待定系数法构造等比数列求通项公式
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待定系数法构造等比数列求通项公式
作者:吴会刚
来源:《新课程学习·下》2014年第11期
数列的通项公式是从函数的视角反映数列的本质的,而待定系数法又是高中数学中重要的方法之一,借助该方法构造等比数列可以求出几类数列的通项公式。
类型一:形如an+1=Aan+B(A≠0,B≠0)的数列.
例1. 已知数列an 满足:a1=1,an+1=4an+1(n ∈N*),求数列an 的通项公式. 类型二:形如an+1=Aan+Bn(A≠0,B≠0)的数列.
例2. 已知数列an 满足a1=1,an+1=2an+4n(n ∈N*),求数列an 的通项公式. 类型三:形如an+1=Aan+Bn2 +Cn+D(A≠0,B≠0,C≠0,D≠0)的数列.
例3. 已知数列an 满足:a1=1,an+1=2an+n2+3n+1,求数列an 的通项公式.
解析:因为a1=1,an+1=2an+n2+3n+1,设
an+1+x(n+1)2+y(n+1)+z=2(an+xn2+yn+z)展开化简得:
an+1=2an+xn2+(y-2x )n+z-x,根据待定系数法,与已知条件比较系数得:
x=1,y-2x=3,z-x=1,故:x=1,y=5,z=2,代入所设的形式中得:
an+1+(n+1)2+5(n+1)+2=2(an+n2+5n+2),
例4. 已知数列an 满足:a1=8,an+1=4an-6·2n+1(n ∈N*),求数列an 的通项公式. 解析:因为a1=8,an+1=4an-3·2n+1,设an+1-x·2n+1=4(an-x·2n ),展开得an+1=4an-2x·2n. 由待定系数法知x=3再将x=3,代入上面已设的形式中得:
an+1-3·2n+1=4(an-3·2n )从而数列an-3·2n 是以2为首项,4为公比的等比数列。故,an-3·2n=2×4n-1,即an=2×4n-1+3·2n
类型五:形如an+1=Aan+Bm2+Cn+D(A≠0,B≠0,C≠0,D≠0)的数列.
例5. 已知数列an 满足:a1=-1,an+1=-2an-4·3n-3n+2(n ∈N*),求数列an 的通项公式.