机械振动大作业--简支梁的各情况分析2
机 械 振 动 大 作 业
姓 名：徐学 号：专 业：航空宇航推进理论与工程
强 SX1302106
能源与动力学院 2013年12月
简支梁的振动特性分析
题目:针对简支梁、分别用单、双、三、十个自由度以及连续体模型，计算其固有频率、固有振型。单、双、三自由度模型要求理论解；十自由度模型要求使用李兹法、霍尔茨法、矩阵迭代法、雅可比法、子空间迭代法求解基频；连续体要求推导理论解，并通过有限元软件进行数值计算。 解答：
一、 单自由度简支梁的振动特性
如图1，正方形截面（取5mm ×5mm ）的简支梁，跨长为l =1m，质量m 沿杆长均匀分布，将其简化为单自由度模型，忽略阻尼，则运动微分方程为m x +kx =0, 固有频率ωn =
∙∙
k eq m eq
，其中k 为等效刚度，
m eq 为等效质量。因此，求出上述两项即可知单自由度简支梁的固有
频率。
根据材料力学的结果，由于横向载荷F 作用在简支梁中间位置而
l F x F l 322
3l -4x ）引起的变形为y (x ) =-（0≤x ≤）, y m ax =-为最大挠
48EI 48EI 2
度，则： k eq ==
梁本身的最大动能为：
y (x ) =-
F
δ48EI
l 3
y x 2F x
3l 2-4x 2）3l -4x 2）=max
3
48EI l
2
l ∙211712m ⎧∙⎫
y max Tmax =2×⎰0⎨y (x ) ⎬dx =m ）
2l ⎩235⎭
如果用m eq 表示简支梁的质量等效到中间位置时的大小，它的最
大动能可表示为：
∙2
1
T max =m eq y max
2
所以质量为m 的简支梁，等效到中间位置的全部质量为： m eq =
17
m 35
故单自由度简支梁横向振动的固有频率为：
ωn =
k eq m eq
=
1680EI
17ml 3
m
k
图1 简支梁的单自由度模型
二、 双自由度简支梁的振动特性
如图2，将简支梁简化为双自由度模型，仍假设在简支梁中间位置作用载荷，根据对称性，等效质量相等, 因此只要求出在l /3处的等效质量即可。在l /6至l /2之间积分，利用最大动能进行质量等效，略去小量得：
m eq ≈
8m 25
所以，质量矩阵为：
m =
→
8m ⎡10⎤
⎥25⎢⎣01⎦
双自由度简支梁的柔度矩阵：
在b=2l /3处作用单位力，挠曲线方程为：y (x ) =-b x 2
l -x 2-b 2）则l
/36EI l
l 3
处的变形为：同理可求：其中δ=。 a 12=7δ，a 21=7δ，a 11=a 22=8δ，
486EI
所以，柔度矩阵为：
→
⎡87⎤a =δ⎢⎥
⎣78⎦
动力矩阵：
D =
→
8m δ25
⎡87⎤⎢78⎥⎣⎦
令特征行列式为零，得到频率方程为：
∆=λI -D =0
→
→
其中，λ=
1
ω2
，将上式整理得：
∆=
1-8a
-7a -7a 1-8a
=15a 2-16a +1=0
8m δ8m δω2
其中，a =。 =
25λ25
解上述方程的根为：
a 1=
51
, ω1=
24m δ15
25
8m δ
a 2=1, ω2=
（i ）→
由式(λi I -D ) X 其中X
（i ）→
→→
=0，i =1, 2
→
⎧X 1(i ) ⎫
=⎨(i ) ⎬，分别将ω1、ω2代入上式，得 ⎩X 2⎭
第一、二阶主振型分别为：
X
（1）→
（2）→⎧1⎫⎧1⎫=X ⎨⎬， X =X 1(1) ⎨⎬
⎩1⎭⎩-1⎭
(1) 1
图2 简支梁的双自由度模型
三、 三自由度简支梁的振动特性
如图3，将简支梁简化为三自由度模型，按照双自由度类似的等效思想，可得等效质量：
m 1=m 3≈m 2≈
1m 4
因此，质量矩阵为：
⎡100⎤m ⎥m =⎢010⎥4⎢ ⎢⎣001⎥⎦
→
由机械振动中文教材例6.6可知，系统的柔度矩阵为：
→
⎡9117⎤
l 3⎢⎥a =δ⎢111611⎥其中，δ=。 768EI
⎢⎣7119⎥⎦
动力矩阵：
⎡9117⎤
m δ⎢⎥D =111611⎥4⎢ ⎢⎥7119⎣⎦
→
令特征行列式为零，得到频率方程为： ∆=λI -D =0
→→
其中，λ=
1
ω2
，将上式整理得：
-11a
-7a
m δm δω2
∆=-11a 1-16a -11a =0其中，a =。=
4λ4 -7a -11a 1-9a
-9a
利用Matlab 软件, 求解上述方程的根为：
a 1=0. 0317, ω1=
4a 1
m δ4a 2
m δ4a 3
m δ
a 2=0. 5, ω2=
a 3=2. 254, ω3=
（i ）→
由式(λi I -D ) X 其中X
（i ）→
→→
=0，i =1, 2, 3
→
⎧X 1(i ) ⎫⎪(i ) ⎪=⎨X 2⎬，分别将ω1、ω2、ω3代入上式，得 ⎪X (i ) ⎪⎩3⎭
第一、二、三阶主振型分别为：
X
（1）→
⎧1⎫⎧1⎫⎧1⎫（2）（3）→→
⎪⎪⎪⎪⎪⎪=X 1(1) ⎨2⎬， X =X 1(2) ⎨0⎬, X =X 1(1) ⎨-2⎬
⎪1⎪⎪-1⎪⎪1⎪⎩⎭⎩⎭⎩⎭
图3 简支梁的三自由度模型
四、 十自由度简支梁的数值方法
将简支梁简化为十自由度模型（如图4）。
图4 简支梁的十自由度模型
通过在一点施加单位力，计算其余点的挠度，可得柔度矩阵：
→
l 3→
a =δy ，其中δ=, y 为挠度变形矩阵，如表1。
6EI
→
0.0137 0.0240 0.0306 0.0339 0.0240 0.0443 0.0579 0.0650 0.0306 0.0579 0.0787 0.0904 0.0339 0.0650 0.0904 0.1071 0.0344 0.0664 0.0934 0.1131 0.0324 0.0628 0.0891 0.1093 0.0284 0.0552 0.0787 0.0973 0.0227 0.0443 0.0633 0.0787 0.0158 0.0309 0.0443 0.0552 0.0081 0.0158 0.0227 0.0284 0.0344 0.0664 0.0934 0.1131 0.1229 0.1212 0.1093 0.0891 0.0628 0.0324 0.0324 0.0284 0.0227 0.0158 0.0081 0.0628 0.0552 0.0443 0.0309 0.0158 0.0891 0.0787 0.0633 0.0443 0.0227 0.1093 0.0973 0.0787 0.0552 0.0284 0.1212 0.1093 0.0891 0.0628 0.0324 0.1229 0.1131 0.0934 0.0664 0.0344 0.1131 0.1071 0.0904 0.0650 0.0339 0.0934 0.0904 0.0787 0.0579 0.0306 0.0664 0.0650 0.0579 0.0443 0.0240 0.0344 0.0339 0.0306 0.0240 0.0137
→
表1 十自由度挠度变形矩阵y
十自由度简支梁为十个集中质量的振动模型，每个质量都近似等于
1
m ，因此，质量矩阵为： 11
10 ⎤⎡
⎢1000⎥⎢⎥→m ⎢0100⎥m =
11⎢00 0⎥⎢⎥ 0001⎢⎥⎢⎥⎣⎦
动力矩阵为：
m δ
→D =y
11
→
下面，用如下几种方法计算十自由度简支梁的固有频率与振型。
1、邓克莱法
利用邓克莱法求基频（比准确值小）：
1
ω1
2
≈a 11m 1+a 22m 2+ +a nn m n
1
m ，可求得：
11
因此，将柔度矩阵主对角线上各元素相加并乘以
ω1≈
1590EI
≈m δml 3
2、瑞利法
（1）瑞利第一商
柔度矩阵求逆得刚度矩阵：
→
→
103→-1103→k =y =z ，其中，z 矩阵见表2。
δδ
2.0433
-1.9003 0.7778 -0.2649 0.1647 0.0356 -0.2817 0.2834 -0.0446 -0.0926 -1.9003 2.9228 -2.4675 1.4375 -0.6862 0.0299 0.5193 -0.6226 0.3193 -0.0446 0.7778 -2.4675 3.8387 -3.3468 1.6331 -0.1417 -0.6684 0.8588 -0.6226 0.2834 -0.2649 1.4375 -3.3468 4.2339 -2.9123 0.778 0.4309 -0.6684 0.5193 -0.2817 0.1647 -0.6862 1.6331 -2.9123 3.4193 -2.2932 0.778 -0.1417 0.0299 0.0356 0.0356 0.0299 -0.1417 0.778 -2.2932 3.4193 -2.9123 1.6331 -0.6862 0.1647
→
-0.2817 0.5193 -0.6684 0.4309 0.778 -2.9123 4.2339 -3.3468 1.4375 -0.2649 0.2834 -0.6226 0.8588 -0.6684 -0.1417 1.6331 -3.3468 3.8387 -2.4675 0.7778 -0.0446 0.3193 -0.6226 0.5193 0.0299 -0.6862 1.4375 -2.4675 2.9228 -1.9003 -0.0926 -0.0446 0.2834 -0.2817 0.0356 0.1647 -0.2649 0.7778 -1.9003 2.0433
表2 矩阵z 各元素
假设力作用在简支梁中间位置而得到各点的静变形，可以表示为：
→
A =κ[11.933
2.7333.331 3.6633.663
3.3312.733 1.9331]
T
l 3
其中，κ=。
48EI
因此，可以假设振型：
→
A =[11.933
2.7333.331 3.6633.663
3.3312.733 1.9331]
T
则由瑞利第一商公式：R I (A ) =
R I (A ) =
A K A A M A
→→→T
→→→T
，可得：
1116. 4616. 46⨯1. 4965=，ω1≈ δm δmδm
（2）瑞利第二商
同样假设力作用在简支梁中间位置，由瑞利第二商公式：
R Ⅱ(A ) =
A M A A M ∆M A
→
→→→
T
→→→→→T
可得: R Ⅱ(A ) =
→
1116. 2416. 24⨯1. 4762=，ω2≈ δm δmδm
→
M 代表质量矩阵，∆代表柔度矩阵，K 代表刚度矩阵， 瑞利法中，
→
A 为模态向量。
3、李兹法
将十自由度简支梁缩减为三自由度，假设振型为：
ψ1=[11.92.73.3 3.73.73.32.7 1.91]T ψ2=[-1-1.8-2.5-1 -0.20.212.5 1.81]T
→→
ψ3=[-1-2-10 121-1 -2-1]T
→
则可求出：
m
M *=ψM ψ=⨯
11
→
→→→T
72.96 0 -0.6 0 23.06 1.2 -0.6 1.2 18
0.1279 0 0.13540 4.3927 -1.2322K =ψK ψ=⨯
δ0.1354 -1.2322 →
*
→→→T
103
（K -ωM ）A =0，得： 由式
*
2
*
→→
→
*
→
a 1=0. 0017, a 2=0. 1415, a 3=0. 2959
⎡a 1⎤→
⎥=m δ其中，a =⎢a ⎢2⎥11⨯103⎢⎣a 3⎥⎦
*
1
⎡ω1*2⎤⎢*2⎥
⎢ω2⎥，因此可得： *2⎥⎢ω3⎣⎦
11⨯103⨯a 3⨯103⨯a 118. 7*⨯103⨯a 2. 7*3254. 9
ω==, ω2==, ω3==
m δm δm δm δm δm δ
以及：
A
→
*(1)
⎛-0. 9993⎫→⎛0. 0135⎫→⎛0. 0122⎫ ⎪ ⎪ ⎪= 0. 0099⎪, A *(2) = 0. 7788⎪, A *(3) = -0. 5468⎪ 0. 0349⎪ 0. 6271⎪ 0. 8372⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
所以系统的前三阶主振型的近似为：
4、矩阵迭代法
单位力作用在简支梁中间位置得到各点的挠度变形，将首项化一，得：
μ=κ[11.9332.7333.331 3.6633.6633.3312.733 1.9331]
T
l 31其中，κ==δ。
48EI 8
因此可假设振型：
A 0=[11.9332.7333.331 3.6633.6633.3312.733 1.9331]
T
→
利用矩阵迭代求第一阶固有频率和主振型：
D A 0=
→→
m δ
[0. 69661.33811.87072.2523 2.45032.45032.25231.8707 1.33810.6966 ]T 11
T
=0. 0633 m δ⨯[11.92092.68553.2333 3.51753.51753.23332.6855 1.92091]
A 1=[11.92092.68553.2333 3.51753.51753.23332.6855 1.92091]
T
→
→→
D A 1=
m δ
[0. 67781.30181.819611
2.1905 2.38282.38282.19051.8196 1.3018
T
0.6778 ]
T
=0. 0616 m δ⨯[11.92062.68463.2318 3.51553.51553.23182.6846 1.92061 ]
A 2=[11.9206
→
0.6775 ]
2.68463.2318 3.51553.51553.2318
2.6846 1.92061 ]
T
D A 2=
→→
m δ
[0. 67751.30131.81892.1895 2.38182.38182.18951.8189 1.3013
T
11
=0. 0616 m δ⨯[11.92072.68473.2318 3.51553.51553.23182.6847 1.92071 ]
T
A →
3=[11.9207
2.68473.2318 3.51553.51553.2318
2.6847 1.92071 ]
T
由上，仅3次矩阵迭代后，A →
A →
3与2基本相等，因此可以认为系统的第一阶主振型为：
A （→1）
=[11.92072.68473.2318 3.51553.51553.23182.6847 1.92071 ]T
第一阶固有频率为：
ω1116. 1=
a =. 0616m δ≈23m δ
305、雅可比法
根据雅可比法原理，依次找出上三角非对角线上（考虑对称性）的最大元素，利用公式tan 2θ=
2d ij d 得到θ值，代入旋转矩阵，可得：
ii -d jj
0.349 -0.056 -0.417 0.215 0.396 -0.394 -0.217 0.415 0.058 -0.347
0.396 0.323 -0.134 -0.420 -0.212 0.212 0.420 0.134 -0.324 -0.395 0.398 -0.369 -0.032 0.334 -0.185 -0.215 0.340 0.002 -0.436 0.321 0.424 0.230 -0.122 -0.387 -0.387 -0.122 0.231 0.423 R →=R →0.161 -0.324 0.419 -0.346 0.087 0.244 -0.460 0.454 -0.282 1∙ ∙R →
45=
0.232 0.388 0.422 0.322 0.120 -0.120 -0.322 -0.422 -0.388 -0.232 0.104 -0.231 0.354 -0.442 0.466 -0.424 0.351 -0.263 0.155 -0.053 0.120 0.231 0.322 0.388 0.422 0.422 0.388 0.322 0.231 0.439 0.101 -0.383 -0.219 0.304 0.337 -0.236 -0.391 0.127 -0.404 0.453 -0.158 -0.184 0.324 -0.242 0.044 0.217 -0.448 则：
→D
(45)
=R →T
∙D →∙R →
=
0.455 0.322 0.102 0.120 0.415 0.399
m δ⨯ 11
0.0005 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0.0027 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0003 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0084 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0001 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0424 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0001 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.6775 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0011 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0002
由此得到系统的固有频率：
ω1 10=
16. 24259. 43. 524074. 0710000
, , , , , m δm δm δm δm δ2200036666. [1**********]00
, , , , m δm δm δm δm δ
→
对应各特征值的特征向量即为振型，即R 的列向量为各阶振型。
6、子空间迭代法
取假设振型：
⎡1
⎢1.9⎢⎢2.7⎢⎢3.3→⎢3.7A 0=⎢
⎢3.7⎢3.3⎢⎢2.7⎢1.9⎢⎢⎣ 1
-1-1.8-2.5-1-0.20.212.5
-1-210121-1
-1⎤
-2⎥⎥0⎥⎥1⎥2⎥⎥ -0.5⎥-1⎥⎥-1.5⎥0.5⎥
⎥1.5⎥⎦
1.8 -2 1 -1
由动力矩阵迭代得到：
→→→
∆M A 0=
m δ
⨯ 11
0.6941 1.3333 1.8642 2.2447 2.4421 -0.046 -0.0768 -0.0834 -0.0629 -0.0234 0.0341 0.0706 0.108 0.138 0.1537 -0.0176 -0.0287 -0.0312 -0.0304 -0.0318
2.4421 0.0234 0.1506 -0.0361 2.2447 0.0629 0.1282 -0.0388 1.8642 0.0834 0.0932 -0.0347 1.3333 0.0768 0.0568 -0.0237 0.6941 0.046 0.0258 -0.011
将各列分别归一化得：
⎡⎢0. 28420. 54600. 76330. 9191
110. 91910. 76330. 5460ψ→⎢
-0. 5517-0. 9213-1-0. 7548-0. 28020. 28020. 754810. 9213Ⅰ=⎢⎢
0. 22190. 45930. 70270. 897910. 97980. 83410. 60640. 3696⎣0. 45360. 73970. 80410. 78350. 82090. 9317
10. 89430. 6108求得→
→M **Ⅰ
和K Ⅰ
分别为：
⎡05. 1344
5. 6327⎤
→
→⎢5. 6129M *=ψ
T 5. 5995-0. 26250. 0721⎥Ⅰ
Ⅰ
M ψ→m Ⅰ=
11⎢0
⎢⎢
5. 1344-0. 26254. 74835. 0899⎥⎥
⎣5. 63270. 07215. 08995. 8041⎥
⎦⎡⎢0. 008300. 0076
0. 0083⎤
→
→⎥ K *=ψ
T ⅠⅠ
K ψ→103⎢0
0. 1324-0. 00630. 0007Ⅰ=
δ⎢⎢
0. 0076-0. 00630. 01190. 001⎥⎥
⎣0. 0083
0. 0007
0. 0010. 041⎥
⎦再由李兹法得特征值问题为：
→
（K *
-ω2
→
*→*→
Ⅰ
M Ⅰ
）A Ⅰ
=0
解出：
a 1=0. 00147, a 2=0. 0236, a 3=0. 1198, a 4=0. 3835
⎡ω*2其中，→
⎡a 1⎤a =⎢⎢1⎤⎢a ⎥2⎥=m δ11⎢ω*2⎥
2⎣a ⨯103⎢3⎥⎦
⎢⎥，相应的主振型为： ⎣ω*23⎥⎦
⎛→ 1⎫⎛0. 6595⎫⎛0. 7952⎫⎛A
*(1) Ⅰ
= 0. 0002⎪⎪⎪-0. 1262⎫→ → ⎪→ ⎪*(2) -0. 0355⎪*(3) -0. 0195 , A ⎪*(4) 0. 9872⎪ 0. 0044⎪Ⅰ= ⎪ -0. 7504⎪, A Ⅰ=⎪ ，A Ⅰ
= -0. 51⎪ 0. 0854⎪⎝-0. 0001⎪⎭ ⎝0. 0268⎪⎭ ⎝-0. 3275⎪⎪ ⎪⎭ ⎝0. 0479⎪⎭
所以：
0. 2842⎤
T
0. 5517⎥0. 1679⎥⎥
0. 2822⎥
⎦
ψA =
→→
*ⅠⅠ
0.285 0.5477 0.7661 0.9229 1.0042 1.0042 0.9229 0.7661 0.5477 0.285 0.0527 0.0679 0.0332 -0.0198 -0.0589 -0.0607 -0.0196 0.037 0.0665 0.0495
-0.0249 -0.0244 0.0048 0.0311 0.0222 -0.0147 -0.0367 -0.0146 0.0277 0.0368 -0.5397 -0.9033 -0.985 -0.7463 -0.2785 0.279 0.7477 0.9855 0.901 0.5365
各列分别归一化后，得：
0.283808 0.545409 0.762896 0.91904
1 1 0.91904 0.762896 0.545409 0.283808
0.776141
1
0.488954 -0.29161 -0.86745 -0.89396 -0.28866 0.544919 0.979381 0.729013
A Ⅰ=
→
-0.67663
-0.66304 0.130435 0.845109 0.603261 -0.39946 -0.99728 -0.39674 0.752717
1 -0.54764 -0.91659 -0.99949 -0.75728 -0.2826 0.283105 0.758701
1
0.914257 0.544394
重复上述过程进行第二次迭代。由：
0.1926 0.3699 0.5171 0.6225 0.6771 0.6771 0.6225 0.5171 0.3699 0.1926
0.0065 0.0085 0.0048 -0.002 -0.007 -0.007 -0.0019 0.0049 0.0086 0.0064
-0.0021 -0.0017 0.0008 0.0025 0.0015 -0.001 -0.0024 -0.0007 0.0022 0.0026
-0.0232 -0.0388 -0.0422 -0.0322 -0.012 0.0121 0.0322 0.0422 0.0388 0.0232
∆M A Ⅰ=
→→→
m δ
⨯ 11
归一化后得：
0.284448 0.5463 0.763698 0.919362
1 1
0.755814 0.988372 0.55814 -0.23256 -0.81395 -0.81395
-0.80769 -0.65385 0.307692 0.961538 0.576923 -0.38462
-0.54976 -0.91943
-1 -0.76303 -0.28436 0.28673
ψⅡ=
→
0.919362 -0.22093 -0.92308 0.763033 0.763698 0.569767 -0.26923 1 0.5463 1 0.846154 0.919431 0.284448 0.744186 1 0.549763
则有：
→
→
M =ψ
*
ⅡT Ⅱ
M ψⅡ=
→
m ⨯11
K =ψ
→*Ⅱ
→
T Ⅱ
K ψⅡ=
→
103
δ
→*Ⅱ
⨯
2
5.6156 0.3295 0.4168 0.0024 0.0083 0.0009 0.0006
→*Ⅱ
→*Ⅱ
→
0.3295 5.166 0.1758 0.0229 0.0009 0.6107 0.0157 0.0004 0.4168 0.1758 5.2204 0.0837 0.0006 0.0157 1.9186 0.0023 0.0024 0.0229 0.0837 5.6227
0 0.0004 0.0023 0.1328
由： （K -ωM ）A =0
解出： a 1=0. 00147, a 2=0. 0236, a 3=0. 1186, a 4=0. 375
⎡a 1⎤
→
⎥=m δ其中，a =⎢a ⎢2⎥11⨯103⎢⎣a 3⎥⎦
→*(1) Ⅱ
⎡ω1*2⎤⎢*2⎥
⎢ω2⎥，相应的主振型为： *2⎥⎢ω3⎣⎦
A
⎛1⎫⎛-0. 0004⎫⎛0. 0581⎫⎛0. 0722⎫ ⎪→ ⎪→ ⎪→ ⎪ -0. 0006⎪*(2) 0. 0003⎪*(3) -0. 9983⎪*(4) 0. 031⎪= , A Ⅱ= , A Ⅱ= ，A Ⅱ=
0⎪-0. 0002⎪-0. 0017⎪-0. 9968⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0⎪ 1⎪ 0. 0043⎪ 0. 0145⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
0.284
0.5457 0.7633 0.9195 1.0005 1.0005 0.9195 0.7633 0.5457 0.284
-0.739 -0.9578 -0.5176 0.2806 0.8685 0.8726 0.2789 -0.5197 -0.9641 -0.7258
ψA =
→
→*ⅡⅡ
0.8411 0.7085 -0.2488 -0.9104 -0.5323 0.4345 0.9907 0.3556 -0.7597 -0.9453 -0.5495 -0.9193 -1.0002 -0.7637 -0.2851 0.2862 0.7628 0.9999 0.9193 0.5496
各列分别归一化后，得：
A Ⅱ=
→
0.283858 0.766518 0.848996 0.54939 0.545427 0.993465 0.715151 0.919116 0.762919 0.536874 -0.25114 1
0.91904
1 1 0.91904 0.762919 0.545427 0.283858 -0.29105 -0.90084 -0.90509 -0.28929 0.539052
1
0.752826
-0.91895 -0.5373 0.438579
1
0.358938 -0.76683 -0.95417 0.763547 0.285043 -0.28614 -0.76265 -0.9997 -0.91912 -0.54949
进行第三次迭代：
0.1926 0.37 0.5171 0.6225 0.6772 0.6772 0.6225 0.5171 0.37 0.1926
0.0065 0.0086 0.0049 -0.002 -0.0072 -0.0072 -0.002 0.0049 0.0086 0.0065
0.0024 0.002 -0.0008 -0.0026 -0.0014 0.0013 0.0026 0.0009 -0.002 -0.0025
0.0233 0.0389 0.0424 0.0323 0.0121 -0.0121 -0.0323 -0.0424 -0.0389 -0.0233
∆M A Ⅱ=
→→→
m δ⨯ 11
归一化得：
0.284448 0.755814 -0.80769 -0.54976 0.5463 0.988372 -0.65385 -0.91943 0.763698 0.55814 0.307692 -1 0.919362 -0.23256 0.961538 -0.76303
1 -0.81395 0.576923 -0.28436 1 -0.81395 -0.38462 0.28673
0.919362 -0.22093 -0.92308 0.763033 0.763698 0.569767 -0.26923 1 0.5463 1 0.846154 0.919431 0.284448 0.744186 1 0.549763 5.6149 0.2908 -0.02 0 0.2908 5.3018 0.025 0 -0.02 0.025 5.7145 -0.0267
0 0 -0.0267 5.6109 0.0083 0.0008 0 0 0.0008 0.6267 0.0031 0
0 0.0031 2.1067 -0.0008 0 0 -0.0008 0.1325
2
→*Ⅲ
→*Ⅲ
→
ψⅢ=
→
M
→*Ⅲ
→
=ψⅢM ψⅢ=
T
→
m ⨯11
K =ψⅢK ψⅢ=
→*Ⅲ
→
T
→
103
δ
⨯
→*Ⅲ
由： （K -ωM ）A =0
解出：a 1=0. 00147, a 2=0. 0236, a 3=0. 1185, a 4=0. 3687
⎡a 1⎤→
⎥=m δ其中，a =⎢a ⎢2⎥11⨯103⎢⎣a 3⎥⎦
→
*(1) Ⅲ
⎡ω1*2⎤⎢*2⎥
⎢ω2⎥，相应的主振型为： *2⎥⎢ω3⎣⎦
A
⎛1⎫⎛-0. 0511⎫⎛0. 0038⎫⎛0⎫ ⎪→ ⎪→ ⎪→ ⎪-0. 00060. 9987-0. 00490 ⎪*(2) ⎪*(3) ⎪*(4) ⎪= , A =, A =，A =Ⅲ 0⎪Ⅲ ⎪Ⅲ 0. 0001⎪0⎪1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0⎪ 0⎪ 0. 0047⎪ 1⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
→*Ⅲ
由于A 近似于单位矩阵，所以有：
A Ⅲ=ψA =ψⅢ
→
→→*ⅢⅢ
→
本次迭代的结果与第一次迭代的结果相差不大，所以可以结束迭代。故系统的前二阶固有频率及相应的主振型的近似分别为：
ω1=
. 17259. 61303. 54005. 7
, ω2=, ω3=ω4= m δm δm δm δ
0.284448
0.5463 0.763698 0.919362
→→1 (3) (4)
A A ) = 1
0.919362 0.763698 0.5463 0.284448
0.755814 0.988372 0.55814 -0.23256 -0.81395 -0.81395 -0.22093 0.569767
1 0.744186
-0.80769 -0.65385 0.307692 0.961538 0.576923 -0.38462 -0.92308 -0.26923 0.846154
1
-0.54976 -0.91943 -1 -0.76303 -0.28436 0.28673 0.763033
1 0.919431 0.549763
A Ⅲ=(A A
→
→(1) →(2)
五、 连续分布简支梁的振动特性
（1）理论解
（2）数值解