微积分的发展历程.2

微积分的发展历程

数学学院 [1**********]4 汤明明

微积分的创立，被誉为“人类精神的最高胜利”，在18世纪，微积分进一步深入发展，这种发展与广泛的应用紧密交织在一起，刺激和推动了许多数学新分支的产生，从而形成了“分析”这样一个在观念和方法上都具有鲜明特点的数学领域。在数学史上，18世纪可以说是分析研究的时代，也是向现代数学过渡的重要时期。

1） 微积分的发展

无限小算法的推广，在英国和欧洲大陆国家是循着不同的路线进行的。不列颠的数学家们在剑桥、牛津、伦敦和爱丁堡等著名的大学里教授和研究牛顿的流数术，他们中的优秀代表有泰勒（B.Taylor ）、麦克劳林

（C.Maclaurin ）、棣莫弗（A.de Moivre）、斯特林（J.Stirling ）等。泰勒（1685_1731）做过英国皇家学会秘书。他在1715年出版的《正的和反的增量方法》一书中，陈述了他早在1712年就已获得的著名定理 其中v 为独立变量z 的增量， 和 为流数。泰勒假定z 随时间均匀变化，故 为常数，从而上述公式相当于现代形式的“泰勒公式”： 泰勒公式使任意单变量函数展为幂级数成为可能，是微积分进一步发展的有力武器。但泰勒对该定理的证明很不严谨，也没有考虑级数的收敛性。泰勒公式在x=0时的特殊情形后来被爱丁堡大学教授麦克劳林重新得到，现代微积分教科书中一直把x=0时的泰勒级数称为“麦克劳林级数”。麦克劳林（1698_1746）是

牛顿微积分学说的竭力维护者，他在这方面的代表性著作《流数论》，以纯熟却难读的几何语言论证流数方法，试图从“若干无例外的原则”出发严密推演牛顿的流数论，这是使微各分形式化的努力，但因囿于几何传统而并不成功。《流数论》中还包括有麦克劳林关于旋转可耻椭球体的引力定理，证明了两个共焦点的椭球体对其轴或赤道上一个质点的引力与它们的体积成正比。麦克劳林之后，英国数学陷入了长期停滞的状态。微积分发明权的争论滋长了不列颠数学家的民族保守情绪，使他们不能摆脱牛顿微积分学说中弱点的束缚。与此相对照，在英吉利海峡的另一边，新分析却在莱布尼茨的后继者们的推动下蓬勃发展起来。

2）积分技术与椭圆积分

18世纪数学家们以高度的技巧，将牛顿和莱布尼茨的无限小算法施行到各类不同的函数上，不仅发展了微积分本身，而且作出了许多影响深远的新发现。在这方面，积分技术的推进尤为明显。当18世纪的数学家考虑无理函数的积分时，他们就在自己面前打开了一片新天地，因为他们发现许多这样的积分不能用已知的初等函数来表示。例如雅各布•伯努利在求双纽线（在极坐标下方程为 ）弧长时，得到弧长积分 。在天文学中很重要的椭圆弧长计算则引导到积分 。欧拉在1774年处理弹性问题时也得到积分 。所有这些积分都属于后来所说的“椭圆积分”的范畴，它们既不能用代数函数，也不能用通常的初等超越函数（如三角函数、对数函数等）表示出来。椭圆积分的一般形式是 。勒让德后来将所有的椭圆积分归结为三种基本形式。在18世纪，法尼亚诺、欧拉、拉格朗日和勒让德等还就特

殊类型的椭圆积分积累了大量结果。对椭圆积分的一般研究在19世纪20年代被阿贝尔和雅可比分别独立地从反演的角度发展为深刻的椭圆函数理论。

3）微积分向多元函数的推广

虽然微积分的创立者已经接触到了偏微商和重积分的概念，但将微积分算法推广到多元函数而建立偏导数理论和多重积分理论的主要是18世纪的数学家。1720年，尼古拉. 伯努利证明了函数 在一定条件下，对x,y 求偏导数其结果与求导顺序无关，即相当于有 欧拉在1734年的一篇文章中也证明了同样的事实。在此基础上，欧拉在一系列的论文中发展了偏导数理论。达朗贝尔在1743年的著作《动力学》和1747年关于弦振动的研究中，也推进了偏导数演算。不过当时一般都用同一个记号d 表示通常导数与偏导数，专门的偏导数记号 、 、…到19世纪40年代才由雅可比在其行列式理论中正式创用并逐步普及，虽然拉格朗日在

1786年曾建议使用这一符号。多重积分实际上已包含在牛顿关于万有引力的计算中，但牛顿使用了几何论述。在18世纪，牛顿的工作被人以分析的形式推广。1748年欧拉用累次积分算出了表示一厚度为 的椭圆薄片对其中正上方一质点的引力的重积分： ，积分区域由椭圆 围成。到1770年左右，欧拉已经能给出计算二重定积分的一般程序。而拉格朗日在关于旋转椭球的引力的著作中，用三重积分表示引力，并开始了多重积分变换的研究。

4）无穷级数理论

微积分的发展与无穷级数的研究密不可分。牛顿在他的流数论中自由运用无穷级数，他凭藉二项式定理得到了sinx ，cosx ，tanx ，arcsinx ，arctanx 和 等许多函数的级数。泰勒级数则提供了将函数展成无穷级数的一般方法。在18世纪，各种初等函数的级数展开陆续得到，并在解析运算中被普遍用来代表函数而成为微积分的有力工具。莱布尼茨也曾独立地得到了sinx,cosx, 和arctanx 等的级数，但他却对微积分问题的有限或封闭形式的解更感兴趣，他的学生们弥补了这方面的不足。尤其是雅各布. 伯努利，他在1689——1704年间撰写了5篇关于无穷级数的论文，使他成为当时这一领域的权威，这些论文的主题也是关于函数的级数表示及其在求函数的微分与积分、求曲线下的面积和曲线长等方面的应用。这些构成了雅各布. 伯努利对微积分算法的重要贡献。但就级数理论本身而言，其中一个很有启发性的工作是关于调和级数 的和是无穷的证明。这意味着可将原级数中的项分组并使每一组的和都大于1，于是我们总可以得到调和级数的有限多项的和，使它大于任何给定的量。调和级数的讨论引起了对发散级数的兴趣并产生了许多重要的结果，特别是利用发散级数而获得的一些著名的数值逼近公式。例如，斯特林在1730年得到一个发散的级数表示：它相当于利用它可以作 的近似计算。当n 很大时， ，称之为斯特公式，虽然这一极限情形是由棣莫弗得到的。

5）牛顿的“流数术”

牛顿于1661年入剑桥大学三一学院，受教于巴罗，同时钻研伽利略、开普勒、笛卡儿和沃利斯等人的著作。三一学院至今还保存着牛顿的读书笔记，从这些笔记可以看出，就数学思想的形成而言，笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》对他影响最深，正是这两部著作引导牛顿走上了创立微积分之路。1665年8月，剑桥大学因瘟疫流行而关闭，牛顿离校返乡，随后在家乡躲避瘟疫的两年，竟成为牛顿科学生涯中的黄金岁月。制定微积分，发现万有引力和颜色理论，……，可以说牛顿一生大多数科学创造的蓝图，都是在这两年描绘的。正如牛顿本人在《流数简论》中所说：一旦反微分问题可解，许多问题都将迎刃而解。这样，牛顿就将自古希腊以来求解无限小问题的各种特殊技巧统一为两类普遍的算法——正、反流数术亦即微分与积分，并证明了二者的互逆关系而将这两类运算进一步统一成整体。这是他超越前人的功绩，正是在这样的意义下，我们说牛顿发明了微积分。在《流数简论》的其余部分，牛顿将他建立的统一算法应用于求曲线切线、曲率、拐点、曲线求长、求积、求引力与引力中心等16类问题，展示了他的算法的极大的普遍性与系统性。大约到17世纪80年代中，牛顿关于微积分的基础在观念上发生了新的变革，这就是“首末比方法”的提出。首末比法最先以几何形式在《自然哲学的数学原理》一书中发布，其详尽的分析表述则是在其第三篇微积分论文《曲线求积术》中给出的。曲线求积术》是牛顿最成熟的微积分著述。牛顿在其中改变了对无限小量的依赖并批评自己过去那种随意忽略无限小瞬o 的做法：“在数学中，最微小的误差也不能忽略。……在这里，我认为数学的量不是由非常小的部分组成的，而是用连续的运

动来描述”。在此基础上定义了流数概念之后，牛顿写道：“流数之比非常接近于在相等但却很小的时间间隔内生成的流量的增量比。确切地说，它们构成增量的最初比”。牛顿接着借助于几何解释把流数理解为增量消逝时获得的最终比。牛顿对于发表自己的科学著作态度谨慎。除了两篇光学著作，他的大多数菱都是经朋友再三催促才拿出来发表。上述三篇论文发表都很晚，其中最先发表的是最后一篇《曲线求积术》。《原理》中并没有明显的分析形式的微积分，整部著作是以综合几何的语言写成的。但牛顿在第一卷第1章开头部分通过一组引理（共11条）建立了“首末比法”，这正是他后来在《曲线求积术》中作为流数运算基础而重新提出的方法，不过在《原理》中，首末比方法本身也强烈地诉诸几何直观。

6）牛顿与莱布尼茨

牛顿和莱布尼茨都是他们时代的巨人。就微积分的创立而言，尽管在背景、方法和形式上存在差异、各有特色，但二者的功绩是相当的。他们都使微积分成为能普遍适用的算法，同时又都将面积、体积及相当的问题归结为反切线（微分）运算。应该说，微积分能成为独立的科学并给整个自然科学带来革命性的影响，主要是靠了牛顿与莱布尼茨的工作。在科学史上，重大的真理往往在条件成熟的一定时期由不同的探索者相互独立地发现，微积分的创立，情形也是如此。