矢量场散度和旋度的物理意义

矢量场散度和旋度的物理意义

1993年第1期

击安矿业学院学孩

JOURNALOFXl ，ANMININGINSTITUTE

矢量场散度和旋度的物理意义

黄国良王瑞平

(基础部)

舒秦

摘要本文首先从流速场矿(二，，，:)出发，详细地说明了任一矢量场育(二，，，:) 散度和旋度的物理意义。以电学和力学中的简单例子，说明了散度和旋度的计算方

法。

关键词矢量场，散度，旋度

在一定的条件下，利用磁力仪能够发现埋藏在地下几百米深的磁性盲矿体。这是因为在

矿体周围存在着磁场。

物探工作者经常要测定、分析各种场(如电场、磁场等) 的分布、变化规律，从而找到

场源(如带电体、磁性体等) 。矢量场的散度和旋度是研究各种场时必须的数学工具。本文

着重说明它们的物理意义。

矢量场的散度

矢量函数

A=A(x，百，之)

所确定的场称为矢量场。如电场E(x，，，幼和流速场V(x，万，幻都是矢量场。 通t

以不可压缩流体的稳定流速场V(x，百，幻为例，来说明任一矢量场通量的物理意义”’。

如图1所示。S 为流速场V(x，刀，幻中的任意曲面，在面积元dS 内的流速场可以看成均匀

流速场。因此，在1秒钟内通过ds 的流体的流量，即体积流量 dQ 二V 韶eo:8=V·ds

通过曲面S 哟体积流量

。=J:节.d 亨二J:vdscoso

可见，通过任意曲面s\的体积流量口在数值上等于通过曲面s 的流线的数量。 本文1991年3月23日收到西安矿业学院学报1993年

由特殊到一般，任一矢量场A(x，y ，z) 通过任意曲面S

的场线的数量，称为该矢量场通过曲面S 的通量，用价A 表

示，即

，

_、=

仁牙·。犷·{。，ascos “J 舀沙。

如图2所示。若S 为封闭曲面，则矢量场A 通过封闭曲面

的通量

图1体积流量的计算

卜少:分·d 亨=J::

因为在S:面上，0总是大于90“，在污

万·d 犷+JsZ万·d 言

面上，8总是小于90

所以通过S:的通量为负，通过S:的通量为正。

。2通. 是矢t 场在空间△丫内玻散性的皿度

由上可知，流逮场节(二，，，:)通过封闭曲面s 钓体积流量

价、有下列三种情况:

1) ，一弧六

一

d 八b

从S 内有流量价、发散出来，

的发散源，如泉源。

图2通过封闭曲面S 的通量

如图3(a)所示。既然有流量流出，说明s 内一定有涌出流体

(a)价、>0(b)功<O

图3通过封闭曲面S 的体积流量

(e)动、

2) ，、=币。护. 礴<。

J0

有流量功、汇聚到S 内，如图3(b)所示。既然有流量叻，流进s 内，说明s 内一定有吸进流

体的汇聚源，如渗洞。

源，

3) 币、二币。矿.d 亨二。JS

流进S 内的流量等于流出S 钓流量，

也没有吸进流体的汇聚源。

如图3(c)所示。亦说明S 内既没有涌出流体的发散

由特殊到一般，如果矢量场A 通过封闭曲面S 的通量

娇

手:升‘外O 第1期黄国良等矢圣场嵌度和旋度的 物理意义宁台

到矢量场A 在空间△v(△v 是s 包围的空间) 内是发散的，如果

人·乡:了·d 六。

则矢量场A 在空间△V 内是汇聚的; 如果

，、=币。了.d 亨=。

J0

则矢量场A 在空间么V 内既不发散，也不汇聚。因此通量是矢量场在空间△V 内聚散性的量

度。

散度是矢l 场在空间某点康做性的，度

设p(x，，，幻为矢量场A(x，，，:)中任一点。作封闭曲面S 包围尸点，s 包围的空间为△V 。

当△v ，。，且空间收缩为尸点时，极限

1工寸。亡

号里。五丽岁:通’。“

称为矢量场A 在尸点的散度，用divA 表示，即

diV 了·△渺。命手:了·d 亨

可见，散度是通量对体积的变化率，且平均变化率在数一值上等于单位体积中发‘出的场线数

量。

在直角坐

一

际系中，矢量场A(x，，，:)在尸(x，百，:)点的散摩

divA(x，，，才)0A 二. 万牙勺.OA ，，aA:.甲一巴于~，. 一d 百dz

=

(;丢·; 命·了备) ·(儿了·‘序+A;)

=甲·A

例1半径为R ，带电量为q(q>。) 的均匀带电球体的球心位于原点，澡球体的介电常数

为:，求球内各点电场强度丑的散度。

解:由电学知，球内任一点p(x，封，幻的电场强度

E=，一，、一4兀心R 名r(r《R)

式中r 是P 点的位置矢量

‘知~》~‘如一今

r=xf+，夕+zk

球内各点电场强度E 的散度仪西安护业李院学报1993羊

甲·E

=

v.(盗责今

1q

4兀￡Rs 甲·r

=

蠢节(器+一鼠+贵)

1q

4兀‘RS

.3>O

守·E>。，说明电场E 在球内各点是发散的，且在球内各点均有发散源(正电荷) 。 2平面矢量场的旋度

旋度最早是通过研究水流的涡旋建立起

来的概念。河水流动时，由于水有内摩擦力，

因而靠两岸速度较小，河中间速度较大。

故漂在水面上的救生圈一边顺流而下，一边

还会旋转，这说明水中有涡旋，如图4所示。

丸1环流是区城酩内有无润旋的t 度

de

回·吻，

一v.V! 飞

.

„。V

ab

.

-

-一一一一一一叫一~一一-~~~~~~，月~.月，~，. 月.... 月........................ 图4河水中的涡旋

在平面流速场V(x，妇中作有向封闭曲线L ，则流速场V 沿L 的环流(图4) .d 心犷r..J 币辛·

JL

节Jdl+J

Idl+O一Vi ‘

‘了+J。d 辛·d 了+丁d. 矿·d 了

dl+0

. 至

r..JV

一一4ld

=V:·a 石一Vl ·cd

铸O

在均匀流速场V(x，砂中，由于V:=V:，所以V 沿L 的环流

中L 称示。

环流不等于零，

在区域△S 内无涡旋。

由特殊到一般，

说明在区域△s(△s 为L 所包围的区域) 内有涡旋; 环流等于零，说明

对于任一平面矢量场A(x，砂，如果

币交·

JL

dl 铸0

说明在区域△S 内有涡旋; 如果

手:〕d 了=“第1期黄国良等

.

矢t 场散度和旋度的物理意义

说明在区域△s 内无涡旋。

因此环流是平面矢量场A 在区域△S 内有无涡旋的量度。

2.2旋度是矢且场在某点渴旋强度的皿度

环流的大小与封闭曲线L 所包围的面积△s 有关，所以不能用环流的大小来量度涡旋的

强弱。而用环流与面积△S 之比，即平均涡旋强度

上币辛.d 寸△5JL

来量度△S 区域内的涡旋强度。

当△S ，o ，且收缩到尸点时，用极限

1工之，寸lim 毕二一①V ·dl △g 书。△SJ ‘

来量度p 点处的涡旋强度。此极限称为平面流速场V 在p 点的旋度，用甲xV 表示，即

_之二1工之，寸

VXV=11m-;we石甲y.Q ‘八Sse)0止30JL

可见，旋度. 是环流对面积的变化率。

由特殊到一般，任一平面矢量场直在p 点的旋度

_分二1丈寸，寸

VXA=lim二下丙-甲人.u ‘八5一月卜0之、0JL

在直角坐标系中，平面矢量场A(x，妇在p(x，妇点的旋度

VxA(x

例2某河水的速度场

妇·(势一肾) 犷

00908070V(x，，)

速度分布见图

征。

=(0.1，一0.0019名)1m.

5，试研究此速度场的涡旋特

0自︸n 甘00肉U ﹄U 确b 巴Jd 人，nd 乙，1

︵日︶卜解:、V 的旋度

7·辛·(豁一焉) 了

=(0.0029一0.1)k

分别以，二0，10，„，10om 代入上式，可求

出场内各点的旋度值。

V=0

图5速度分布和涡旋特征西安犷亚学院学报i 的3今

庵，..... 目曰少厄.. 曰.... ，.. 记叭旧

—

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一

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--一--一户一~~，~~~...~碑一一~~~~~心. 一~~一~一~~..一~~户~.‘

~少

附裹速魔场V 的汤能特征

一一一一~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~百(m)[**************]80邹.100旋度值(，一勺涡旋方向涡旋强度一0。1一0. 舫一0。佣一0。04一0。0200。020一040。060。080。1旋度为负，涡旋沿顺时针方向旋度为正，涡旋沿逆时针方向旋度值越大，涡旋越强; 越靠近河岸，涡旋越强

3空间矢量场的旋度

水池中卜的水漏掉时，会形成涡旋，如图6所示。以p 点

为回心，作两个圆周L:和L:，两圆周的面积相等，均为△s ，

它们的法线二:，称:的方向与L:，L:的绕向符合右手螺旋法

则。显然

乡::六d 林少L:六‘了

除以△S ，得

去步，:六‘几命手;:六‘了图6水池中的涡旋

可见，同一点p 绕，，方向的平均涡旋强度大于绕二:方向的平均涡旋强度。 为了量度场中任意一点的涡旋强度，必须把△s 取得很小，同时为了能比较不同点的涡

旋强度，应使L 的空间取向能得瓢最大的环流。在图6中，流速场V 沿Ll 的环流最大。

现在，可以得到任一空间矢量场A 旋度的定义:

矢量场A 在p 点的旋度7xA 是一个矢量，其大小为当面积△S 趋于零时单位面积上A

的最大环流，其方向为当面积△S 的取向使得环流为最大时该面积八S 的法线方向(法线方向

的单位矢量，的方向与不的绕向符合右手螺旋法则) ，即

一二寸，.1一厂碑工六J 寸、

V

入入二。聋sm0~丽丸”岁L 人’u ‘J 。、::

在直角坐标系中，矢量场A(x’如幼在尸(x，，，幻点的旋度

心引J 川司wel 叫

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.

-卜

一

、，六，、}O

V 入乃、X ，百，2)=lwe石，~

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二

(号一盟); ·(签一箫) 了·(一静一号) 了第1期黄国良等矢量场傲度和旋度的物理意义

~~~~~~~~~~~~~目...~~叫.. 口卜叫. 卜.~~~~几~~~~~~~一......... 目.... 白...... 口... 白......... 例3绕定轴Z 转动的刚体的角速度为。(图7) 。求刚体上任一点P 的线速度V 的

旋

度’“’。

解:点p 的位置用位置矢量护来确定

:=xi+万i+zk

角速度

由力学知，

。二。k

点P 的线速度

一无勿一·!o

. ‘参

V 二口X 了-知-备=一。百i+。x7

劣g 之

图7绕定轴Z 转动的刚体

V 的旋度

{

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7、辛一{共李票{}。x 。百“‘}

{一。，“x ”}

二Zok=2

~勺卜

毋

可见，速度场V 的旋度甲xV 与刚体的旋转角速度。之间有着密切的联系。 参考文献

1张秋光. 场论. 北京:地质出版社，1983:19~96

2同济大学. 高等数学. 北京:人民教育出版社，197乐167

PHYSICALMEANINGOFDIVERGENCEAND

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