线性系统状态解的矩阵表示
线性系统状态解的矩阵表示
线性系统理论是现代控制理论中最基本、最重要也是最成熟的一个分支，是
生产过程控制、信息处理、网络系统等多方面的基础理论。其大量的概念、方法、
原理和结论对于系统和控制理论的许多学科分支，如最优控制、非线性控制、随
机控制、系统辨识、信号检测和估计等都具有十分重要的作用。(参见[1])
对线性系统的理论研究主要包括对运动、能控性和能观性、稳定性所进行的
分析，以及对极点配置和特征结构配置问题、镇定问题与渐近跟踪问题、线性二
次型最优控制问题、解耦问题等问题所进行的研究。
求解问题是运动分析中的一个基本而又重要的内容。下面介绍一下线性系统
状态解的矩阵表示的求解过程。
一个线性定常系统的状态方程为：
(t ) =Ax (t ) +Bu (t ), t ≥0, (1.1) x
其中x (t ) =(x 1(t ), x 2(t ), …, x n (t )) T 叫做系统的状态向量，u (t ) =(u 1(t ), u 2(t ), …, u r (t )) T
叫做系统的输入向量，A , B 分别为n ×n , n ×r 矩阵，分别叫做系统矩阵和输入矩
阵。则系统(1.1)在初始条件x (0)=x 0下的通解为
x (t ) =e x 0+e At At ∫e 0t −A τBu (τ) d τ. (1.2) 下面介绍方程(1.1)的求解过程： 在方程(1.1)两边同时左乘e −At ，由于e −At 是可逆矩阵，则左乘e −At 之后的系统
与系统(1.1)等价。这样，系统(1.1)等价地变为
(e −At x (t ) )′=e −At Bu (t ) , (1.3) 对方程(1.3)两边同时在[0, t ]上求定积分(t >0) ，得到
e −At x (t ) −x 0=∫e −A τBu (τ) d τ， (1.4) 0t
在方程(1.4)两边同时左乘e At ，得到(1.2).
参考文献
[1] 段广仁. 线性系统理论(第二版). 哈尔滨工业大学出版社, 2004.