平方差.完全平方公式总结2015.3
乘法公式的应用
1、平方差
22平方差公式:(a+b)(a-b) =a -b
平方差公式的特征:
①左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数; ②右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去相反项的平方) ;
③公式中的a 和b 可以是具体数,也可以是单项式或多项式;
④对于形如两数和与这两数差相乘的形式,就可以运用上述公式来计算.
推广:多项式平方公式:(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd。即:多项式的平方等于各项的平方和,加上每两项积的2倍。
2、完全平方公式
完全平方公式:(a±b )2=a2±2ab +b 2
完全平方公式的特征:
222222 (a+b)=a+2ab+b 与(a-b) =a-2ab +b 都叫做完全平方公式,为了区别,我们把前
者叫做两数和的完全平方公式,后者叫做两数差的完全平方公式.
①两公式的左边:都是一个二项式的完全平方,二者仅有一个符号不同;右边:都是二次三项式,其中有两项是公式左边两项中每一项的平方,中间是左边二项式中两项乘积的2倍,两者也仅有一个符号不同.
②公式中的a 、b 可以是数,也可以是单项式或多项式.
③对于形如两数和(或差) 的平方的乘法,都可以运用上述公式计算.
④公式中的字母具有一般性,它可以表示数也可以表示多项式.
推广:(a +b +c )2=a2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca
3、立方和(差)公式
立方和(差) 公式: (a±b)(a2±ab+b2)=a3±b 3。
4、由平方差, 立方和(差) 公式引申的公式
(a+b)(a3-a 2b+ab2-b 3)=a4-b 4,
(a+b)(a4-a 3b+a2b 2-ab 3+b4)=a5+b5
(a+b)(a5-a 4b+a3b 2-a 2b 3+ab4-b 5)=a6-b 6
5、公式的变形及其逆运算
由(a+b)2=a2+2ab+b2 得 a 2+b2=(a+b)2-2ab ;(a-b)2=(a+b)2-4ab 。
由 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b)得 a 3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)。
由公式的推广可知:当n 为正整数时,a n -b n 能被a-b 整除;a 2n+1+b2n+1能被a+b整除;a 2n -b 2n 能被a+b及a-b 整除。
6、乘法公式的主要变式
(1) (a+b) 2-(a-b) 2=4ab;
(2) (a+b) 2+(a-b) 2=2(a2+b 2) ;
(3) a2+b 2=(a+b) 2-2ab =(a-b) 2+2ab
(4) a3+b 3=(a+b) 3-3ab(a+b)
7、三元公式的一些变化:
1222a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca =⎡(a -b )+(b -c )+(c -a )⎤⎦2⎣1222a 2+b 2+c 2+ab +bc +ca =⎡(a +b )+(b +c )+(c +a )⎤⎦ 2⎣
注意:
(1)公式中的a ,b 既可以表示单项式,也可以表示多项式.
(2)乘法公式既可以单独使用,也可以同时使用.
(3)这些公式既可以正用,也可以逆用,因此在解题时应灵活地运用公式,以计算简捷为宜.