数列极限的收敛准则
第一讲 数列极限
一、数列极限的收敛准则 1. 数列极限的夹逼准则
a) 数列{x n },{y n
},{z n
}满足:
i. y n #x n
z n (n N 0)
ii.
n lim
y n =n lim
z n =a
则数列{x n }
的极限存在,且n lim
x n =a b) 例1、求极限n !
n lim
n n
=0 注:n ! =1鬃
23L n 11例2、求极限lim 1+2n
+n n
n
n
(3
)
注:n lim
a
=1 (a>0)
骣1n
练习:1、 1n n lim ç? çç桫1+n +1
n ÷÷2÷÷ 注:运用重要极限n lim(1 +n
) =e 2
、求
n ?
lim
(其中 a 1, a 2, L , a k 为正常数, k ÎZ +. ) 2. 单调数列的收敛准则
a) 单调增加有上界的数列必收敛; b) 单调递减有下界的数列必收敛; 通常说成:单调有界的数列必收敛。 例1. 证明lim(11n
) n
n
+
=e 注:补充二项式定理 例2.
设x 1=10,x n +1={x n }极限存在,并求其极限。 例3.
设x 1=
x n +1=
{x n }极限存在,并求其极限。
注:补充数学归纳法 例1、证明1+3+L +(2n -1) =n 2 例2
、证明1+
+
+L +
收敛是否可推出数列x n
}收敛?反之是否成立?
1
3、数列x n 为有界数列,且lim y n =0,数列数列x n y n 是否收敛?
n
{}{}
二、收敛数列的性质
1. 极限的唯一性。
2. 有界性。问题:有界数列是否收敛?
3. 保号性。问题:若x n >0 (" n N) ,且lim x n =a ,是否一定有a >0?
n
4. 收敛数列的子数列必收敛。
思考:(1)数列x n 与y n 都发散,是否数列x n y n 与x n +y n 也都发散? (2)若子列x 2n -1与x 2n 均收敛,则数列x n 是否收敛? (3)设x 1>0,x n +1
{}{}{}{}
{}{}
{}
1骣1÷÷=çx +,证明数列{x n }极限存在,并求其极限。 ç÷n ç÷2çx n 桫
1
n n
(4)求lim 2+3+4
n
(
n n
骣12n ÷÷(5)求lim ++L +÷222n ÷n +n +1n +n +2n +n +n 桫
(6)设数列x n 满足:0
n
{}
限。
ìïn 2+ïï 当n 为奇数ïn (7
)数列x n =í,则当n ï1ï 当n 为偶数ïïn ïî
时,x n 是
A 无穷小量 B 无穷大量 C 有界变量 D 无界变量
2