常微分方程教程_丁同仁(第二版)_习题解答_4
=
1. 求出齐次线性微分方程组
习题6-1
dy
=A(t)y的通解,其中A(t)分别为: dt
0011101
(1)A(t)=(2)A(t)=(3)A(t)=010。 01 ;−10 ;
000
解 (1)方程组的分量形式为:
dy1dy
=y1+y2 ,2=y2 dtdt
从后一式容易求出y2的通解为 y2=ket ,其中K为任意常数,可分别取y2=0和
y2=et,代入前一式得到两个相应的特解,y1=et和 y2=tet这样就求得方程组的一个解
矩阵为
et Φ(t)=
0tet2t
Φt=e≠0 。因此,Φ(t)是方程组的一个基解矩阵,det() 又 t
e
根据定理6.1 ,方程的通解为
ettety1
=c1y0+c2et
2dy1
dt=y2
(2)方程的分量形式为
dy2=−y1dtd2y1
由①、②可和 0 +y1=
dt2
由观察法知,y1=cost,y1=sint为此方程的两个特解,将其代入②式可得两个相应的特解,将其代入②式可得两个相应的特解:y2=−sint,y2=cost。这样就求得方程组的一个解矩阵为 Φ(t)=
① ②
costsint
因此Φ(t)中方程组的一个基 又 det=[Φ(t)]=1≠0,
−sintcost
解矩阵。故方程组的通解为
y1costsint c1+c2y−sintcost2
′=y3y1
′=y2 (3)程组的分量形式为:y2
y′=y
13
解 ①+③得
①
② ③
d
(y1+y3)=y1+y3 dtd
解 ①-③得 (y1−y3)=y1−y3
dt
k1e−t y1−y3
k2e−t
解之得 y1+y3
1t−tt−t=+=+ykekecece112132由④、⑤可得 1t−tt−t
y3=k1e−k.2e=c1e−c3e
2
(())
又由②得 y2=c2et
由此可求得方程组的一个解矩阵
etΦ(t)=0
et
0et0
e−t
0 −e−t
=显然,det[Φ(=t)]=−zet≠0,因此Φ(t)是方程组的一个基解矩阵,故方程组的通解为
ete−t0y1
t
y2=c10+c2e+c30
ee−e−ty0
3
x21x
3.试证向量函数组 0 ,0 ,0 在任意区间 a
000
为零的三个常数 c1,c2,c3使得
x21x
c1+c2x+c3x2=0
①而①式之左端是一个不高于二c10+c20+c30=0,即
a
次的多项式,它最多只可能有二个零点,同此这与①式在a
得证。
4.试证基解矩阵完全决定齐次线性方程组即如果方程组
有一个相同的基解矩阵,则 A(x)=B(x)
dydy=A(x)y与=B(x)y dxdx
这与y1(x),y2(x),,yn+1(x)线性无关矛盾,故
ϕ(x)
−kn−k1
y1(x)++yn+1(x)
k1+k2++kn+1k1+k2++kn+1
这说明(1)的任一解,都可由这n+1个线性无关的解的线性表出,同时也说明(1)的任意
n+2个解线性相关,故方程组(1)在(a,b)上至多有n+1个线性无关解。
=
证:设这两个方程组的相同基解矩阵为 Φ(x)那么,必有 det[Φ(t)]≠0,故Φ(x)可逆,设逆矩阵为Φ−1(x),同而
A(x)
dΦ−1
Φ(x)=B(x) 证毕 dx
dydx
A(x)y+f(x)(1)中的f(x)不恒为零。
6.设当a
证明(1)有且至多有 n+1个线性无关解。
证 设y1(x),yn(x)是方程组(1)的相应齐次方程组的n个线性无关的解,ϕ(x)是(1)任意一个特解,则 y1(x)+ϕ(x),y2(x)+ϕ(x),,yn(x)+ϕ(x)
是(1)的n+1=个线性无关解==.这是因为=,若存在常数 k1,k2,kn,kn+1 使得
=
k1(y1(x)+ϕ(x))++kn(yn(x)+ϕ(x))+kn+1ϕ(x)≡0
则一定有 k1 ϕ(x)
k2
kn
kn+10 否则有
−kn−k1
y1(x)++yn(x)
k1+k2++kn+1k+k++kn+1
=12
这与ϕ(x)为(1)的解矛盾,因此,k1+k2+kn+kn+1≡0 假设可知k1=k2=−=kn=0 故kn+1=0,所以(1)n+1个线性无关的解。
的n+1个线性无关的解, 那又设 ϕ(x)是(1)在(a,b)上的任一解,y1 y2yn+1是(1)么,
ϕ(x)−y1(x),ϕ(x)−y2(x),,ϕ(x)−yn+1(x) 是(1)的对应齐次方程组
dy
=A(x)y (2) dx
的解,而(2)最多有n个线性无关的解,所以必存在不全为零的常数k1,k2,,kn+1, 使得
x∈(a,b)
k1(ϕ(x)−y1)+k2(ϕ(x)−y2)+kn+1(ϕ(x)−yn+1)≡0
即 (k1+k2++kn+1)ϕ(x)=k1y1+k2y2++kn+1yn+1 显然,k1+k2+kn+1≠0, 否则,存在不全为零的常数 k1,k2,,kn+1,使得
k1y1(x)+k2+y2(x)+kn+1yn+1(x)≡0
习题6-2
1. 求出常系数齐次性微分方程组
dy
=Ay的通解,其中的矩阵A分别为 dx
0−11
34oa
1)52 2)−ao 3)0−10
10−41111
−5−10−20
11−1−1
510 6) 4)51−11−12491−1−1−1
解:
1) 特征方程
3−λ4
即 (λ−7)(λ+2)=0
52−λ
矩阵A有特征根,λ1=7 λ2=−2 对应于λ1=7所有的特征向量
v1v1−44v1
=(7)0满足即−AE=0。取
5−5v2v2v2
17x
v1=1,则v2=1 那么对应的实值解为y1=1e;
对应λ2
=−2的特征向量
v1v154v1
==0,取v1=4,则(2)0满足即A+E
54v2v2v2
4−zx
v2=−5,那么对应的实值解为 y2=−5e。于是该方程组的通解为
y117x4−2x
1e+c2−5e y=c1
2
2)特征方程为
−λ−a
a−λ
=0 即λ2+a2=0
矩阵A有特征根λ1=ai λ2=−ai 对应λ1=ai的特征向量
r1−aiav1
=0 应满足
−a−aiv2r2
取v1=1,则v2=i 即么对应的特解为
==
y1aix11
e(cosax+isinax)
iiy2
cosaxsinax
+i −sinaxcosax
由此得λ1=ai所对应的两个特解为(对2X2的方程组取一个特解的实部和虚部就可,因为虚根都是成对出现的。)
y1cosaxy1sinax= = yy−sinaxcosax222
它们在(−∞,+∞)上线性无关,故得方程组的通解:
y1cosaxsinax
+cc 12
−sinaxcosaxy2
=
−1−λ03)
11−1−λ000=0 即(λ+4)(λ+1)2=0 −4−λ
矩阵A有特征根 λ1=−4,λ1=λ2=−1。 对应于λ1=−4 ,特征向量应满足
310v1`310100==
030v2=0 又030→010(只能进行行变换) 100v10000030
因此与λ1相应的特征向量可取为n1=0,
1
对于二重特征根λ2=−1,可以算出
(A−λ2E)2
01000010−3
2
000
000 −319
因此,方程(A−λ2E)2γ=0 有二个线性无关的解为 γ10
30
=0,γ20=9 1−1
注意到n2=2,就可得到γ11
01030=0000=0 10−31001009=0009=0 10−3−13
3e−x0e−x
9e−x
−x(3x−1)e9xe−x
γ21从而可行基解矩阵
0
Φ(x)=0
e−4x
039x−4x−x−x
9因此所求通解为 y=Φ(x)C,即 y=c10e+c20e+c3
e 113x−1
−5−λ−10−20
55−λ10=0 4)特征方程
249−λ
即 −λ+9λ−25λ+25=0
矩阵A有特征根:λ1=5,λ2=2+i,λ3=2−i
3
2
γ1
对应λ1=5的特征向量γ2应满足
γ3
−10−10−20γ1
010γ2=0 5
244γ3
解之得 γ1=−2γ3 γ2=0 取γ3=1 则γ1=−2
y11−2
5x
故相应的解为 y21=0e
y131
γ1
相应于λ2=2+i 的特征向量γ2应满足
γ3
−7−i−10−20γ1
3−i10γ2=0 5
247−iγ3
取 γ1
20+10i,γ2=15−5i,γ3=−14−2i
那么对应的复解为
20+10i20cosx−10sinx10cosx+20sinx
(2+i)x2x2x
y=e15−5i=e15cosx+5sinx+e15sinx−5cosxi
−14−2i−14cosx+2sinx−2cosx−14sinx
分别取实部,部可得方程组的两个实解
y1220cosx−10sinxy1210cosx+10sinx2x
y22=15cosx+5sinx,y22=15cosx−5sinxe y−14cosx+2sinxy−2cosx−14sinx3232
易知它们在(−∞,+∞)上是线性无关的,于是方程组的通解为
=y1−220cosx−10sinx10cosx+20sinx2x2x2x
y2=c1e0+c2e15cosx+5sinx+c3e15sinx−5cosx y1−14cosx+2sinx−2cosx−14sinx3
6)特征方程为
−λ11111−λ−1−1
=(λ−2)3(λ+2)=0
1−11−λ−11−1−11−λ
矩阵A的特征根为λ1=−2, λ2=λ3=λ4=2
γ1
对应于λ1=−2,相应的特征向量γ2应满足
γ3γ4
3111
13−1−1γ1γ=0 1−13−11−1−132γ3γ4
可以算出
31111001
13−1−1→010−11−13−11−1
1−1−13
000000
=
解之得γ2=γ3=γ4=−γ1, 则γ2=γ3=γ4=1那么相应的解为对应于三重特征根λ2=2,可以算出
3
−1111(A−λ1−1−1−1−1111
2E)3
16
1−1−1−11−1−1−11−1−1−1
1−1−1−1 1−1−1−1
因此,方程(A−λ2E)3γ=0有三个线性无关解为
1
11r1
0010=0
, r20=1, r30=0
0
01注意到ni=3,可得
−11
11γ=1−1−1−111011
=0
1−1−1−1
1−1−1−10000
−11
1110γ21
=
1−1−1−1
00
1−1−1−11=
1−1−1−10
00
−1e−2x111
=
γ31
1110−11
1−1−1−100
= =1−1−1−100
1−1−1−110
由以上结果,可得方程组的一个基解矩阵
e2x
0 2x
0e000e2x
因此所求方程组的通解为 y=Φ(x)c 或
1y111−1
y22x12x02x0−2x1cececece+++=y11203140 3
1001y
4
2.求出常系数非齐次线性方程组
−e−2x
−2xe
Φ(x)=−2x
ee−2x
e2xe2xe2x0
dy
=Ay+f(x),的通解,其中: dx
21−22−x2−10
A=−100f(x)=03)A=,; 4), =f(x);102ex
11−11−x
x2−1−10
5)A=0−1−1, f(x)=2x。
x00−1
3)解先求对应齐次方程组的通解
特征方程
2−λ
1−1
=λ2−2λ+1=0,特征根为λ1=λ2=1 −λ
对于二重特征根λ1=1,可以算出
001−12
(A−λ1E)=1−1=00
因此方程(A−λ1E)2r=0 有二个线性无关的解 γ10=1 γ20=−1
2
10
γ11=1−11=0 γ21=1−1−1=1
ex
Φ(x)=ex
xex
x(−1+x)e
0
ds s2e
1−1101−101
由此可得齐次线性方程组的一个基解矩阵
故非齐次方程组的通解为
y=Φ(x)C+Φ(x)Φ(s)
∫
−1
(1−x)e−x
容易求出Φ(x)=−x
e
−1−1
xe−x
−e−x
se−s0
ds s−s−e2e
exxex(1−s)e−s0
故 Φ(x)∫Φ(s)sds=x−sx∫2eexe−(1)eex =ex
exxex2s
ds=x∫ex
(x−1)e−2
xexx2−x2ex
=2xx(x−1)e−2x(2x−x)e
于是非齐次方程组的通解为
−x2x1xxy=c1e1+c2ex−1+2x−x2e
x
4)先求对应齐次方程组的通解
2−λ
特征方程为−1
1
1−λ1−2
0=0 −1−λ
特征根为 λ1=1,λ2=i ,λ3=−i
1
对应于λ1=1的特征向量为−1
0γ1
对应于λ2=i的特征向量为γ2应满足
γ3
解之得 γ1=−iγ2=γ3,令γ2=1,则γ1=γ3=−i
−2γ12−i1
0γ2=0 −1−i
11−1−iγ3
其相应的复值解为:y
−ieix1−isinx−icosxcosx+isinx sinx−icosx
分别取实部和虚部,可得齐次方程组的两个线性无关的实解,
sinx−cosx
y2=cosx y=sinx
3
sinx−cosx
从而可得齐次方程组的一个基解矩阵
ex
x
Φ(x)=−e
0sinxcosx
cosx−sinx容易求得 Φ−1(x)sinxcosxe−x−e−x0
−cosxcosxsinxcosx
−sinx−sinxsinx+cosx
这个矩阵的逆的算法:
ex
=Φ(x)−ex
0
exsinxcoxs1000010−1
第一行减第三行x
→−ecosx−sinx 010cosx−sinx 010
0sinxcosx001sinxcosx001
ex=0010−1×cosx+×sinx第二行第三行
10 0cosxsinx→−excosx
0sinxcosx001
0010−1
10 0cosxsinx0cosx0−cosxsinxcos2x
0010−1
10 0cosxsinx0cosx−sinxcosx−cosxsinxcos2x+cosxsinx
ex
(-)第三行+第二行×sinx
→−excosx
excosxsinx
=ex第三行+第一行()×−sinxcosx
→−excosx
0ex
第一行第二行×cosx+
→0
0
0010−1
10 cosxcosxsinx−cosx0cosx−sinxcosx−cosxsinxcos2x+cosxsinx
100e−x0−e−x
→010 cosxcosxsinx−cosx001−sinx−sinxcosx+sinx
这里是只能通过行变换将矩阵先变成下三角,再变成对角阵即可。自己认真算,我都能算对,大家一定可以的,复习高等代数了。
我仔细算了一下,要是将齐次方程的通解写出来,再用常数变易法求出特解方程组的阶数高的时候比求矩阵的逆还复杂,所以还是建议大家用求矩阵的逆的方法来算吧。
e−−e−x故
∫
Φ−1(s)2−s
s0==1−sds=(1−s)sins+coss∫
d=(x−1)cosx −sins+(1−s)coss(1−x)sinx
ex
sinx
cosx−e−x则 Φ(x)∫Φ−1
(s)f(s)ds =x
−e
cosx−sinx
(x−1)cos−1
0sinxcosxx=x
(1−x)sinx0所以非齐次线性方程组的通解为
y=c1sinxex+c
cosx−11−12cosx+c3−sinx+x
0
sinxcosx0
5)先求对应齐次方程组的通解
−1−λ
10
特征方程0
−1−λ−1=
0 00−1−λ
特征方程根为 λ1=λ2=λ3=−1。对于三重特重根 λ1=−1,可以算出
0−103
000(A−λ3
1=0001E)=00−
000000
因此方程 (A−λ1001E)3r=0 有三个线性无关的解 r10=0,r=−1,r=
20300001r0−1000−1100
=011=,
000000−100−101r00−10−1=1021=,
r=
00−1000000=0
022
00000
0−100r00−10=0−10−10031=, r32
00−1
−11
00010
0000 0
0
,
1xx2
−x
由此可得齐次线性方程的一个基解矩阵 Φ(x)=0−1−xe
001
1x0
x−1
01x−−从而容易求得 Φ(x)e 001
又
−1
Φ∫(x)f(x)dx
2
1x0x
x−−01ex∫2xdx
001x
3x23x2−6x+6x
=∫−2x−x2exdx=−x2
e
xx−1
故 Φ(x)Φ−1(x)f(x)dx
∫
2x2−6x+61xx23x2−6x+6
−xx2
=0−1−xex−x e=
00111xx−−=
故非齐次线性方程组的通解为
=∫Φ−1(x)f(x)dxy=Φ(x)c+Φ(x)
x22x2−6x+61x
c10e−x+c2−1e−x+c3−xe−x+x
001x−1
由于特征向量取的不同,结果肯能也不一样。但是课本答案出现e肯定是不正确的。
3.求出微分方程组
x
dy
=AY=f(x) 满足初值条件 Y(0)=γ 的解,其中: dx
ex−5−11=fx(), , (1)A==γ1−30; e2x
3x0−2
(2)A=20, f(x)=4
(3)A=
2
, γ=3;
4−3sinx0
, , f(x)==γ
2−1−2cosx0
解
1)齐次方程组的特征方程为
−5−λ1−1
=(λ+4)2=0
−3−λ
特征根 :λ1=λ2=−4
对于二重特征根 λ1=−4,可以算出
−1−1002
(A−λ1E)=1=00 1(A−λ1E)γ=0 有二个线性无关解γ10
2
2
同此方程
10
=1, γ20= 0
γ11=1
−1−10−1−1−11−1
===γ211111011
由此可得齐次方程组的一个基解矩阵
−x1−x−4x
Φ(x)=e
+1xx
从而可求得 Φ(x)=
−1
−x1−x4x
e x1+x
故
∫
−x1−x1xΦf(x)dx=∫e1+xexedx x
−1
4x
15x15x1
xe+e+(1−x)e6xe6x−
5256dx = ∫1111(1+x)e5x−e5x+xe6x−e6x525636
16x15x15x16x
xeexee(1)−++−+
25636 =∫5
1111(1+x)e5x−e5x+xe6x−e6x
256365
4x12xe−e
−136 所以 Φ(x)∫Φ(x)f(x)dx=25
17ex+e2x
3625
故非齐次线性方程组的通解为
−x−4x1−x−4x
y=c1ec+21+xxe
4x12
e−e
36 +25
1ex+7e2x
3625
119
1101900
由初始条件 y(0)=γ=0 0=c11+c20+211 =
900
解之得 c1=−
781211
,c2=−
900900
故初值问题的解为
4x12
e−e
y1211−x−4x7811−x−4x2536
ee−++
9001+x900x1ex+7e2xy2
3625
2)齐次方程组的特征方程为
−λ
2−2
=λ2+4=0 −λ
特征根为 λ1=−2iλ2=2i, 对应λ2=2i 的特征向量应满足
−2i−2γ1 γ=0 取γ1=−1,则 γ2=i
−22i2
故
−12ix−10
i(cox2x+isin2x) e=+
i01
−cos2x−sinx
+i −sin2xcos2x
从而可得齐次方程组的一个基解矩阵
−cos2x−sin2x
Φ(x)=
−sin2xcos2x
容易求得 Φ(x)=
−1
−coss2x−sin2x
−sin2xcosx2x
而
∫
−cosx2x−sin2x2x
Φ−1f(x)dx=dx ∫−sin2xcos2x4
53
−xsin2x+cos2x2−3xcos2x−4sin2x4 ∫ dx=
−3xsin2x+4cos2x3xcos2x+5sin2x
42
又 Φ(x)Φ−1(x)f(x)dx
==
∫
53
sin2cos2−+xxx−cos2x−sin2x24
−sin2xcos2xxcos2x+5sin2x
4
故非齐次线性方程的通解为
5−4 x
5−
−cos2x−sin2x4y=c1 +c2+
−sin2xcos2x3x
2
42−102−=由初始条 y=(10)=γ=() 有 =c1+c2+5 33010
解之得 c1=−
13
,c2=3 4
故初值问题的解为
5
13−cos2x−sin2x−4
y −+3+4−sin2xcos2x
x
135
cos23sin2y−x−x−144
或
133y=sin2x+3cos2x+x2
43
(3) 齐次方程组的特征方程为
4−λ−3
=λ2−3λ+2
2−1−λ
特征根 λ1
1,λ2
2
对应 λ1=1 的特征向量应满足
3−3r1
r=0 取 r1=1,则 r2=1 那么相应的解为
2−211x1e
对应 λ2=2 的特征向量应满足
2−3r12−3=0, 取 r1=3,则r2=2 r2
2x
那么相应的解为 e2
3
从而得齐次线性方程组的基解矩阵为
ex3e2x
Φ(x)= x2xe2e
−2ex容易求得 Φ(x)=−2x
e
−13e−x
−2x−e
由于
∫
−2e−x3e−xsinx
Φf(x)dx=dx ∫−2x−2xx−2cosee−
−1
(4cosx_2sin)e−x
−2x
−cosxe
ex3e2x(4cos−2sinx)e−x
又 Φ(x)∫Φ(x)f(x)dx=x −2x2xeexe2cos−
−1
=
cosx−2sinx
2cosx−2sinx
故非齐线性方程组通解为
ex3e2x(4cosx−2sinx)e−x
y=c1−2xex+c22e2x+−cosxe
由初值条件 y(0)=u=0,得
0
0131 0=c11+c22+2
解之得 c1=−4, c2=1 因此值问题解为
ex3e2x(4cosx−2sinx)
y=−4x+2x+ =e2e2cosx−2sinx
y1=−4ex+3e2x+cosx−2sinx
或 2x2x
sx−4e+2e+2cox−2siny2=
4.证明:常系数齐次方程组
dy
=Ay 的任何解当 x→∞时都趋于零,当仅当它的系数矩阵dx
A的所有特征根都具有负的实部.
证 必要性:设特征根为 λ
α+iβ,与之对应的方程组的解可表为 y=eλxf(x)。
1)当 β=0 即 λ=α 为实数时,f(x)的每一分量或者为一常向量,或者为x的多
=
那么只有当 x→∞项式的向量函数。此时总有当 x→+∞ 时, f(x)→∞或者是常向量。时, e
αx
→0,故α必为负实数.
2)当 β≠0时, λ为复数, 则此时
f(x)
=
p(x)(cosβx+isinβx) 其中 p(x)是x的向量多项式,当x→+∞时,
f(x)→∞,那么,若使当x→+∞时,有y→0成立,只有eαx→0(x→+∞),于是,α必为负
实数。
充分性:若系数矩阵A的所有特征根都具有负的实部,设特征根为λ=−α+iβ(α>0),与之对应的解为 y=e−αxf(x)
(1)当β=0时,λ=−α为负数,由解的结构知,f(x)是关于x的一个多项式的向
量函数,而已知
limx→+∞
xn⋅e−αx=0,其中n为任意自然数,故形如(1)的解当x→+∞
时,y(x)→0。
(3)当β≠0时,λ=−α+iβ是复数,由解的结构,此时(1)中的
f(x)p(x)(cosβx+isinβx),其中p(x)是x的多项式向量函数,又由于
lim
e−αx⋅xncosβx=e−αx⋅xnsinβx=0 0
x→+∞x→+∞
故形如(1)的解,当x→+∞时,y(x)→0。
lim