等差数列题型总结
等差数列
编制:浦春玲 审核:邓国华
、理解等差数列的概念和性质
、掌握等差数列的通项公式和前n 项和
、了解等差数列的通项与一次函数的关系,前n 项和与二次函数的关系。
、等差数列{a n }中,已知a 1=1,a 2+a 5=4,a n =33,则n 为_________
3
、等差数列{a n }中,若a 3+a 5+a 7=9,则其前9项和S 9的值为________ 、已知等差数列{a n }的前n 项和为30,前2n 项和为100,则其前3n ________
、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=-11, a 4+a 6=-6,则当S n 取n =________
、在数列{a n }中,a 1=3,且对任意大于1的正整数n ,点(x -y -
例1(等差数列中的基本运算)
2
已知等差数列{a n }的公差d 不为零, 且a 3=a 7, a 2=a 4+a 6.
a n , n -1)
=0上,则a n =________
(1)求数列{a n }的通项公式;
(2)设数列{a n }的前n 项和为S n , 求满足S n -2a n -20>0的所有正整数n 的集合. 1、(1)已知等差数列{a n }中, a 1=1,a 3= -3,若数列的前k 项和S k =-35,求k 的值 2)已知等差数列的前三项为a ,4,3a ,前k 项和为S k =2550,求a 及k 的值
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例2(等差数列的判定)
已知数列{a n }的前n 项和S n =32n -n 2. 证明:数列{a n }是等差数列;
变式1:已知数列{a n }的首项a 1=3, 通项a n 和S n 满足2a n =S n ⋅S n -1(n ≥2). 1(1) {为等差数列;
S n (2) 求通项a n .
12
变式2:在数列{a n }中,a 1=1, 当n ≥2时,其前n 项和S n 满足S n =a n (S n -).
2 (1) 求S n 的表达式;(2) 设b n =
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S n
, 求数列{b n }的前n 项和T n . 2n +1
例3(等差数列求和公式的应用)
设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 3=12,S 12>0, S 13
(2)指出S 1,S 2,S 3,···,S 12中哪一个值最大,并说明理由
变式1:等差数列{a n }的前n 项和为S n , |a 7|>|a 8|,S 7>S 8>S 6, 若S n >0, 求n 的最大值.
变式2:已知数列{a n }的前n 项和S n =32n -n 2. 设b n =|a n |,求{b n }的前n 项和T n .
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4(等差数列的综合应用)
设数列{an }的前n 项和为S n , 若对任意的n ∈N *,有a n >0且2S n =a n +a n 成立. (1)求a 1, a 2的值;
(2)求数列{a n }的通项公式a n ; (3) 令T n =
2
S n
, 若数列{T n }为单调递增数列,求实数c 的取值范围. n c
变式:已知数列{a n }满足a 1=(1) 求证:数列{
a 4a +22
, 且对任意n ∈N *,都有n =n . 5a n +1a n +1+2
1
}为等差数列;a n
(2)试问数列{a n }中a k ∙a k +1(k ∈N *)是否仍为{a n }中的项?如果是,请指出是数列的第几项;如果不是,请说明理由。
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等差数列作业
1.等差数列{a n }中,a 1+a 4+a 7=39,a 3+a 6+a 9=27,则数列{a n }的前9项和S 9等于________.
2. 等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n , T n ,若
S n a 2n
,则n = . =
T n 3n +1b n
3.已知等差数列{a n }中,|a 3|=|a 9|,公差d
4.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 2=4,S 4=20,则该数列的公差为________.
5.已知数列{a n }的前n 项和S n =-n 2+5n 则数列a n 的前10项和为________.
6.数列{a n }中,a 3=2,a 7=1,且数列⎨
1⎫
是等差数列,则a 11等于________. a +1n ⎩⎭
⎧
}
7.首项为-24的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差d 的取值范围是________.
x
8.已知函数f (x ) =2,等差数列{a n }的公差为2. 若f (a 2+a 4+a 6+a 8+a 10) =4,则log 2[f (a 1)·f (a 2)·f (a 3)·…·f (a 10)]=________.
9.已知数列{a n }为等差数列,若
a 5a 6
112n -1
10. 已知函数f (x ) 对∀x ∈R 都有f (x ) +f (1-x ) =, 若a n =f (0) +f () +f () + +f () +f (1)
2n n n
则a n =_________
11.已知各项均不相同的等差数列{a n }的前四项和S 4=14,且a 1, a 3, a 7成等比数列。 (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设T n 为数列⎨
12.已知数列{a n }的前n 项和S
n =2a n -2
n +1
⎧
⎫1
⎬的前n 项和,求T 2012的值
⎩a n ∙a n +1⎭
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(1)证明:数列⎨
⎧a n ⎫
是等差数列 n ⎬⎩2⎭
*
(2)若不等式2n 2-n -3
13. 在数列{a n }中,a 1=4,且对任意大于1的正整数n ,点a n a n -1) 在直线y =x -2上. (1)求数列{a n }的通项公式;
(2)已知b 1+b 2+…+b n =a n ,试比较a n 与b n 的大小.
14. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n =pn 2-2n +q (p ,q ∈R ,n ∈N *) . (1)求q 的值;
(2)若a 1与a 5的等差中项为18,b n 满足a n =2log 2b n ,求数列{b n }的前n 项和.
15. 由两个等差数列2,x ,8,··· 和y ,7,11,···的公共项不改变原有顺序组成的数列记为{C n },试求数列{C n }的通项公式,并证明{C n }也是等差数列。
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