年股利为D，则第 二年股利为D(1+g)，第三年股利为D(1+g)2„„r为银行利率. 股票的价格W则为各期股利的折现之和，即：

D(1g)

W=2

1+r(1r)

D

D(1g)(1r

nn1

)



1g1rg1r

D

n

计算每一月的增长率与股利估计，并求出预期股利的现在价值。

中国石化预期股利的现在价。(即股份)为：

W

1.3210.003



1.32(10.1)(10.03)

2



1.32(10.1)(10.03)

6

2

3



1.32(10.1)(10.03)

6

5

10.10

10.030.1010.03

1.32

=9.120341

紫金矿业预期股利的现在价。(即股份)为：

W

2.66410.003



2.664(10.11)(10.03)

2



2.664(10.11)(10.03)

6

2

3



2.664(10.11)(10.03)

6

5

10.11

10.030.1110.03

2.664

=4.019985

粤电力Ａ预期股利的现在价。(即股份)为：

W

3.6810.003

3.68



3.68(10.15)(10.03)

2



3.68(10.15)(10.03)

6

2

3



3.68(10.15)(10.03)

6

5

10.15

10.030.1510.03

=28.739327

六个月后预期投资报酬E=150000*30%*（9.120341-1.2）+150000*25%*（4.019985-2.4）+150000*45%*（28.739327-3.2）=380422.449元 模型优缺点：分散投资，可以减少风险，收益大，但风险相对大。

方案三、银行一种理财产品分红模型的建立

设投入理财产品的金额为X，保证一定得到的年利率为a，运气好时可以得到的年利率为b，最终所得利息为W.

min

w



maxw

min

w

Xa,Xb,Wmax

w

0a10b1

该产品有效期为6个月，故保证一定得到的利率为a/2，运气好时可以得到的利

率为b/2。已知a=2.1%,b=10% 根据题意得，

1575W7500，

151575

WX157500

模型优缺点：没有风险，在一定程度上存在收益，但收益较少，在购房前要付房租，延迟了小李夫妻俩买房时间。

模型的评估：

综合方案二和方案三，明显看出，方案二虽然风险高，但有较高的收益作为补偿，投资者为获得较高收益愿承担一定风险，所以满足题目要求的最终方案是模型二，即为先买股票后买房的方案。

附录（主要参考文献及资料）

[1] Cormac Butler著《风险值概论》 上海财经大学出版社 2001

[2]徐国详主编 《统计预测与决策》 上海财经大学出版社 1998

[3]刘平著 《证券投资在美国》 经济管理出版社 2000

[4]李向科主编 《证券投资分析》 中国人民大学出版社 1998

[5]严武、李海东 《风险统计与决策分析》 经济管理出版社 2001

[6]盛聚主编

高等教育出版社 2001

第 11 页 共 11 页 《概率论与数理统计》