3直线和圆中的最值问题
直线和圆中的最值问题
方法总结:
1、直线与原的焦点问题总是转化成圆心到直线的距离和半径间的比较,或者利用方程有解的问题;
2、圆上一点到直线距离的最值问题总是转化成求圆心到定直线的距离; 3、有些最值问题要注意向函数问题转化; 4、抓住式子的几何意义。 一、到圆心距离的最值问题
例1:已知P 是直线3x +4y +8=0上的动点,PA , PB 是圆x 2+y 2-2x -2y +1=0的两条切线, A , B 是切点,C 是圆心,求四边形PACB 面积的最小值。
二、到圆上一点距离的最值问题
例2:已知P 是圆x 2+y 2=1上一点,Q 是直线l :x +2y -5=0上一点,求
PQ 的最小值。
三、与圆上一点的坐标有关的最值问题
例3:已知定点A (-1,0), B (1,0)和圆(x -3)+(y -4)=4上的动点P ,求使PA +PB 最值时点P 的坐标。
⎛2128⎫
P , ⎪时, x 2+y 2最大为100 ⎝55⎭
练习1:求实数x , y 满足x 2+(y -1) 2=1, 求下列各式的最值:
y +222
()13x +4y (2)x +y (3x +1
4
(1)最大值为9,最小值为-1,(2)最大值为4,最小值为0,(3)小值为,无最大值
3
四、与圆半径有关的最值问题
2
2
22
x ≥0⎧
122⎪
例4:设x ,y 满足⎨y ≥x 求(x -1)+(y -3)
25⎪4x +3y ≤12
⎩
练习2:已知圆C :x 2+y 2+2x -4y +3=0
(1). 若圆C 的切线在x 轴和y 轴上截距相等,求切线的方程;
(2). 从圆C 外一点P (x , y )向圆引切线PM ,M 为切点,O 为坐标原点,且PM
求使PM 最小的点P 的坐标。
=PO ,
⎛33⎫
y =2±x , x +y +1=0或x +y -3=0,P -, ⎪
⎝105⎭
(练习3:已知∆ABC 三个顶点坐标A (0,0), B (4,0), C (0,3),点P 是它的内切圆上一点,求以
PA , PB , PC 为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值。
解: ∆ABC 的三边长分别为3,4,5∴∆ABC 是以A 为直角顶点的Rt ∆
∴内切圆的圆心(1,1),半径r =1∴内切圆的方程为(x -1)+(y -1)=1即x +y -2x -2y +1=0
2
2
22
设P 点坐标为(x , y )
∴S =
π
4
(
PA +PB +PC
222
)
=
π⎡2π22
x +y 2+(x -4)+y 2+x 2+(y -3)⎤=(11-x )
4⎣
⎦
2
0≤x ≤2∴当x =0时,S max =
119π;当x =2时,S min =π 22
练习4:设圆满足:(1)截y 轴所得弦长为2;(2)被x 轴分成两圆弧,其弧长比为3:1。解法一:设圆心C (a , b ) , 半径r , 则C 到x 轴, y 轴距离分别为|b |,|a |.
由已知应有圆C 截x 轴所得劣弧的圆心角为
在满足条件(1)(2)的所有圆中,求圆心到直线l :x -2y =0的距离最小的圆的方程。
π
2
,故|b |=
r 即2b 2=r 2,2
截y 轴所得弦长为2,得a 2+1=r 2,得
a 2+1=2b 2,
圆心C 到直线l :x -2y =0的距离∴d =
5d 2=|a -2b |2=a 2-4ab +4b 2≥a 2+4b 2-2(a 2+b 2) =2b 2-a 2=
1
“=”当且仅当a =b 时成立,此时d min =
,⎧a 2+1=2b 2⎧a =1⎧a =-1
⇒r =⇒或⎨⎨⎨
⎩b =1⎩
b =-1⎩a =b
22
∴所求圆方程:(x +1)+(y +1)=2或(x -1) 2+(y -1) 2=2
解法二:d =
sin θ令=k
cos θ-
k 可看成单位圆x 2+y 2=1上动点P (cosθ,sin θ) 与定点Q 连线的斜率
π3π
θ=或时, PQ 与单位圆相切,|k |取到最小,下同。
44
高考中的直线和圆的最值问题
1、已知圆O 的半径为1,PA 、PB 为该圆的两条切线,A 、B 为两切点,那么PA ∙PB 的最小值为
(A) -4
(B)-3
(C) -4+
(D)-3+
2、(湖南卷)若圆x 2+y 2-4x -4y -10=0上至少有三个不同点到直线l :ax +by =0的距
离为则直线l 的倾斜角的取值范围是 ( ) A .[
ππ
124,
] B .[
π5ππππ
, ] C .[, ] D . [0,] 1212263
解析:圆x
2+y 2-4x -4y -10=0整理为(x -2) 2+(y -2) 2=2,∴圆心坐标为(2,2) ,半径为32,要求圆上至少有三个不同的点到直线l :ax +by =0的距离为22,则圆心到直线的距离应小于等于2, ∴
a a
(2+4() +1≤0,
b b a
b π5π
取值范围是[,选B .
1212
2
∴
-2-() ≤-2+k =-() ,∴
22l 的倾斜角的
a b
3、已知M={(x,y)|y=2a -x ,a>0},N={(x,y)|(x-1)2+(y-) 2=a2,a>0}.M N ≠∅,a 的最大值与最小值的和是__________.
4、如图,A ,B 是直线l 上的两点,且AB =2A ,B 点,C 是这两个圆的公共点,则圆弧AC ,CB 与
2
线段AB 围成图形面积S 的最大值是 . 2-
π 2
5、设集合A ={(x , y ) |
m
≤(x -2) 2+y 2≤m 2, x , y ∈R }, 2
B ={(x , y ) |2m ≤x +y ≤2m +1, x , y ∈R }, 若A ⋂B ≠φ, 则实数m 的取值范围是____.
答案:
1
≤m ≤2. 2
解析:当m ≤0时,集合A 是以(2,0)为圆心,以m 为半径的圆,集合B 是在两条平行
线之间,(2,0
)在直线的上方+m =(1m +>0 d >r ,又因为
2A ⋂B ≠φ, 此时无解;
当m >0时,集合A 是以(2,0
m 为半径的圆环,集合B 是在两条平行线之间,必有当2m +1≤2, m ≤
11时, 只要
≤m ⇒1-≤m ≤. 222当2m ≥2, m ≥1时, 只要
, ≤m ⇒1≤m ≤2+1
≤m ≤1时, 一定符合A ⋂B ≠φ, 2
m 12
又因为A ≠
φ, ≤m , ∴≤m ≤2.
22
当2m ≤2, 2m +1≥2⇒
本题主要考查集合概念, 子集及其集合运算、线性规划, 直线的斜率, 两直线平行关系, 点到直线的距离, 圆的方程, 直线与圆的位置关系、含参分类讨论、解不等式,及其综合能力. 6、已知定点P (6,4)与定直线l 1:y=4x,过P 点的直线 与l 1交于第一象限Q 点,与x 轴正半轴交于点M ,求使△OQM 面积最小的直线l 方程。
直线是过点P 的旋转直线,因此是选其斜率k 作为参数,还是选择点Q (还是M )作为参数是本题关键。
通过比较可以发现,选k 作为参数,运算量稍大,因此选用点参数。 设Q (x 0,4x 0),M (m ,0)∵ Q,P ,M 共线∴ kPQ =kPM ∴
4-4x 05x 04=m =解之得: ∵ x0>0,m>0 ∴ x0-1>0
6-x 06-m x 0-1
∴ S ∆OMQ
10x 021
=|OM |4x 0=2m x 0= 2x 0-1
10(t +1) 21
=10(t ++2) ≥40 令x 0-1=t,则t>0 S =
t t
当且仅当t=1,x 0=11时,等号成立 此时Q (11,44),直线 :
x+y-10=0
7、已知三条直线l 1: mx-y+m=0, l2: x+my-m(m+1)=0, l 3: (m+1)x-y+m+1=0围成ΔABC,求m 为何值时,ΔABC的面积有最大值、最小值。 [解]记l 1, l2, l3的方程分别为①,②,③。在①,③中取x=-1, y=0,知等式成立,所以A(-1, 0)为l 1与l 3的交点;在②,③中取x=0, y=m+1,等式也成立,所以B(0, m+1)为l 2与l 3的交点。设l 1, l2斜率分别为k 1, k2, 若m ≠0,则k 1•k2=m -
1⎛1⎫
由点⎪=-1, SΔABC=|AC |⨯|BC |,
2m ⎝⎭
,|BC|=
到直线距离公式|AC|=
|-1-m 2-m |
+m
2
=
|m 2+m +1|
m +1
2
|-m -1+m |+m
2
=
1+m
2
。
1m 2+m +11⎛m ⎫32
所以S ΔABC=⨯。因为2m≤m+1,所以S ≤。又因为=1+ ⎪ΔABC22
422⎝m +1⎭m +1
1m 1
≤2,所以S ΔABC≥. 2m +14
31
当m=1时,(S ΔABC)max =;当m=-1时,(S ΔABC)min =.
44
-m 2-1≤2m,所以-
8、已知⊙O 是单位圆,正方形ABCD 的一边AB 是⊙O 的弦,试确定|OD|的最大值、最小
值。
[解] 以单位圆的圆心为原点,AB 的中垂线为x 轴建立直角坐标系,设点A ,B 的坐标分别为A(cosα,sinα),B(cosα,-sinα),由题设|AD|=|AB|=2sinα,这里不妨设A 在x 轴上方,则α∈(0,π).由对称性可设点D 在点A 的右侧(否则将整个图形关于y 轴作对称即可),从而点D 坐标为(cosα+2sinα,sinα),
22
所以|OD|=(cosα+2sin α) +sin α=
4sin 2α+4sin αcos α+1
=2(sin2α-cos 2α) +3=
π⎫⎛
3+22sin 2α-⎪.
4⎭⎝
因为-22≤22sin 2α-当α=
⎛
⎝
π⎫
⎪≤22,所以2-1≤|OD |≤2+1. 4⎭
37
π时,|OD|max =2+1;当α=π时,|OD|min =2-1. 88
9、已知函数S=x+y,变量x, y满足条件y 2-2x≤0和2x+y≤2,试求S 的最大值和最小值。
10、A ,B 是x 轴正半轴上两点,OA=a,OB=b(a