等比数列知识点,例题,练习
等比数列
知识梳理:
1、等比数列的定义:2、通项公式:
a n =a 1q n -1=
a 1n
q =A ⋅B n (a 1⋅q ≠0, A ⋅B ≠0),首项:a 1;公比:q
q
a n ⇔q =n a m a n
=q (q ≠0)(n ≥2, 且n ∈N *),q 称为公比 a n -1
推广:a n =a m q n -m ⇔q n -m =3、等比中项:
(1)如果a , A , b 成等比数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项,即:A 2=
ab 或
A =注意:同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个(两
个等比中项互为相反数)
(2)数列{a n }是等比数列⇔a n 2=a n -1⋅a n +1 4、等比数列的前n 项和S n 公式:
(1)当q =1时,S n =na 1 (2)当q ≠1时,S n =
=
a 1(1-q n )1-q
=
a 1-a n q
1-q
a 1a
-1q n =A -A ⋅B n =A ' B n -A ' (A , B , A ', B ' 为1-q 1-q
常数)
5、等比数列的判定方法:
(1)用定义:对任意的n ,都有a n +1=qa n 或为等比数列
(2)等比中项:a n 2=a n +1a n -1(a n +1a n -1≠0) ⇔{a n }为等比数列 (3)通项公式:a n =A ⋅B n (A ⋅B ≠0)⇔{a n }为等比数列
a n +1
=q (q 为常数,a n ≠0) ⇔{a n }a n
等比数列
6、等比数列的证明方法:
依据定义:若
a n
=q (q ≠0)(n ≥2, 且n ∈N *)或a n +1=qa n ⇔{a n }为等比数列 a n -1
8、等比数列的性质: (1)当q ≠1时
①等比数列通项公式a n =a 1q n -1=数的类指数函数,底数为公比q ;
②前n 项和S n =
a 1(1-q n )1-q
a 1-a 1q n a 1a =-1q n =A -A ⋅B n =A ' B n -A ' ,
1-q 1-q 1-q
a 1n
q =A ⋅B n (A ⋅B ≠0)是关于n 的带有系q
系数和常数项是互为相反数的类指数函数,底数为公比q 。
(2)对任何m , n ∈N *,在等比数列{a n }中,有a n =a m q n -m ,特别的,当m =1时,便得到等比数列的通项公式。因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。 (3)若m +n =s +t (m , n , s , t ∈N *) ,则a n ⋅a m =a s ⋅a t 。特别的,当m +n =2k 时,得a n ⋅a m =a k 2
注:a 1⋅a n =a 2⋅a n -1=a 3a n -2⋅⋅⋅
a k
(4)数列{a n },{b n }为等比数列,则数列{,{k ⋅a n },{a n k },{k ⋅a n ⋅b n },{n b n a n
(k 为非零常数)均为等比数列。
(5)数列{a n }为等比数列,每隔k (k ∈N *) 项取出一项(a m , a m +k , a m +2k , a m +3k , ⋅⋅⋅) 仍为等比数列
(6)如果{a n }是各项均为正数的等比数列,则数列{loga a n }是等差数列 (7)若{a n }为等比数列,则数列S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n , ⋅⋅⋅,成等比数列 (8)若{a n }为等比数列,则数列a 1⋅a 2⋅⋅⋅⋅⋅a n ,a n +1⋅a n +2⋅⋅⋅⋅⋅a 2n ,a 2n +1⋅a 2n +2⋅⋅⋅⋅⋅⋅a 3n 成等比数列
a 1>0,则{a n }为递增数列{(9)①当q >1时,a 1
a 1>0,则{a n }为递减数列{②当0
③当q =1时,该数列为常数列(此时数列也为等差数列); ④当q
S 奇1
(10)在等比数列{a n }中,当项数为2n (n ∈N ) 时,=
S 偶q
*
等比数列·例题解析
【例1】 已知S n 是数列{an }的前n 项和,S n =p n (p∈R ,n ∈N*),那么数列{an }.
[ ]
A .是等比数列
B .当p ≠0时是等比数列 C .当p ≠0,p ≠1时是等比数列 D .不是等比数列
说明 数列{an }成等比数列的必要条件是a n ≠0(n∈N*),还要注
a n
意对任n ∈N *,n ≥2,都为同一常数是其定义规定的准确含义.
a n -1
【例2】 已知等比数列1,x 1,x 2,…,x 2n ,2,求x 1·x 2·x 3·…·x 2n .
【例3】 等比数列{an }中,(1)已知a 2=4,a 5=-
1
,求通项公 2
式;(2)已知a 3·a 4·a 5=8,求a 2a 3a 4a 5a 6的值.
【例5】 设a 、b 、c 、d 成等比数列,求证:(b-c) 2+(c-a) 2+(d-b) 2=(a-d) 2.
【例6】 求数列的通项公式:
(1){an }中,a 1=2,a n+1=3a n +2
(2){an }中,a 1=2,a 2=5,且a n+2-3a n+1+2a n =0
说明 解题的关键是发现一个等比数列,即化生疏为已知.(1)中发现{an +1}是等比数列,(2)中发现{an+1-a n }是等比数列,这也是通常说的化归思想的一种体现.
121
【例10】 设{an }是等差数列,b n =() a n ,已知b 1+b 2+b 3=,
28
1
b 1b 2b 3=,求等差数列的通项.
8
【例15】 已知(b-c)log m x +(c-a)log m y +(a-b)log m z=0. (1)设a ,b ,c 依次成等差数列,且公差不为零,求证:x ,y ,z 成等比数列.
(2)设正数x ,y ,z 依次成等比数列,且公比不为1,求证:a ,b ,c 成等差数列.
等比数列
一、选择题:
1.{a n }是等比数列,下面四个命题中真命题的个数为
①{a n 2}也是等比数列 ③{
( )
②{ca n }(c ≠0) 也是等比数列 ④{lna n }也是等比数列
1
}也是等比数列 a n
B .3
A .4 C .2 D .1
2.等比数列{a n }中,已知a 9 =-2,则此数列前17项之积为
( )
D .-217
( )
A .216 B .-216 C .217
1
2
3.等比数列{a n }中,a 3=7,前3项之和S 3=21, 则公比q 的值为
A .1 B .-C .1或-1 D .-1或
D .2
1 2
( )
4.在等比数列{a n }中,如果a 6=6,a 9=9,那么a 3等于
A .4
B .
3
2
C .
16 9
5.若两数的等差中项为6,等比中项为5,则以这两数为两根的一元二次方程为 ( )
A .x 2-6x +25=0 C .x 2+6x -25=0
B .x 2+12x +25=0 D .x 2-12x +25=0
6.某工厂去年总产a ,计划今后5年内每一年比上一年增长10%,这5年的最
后一年该厂的总产值是( ) A .1.1 4 a
D . (1+1.1 5)a
B .1.1 5 a C .1.1 6 a
7.等比数列{a n }中,a 9+a 10=a (a ≠0) ,a 19+a 20=b ,则a 99+a 100等于 ( )
b 9
A .8
a
b 9
B .()
a
b 10C .9
a
D.(
b 10
) a
8.已知各项为正的等比数列的前5项之和为3,前15项之和为39,则该数列的前10项之
和为 A .32
( ) B .3
C .12
D .15
9.某厂2001年12月份产值计划为当年1月份产值的n 倍,则该厂2001年度产值的月平均增长率为
n A . B .n
11
( ) C .n -1
D .n -1
10.已知等比数列{a n }中,公比q =2,且a 1⋅a 2⋅a 3⋅ ⋅a 30=230,那么
a 3⋅a 6⋅a 9⋅ ⋅a 30 等于 ( )
A.210 B .220 C 216 D .215
11.等比数列的前n 项和S n =k ·3n +1,则k 的值为
A .全体实数
B .-1
C .1
D .3
( )
二、填空题:
12.在等比数列{a n }中,已知a 1=
3
,a 4=12,则q ____,a n ____. 2
13.在等比数列{a n }中,a n >0,且a n +2=a n +a n +1,则该数列的公比q =___ ___. 14.在等比数列{a n }中,已知a 4a 7=-512,a 3+a 8=124,且公比为整数,求a 10= .
15.数列{a n }中,a 1=3且a n +1=a n (n 是正整数) ,则数列的通项公式
2
a n =. 三、解答题:
16.已知数列满足a 1=1,a n +1=2a n +1(n ∈N *)
(1) 求证数列{a n +1}是等比数列; (2) 求{a n }的通项公式.
17.在等比数列{a n }中,已知S n =48,S 2n =60,求S 3n .
18.在等比数列{a n }中,a 1+a n =66,a 2·a n -1=128,且前n 项和S n =126,求n 及公比q .
参考答案
一、选择题: BDCAD BACDB BC 二、填空题:13.2, 3·2n -2. 14. 三、解答题:
17.(1)证明: 由a n +1=2a n +1得a n +1+1=2(a n +1)
又a n +1≠0 ∴
n -11+. 15.512 .16. 32. 2
a n +1+1
=2
a n +1
即{a n +1}为等比数列.
(2)解析: 由(1)知a n +1=(a 1+1) q n 1
-
即a n =(a 1+1) q n -1-1=2·2n -1-1=2n -1
18. 解析: 由a 1+a 2+…+a n =2n -1
①
n ∈N*知a 1=1
且a 1+a -
2+…+a n -1=2n 1-1 ②
由①-②得a -
n =2n 1,n ≥2
又a -
1=1,∴a n =2n 1,n ∈N*
a 2
n +1(2n ) 2
a 2
=(2n -1)
2=4 n
即{a n 2}为公比为4的等比数列 ∴a a 2
n 12
+a 22
+…+a n 2=
1(1-4) 1-4=13
(4n
-1)
19. 解析一: ∵S 2n ≠2S n ,∴q ≠1
①
②÷①得:1+q n =
5
14即q n =4
③代入①得
a 1
1-q
=64
∴S a 3n =
1 (1-q 3n 1
1-q
) =64(1-43) =63
解析二: ∵{a n }为等比数列 ∴(S 2n -S n ) 2=S n (S 3n -S 2n )
(S 22n -S 2n ) (60-48) 2
∴S 3n =S +S 2n =
+60=63 n 48
20. 解析:当x =1时,S n =1+3+5+…+(2n -1)=n 2
当x ≠1时,∵S n =1+3x +5x 2+7x 3+…+(2n -1) x n -
1,等式两边同乘以x 得:
①③④
xS n =x +3x 2+5x 3+7x 4+…+(2n -1) x n . ②
①-②得:
(1-x ) S n =1+2x (1+x +x +…+x
2
n -2
2x (x n -1-1)
) -(2n -1) x =1-(2n -1) x +,
x -1
n
n
(2n -1) x n +1-(2n +1) x n +(1+x ) ∴S n =.
(x -1) 2
21. 解析:∵a 1a n =a 2a n -1=128,又a 1+a n =66,
∴a 1、a n 是方程x 2-66x +128=0的两根,解方程得x 1=2,x 2=64, ∴a 1=2,a n =64或a 1=64,a n =2,显然q ≠1. 若a 1=2,a n =64,由∴q =2,由a n =a 1q n
-1
a 1-a n q
=126得2-64q =126-126q ,
1-q
得2n 1=32, ∴n =6.
-
1
,n =6. 2
1
综上所述,n 的值为6,公比q =2或.
2
若a 1=64,a n =2,同理可求得q =