03 第三节 格林公式及其应用
第三节 格林公式及其应用
分布图示
★ 区域的连通性 ★ 格林公式 ★ 例1
★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5
★ 利用格林公式计算平面图形的面积
★ 例6 ★ 例7
★ 关于曲线积分的几个等价命题
★ 二元函数的全微分求积 ★ 例8 ★ 例9
★ 例10 ★ 例11 ★ 例12 ★ 例13 ★ 例14 ★ 例15
★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题10—3 ★ 返回
内容要点
一、格林公式
定理1 设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成，函数P (x , y ) 及Q (x , y ) 在D 上具有一阶连续偏导数，则有
⎛∂Q ∂P ⎫⎰⎰ ∂x -∂y ⎪⎪dxdy =L Pdx +Qdy (3.1)
⎭D ⎝
其中L 是D 的取正向的边界曲线.
若在格林公式(3.1)中，令P =-y , Q =x , 得
2⎰⎰dxdy =xdy -ydx ，
D
L
上式左端是闭区域D 的面积A 的两倍，因此有 A =
1
xdy -ydx . 2L
二、平面曲线积分与路径无关的定义与条件
定理2 设开区域D 是一个单连通域，函数P (x , y ) 及Q (x , y ) 在D 内具有一阶连续偏导数，则下列命题等价：
（1） 曲线积分⎰Pdx +Qdy 在D 内与路径无关；
L
（2）表达式Pdx +Qdy 为某二元函数u (x , y ) 的全微分； （3）
∂P ∂Q =在D 内恒成立； ∂y ∂x
L
（4）对D 内任一闭曲线L ，⎰Pdx +Qdy =0.
由定理的证明过程可见，若函数P (x , y ) ，Q (x , y ) 满足定理的条件，则二元函数
u (x , y ) =⎰
(x , y ) (x 0, y 0)
P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy (3.3)
满足 du (x , y ) =P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy ， 我们称u (x , y ) 为表达式P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy 的原函数.
u (x , y ) =⎰P (x , y 0) dx +⎰P (x , y ) dy +C
x 0x
y 0
x
y
或 u (x , y ) =⎰P (x , y ) dx +⎰P (x 0, y ) dy +C
x 0
y 0
y
例题选讲
例1 (E01) 求xy 2dy -x 2ydx ，其中L 为圆周x 2+y 2=R 2依逆时针方向（图10-3-5）.
L
解 由题意知, P =-x 2y , Q =xy 2, L 为区域边界的正向, 故根据格林公式, 有
xy dy -x
2L
2
ydx =
⎰⎰(y +x
2D
2
) dxdy =
2πR
⎰0d θ⎰0
πR 4
. r rdr =2
2
例2 计算
⎰
xdy , A B
其中曲线AB 是半径为r 的圆在第一象限部分.
解 引入辅助曲线OA , BO , 令L =OA +AB +BO . 由格林公式, 设P =0, Q =x , 则有 -
⎰⎰dxdy =xdy =⎰
D
L xdy +
⎰
AB
xdy +
⎰
xdy ,
⎰
OA
xdy =0,
⎰
OB
xdy =0, 所以
⎰
AB
xdy =-
⎰⎰
D
1
dxdy =-πr 2.
4
例3 (E02) 求
⎰
A B O
(e x sin y -my ) dx +(e x cos y -m ) dy ，其中ABO 为由点A (a , 0) 到
2
2
点O (0, 0) 的上半圆周x +y =ax （图10-3-6）.
解 在Ox 轴作连接点O (0, 0) 与点A (a , 0) 的辅助线, 它与上半圆周便构成封闭的半圆形ABOA , 于是
⎰
=
ABOA
-
⎰
OA
,
根据格林公式
ABOA
(e x sin y -my ) dx +(e x cos y -m ) dy =
⎰⎰[e cos y -(e cos y -m )]dxdy
x
x
D
=
⎰⎰
D
πma 21⎛a ⎫
. mdxdy =m ⋅⋅π ⎪=82⎝2⎭
2
由于OA 的方程为y =0, 所以
⎰
OA
(e x sin y -my ) dx +(e x cos y -m ) dy =0
综上所述, 得
⎰
ABO
. 8
注：本例中，我们通过添加一段简单的辅助曲线，使它与所给曲线构成一封闭曲线，然
(e sin y -my ) dx +(e cos y -m ) dy =
x x
πma 2
后利用格林公式把所求曲线积分化为二重积分来计算. 在利用格林公式计算曲线积分时，这是常用的一种方法.
例4 计算
⎰⎰
D
e -y dxdy , 其中D 是以O (0, 0), A (1, 1), B (0, 1) 为顶点的三角形闭区域.
2
2∂Q ∂P
-=e -y . ∂x ∂y
2
解 令P =0, Q =xe -y , 则 应用格林公式, 得
⎰⎰
D
e
-y 2
dxdy =
++xe
-y 2
dy =
⎰
xe
OA
-y 2
dy =
⎰
21
xe -x dx =(1-e -1). 02
1
例5(E03) 计算
xdy -ydx (1)
L x 2+y 2, 其中L 为一条无重点, 分段光滑且不经过原点的连续闭
-y x
, Q =, x 2+y 2x 2+y 2
曲线, L 的方向为逆时针方向.
解 记L 所围成的闭区域为D , 令P =
∂P y 2-x 2∂Q
. =222=则当x +y ≠0时，有
∂y ∂x (x +y )
2
2
(1) 当(0, 0) ∉D 时，由格林公式知
xdy -ydx
=0;
L x 2+y 2
(2) 当(0, 0) ∈D 时，作位于D 内圆周
l :x 2+y 2=r 2, 记D 1由L 和l 所围成, 应用格林公式，得
xdy -ydx xdy -ydx
-=0.
L x 2+y 2l x 2+y 2
xdy -ydx
=故
L x 2+y 2
xdy -ydx
=
l x 2+y 2
⎰
2π
r 2cos 2θ+r 2sin 2θ
d θ=
r 2
⎰
2π
d θ=2π.
例6 (E04) 求椭圆x =a cos θ，y =b sin θ所围成图形的面积A . 解 所求面积
1A =
2
1
xdy -ydx =L 2
⎰
2π
1
(ab cos θ+ab sin θ) d θ=ab
2
2
2
2
⎰
2π
d θ=πab .
例7 计算抛物线(x +y ) =ax (a >0) 与x 轴所围成的面积.
解 O N A 为直线y =0. 曲线AMO 为 y =ax -x , x ∈[0, a ].
∴A =
12
⎰⎰
xdy -ydx =
A M O
12
⎰
⎰
xdy -ydx +
ONA
12
⎰
xdy -ydx
A M O
1=2=
A M O
1
xdy -ydx =
2
a
⎛a ⎫
⎪x -1⎪dx -(ax -x ) dx a 2ax ⎝⎭
a
4
⎰
x dx =
12a . 6
例8计算
⎰
L
(x 2+2xy ) dx +(x 2+y 4) dy . 其中L 为由点O (0, 0) 到点B (1, 1) 的曲线弧
y =sin
πx
2
.
解
∂P ∂2∂P ∂Q ∂Q ∂
=(x +2xy ) =2x , =, =(x 2+y 4) =2x
∂y ∂y ∂y ∂x ∂x ∂x
原积分与路径无关. 故原积分=
例9(E05) 计算I =⎰(e y +x ) dx +(xe y -2y ) dy , 其中L 为如图10-3-11所示的圆弧段
L
⎰
(x +2xy ) dx +(x +y ) dy =
224
+⎰
1
x dx +
2
⎰
1
(1+y 4) dy =
23
. 15
O A B C .
解 因
∂P ∂y ∂Q ∂
=(e +x ) =e y , =(xe y -2y ) =e y . ∂y ∂y ∂x ∂x
所以曲线积分与路径无关, 作新路径OEC 折线, 因而
I =
=
OEC
(e y +x ) dx +(xe y -2y ) dy
⎰
1
(1+x ) dx +(e y -2y ) dy
1
⎰
1
⎡x 2⎤
=⎢x +⎥+e y -y 2
2⎦0⎣
[]
10
1
=e -.
2
例10 计算
⎰
(6, 8)
xdx +ydy x +y
2
2
(1, 0)
, 积分沿不通过坐标原点的路径.
解 显然, 当(x , y ) ≠(0, 0) 时， xdx +ydy x 2+y 2
=d x 2+y 2,
于是
⎰
(6, 8)
(1, 0)
x d x +y d y
=22x +y
⎰
(6, 8)
(1, 0)
d x 2+y 2=x 2+y 2
(6, 8) (1, 0)
=9.
例11 试求常数λ, 使I =解 由
⎰
(x , y )
(x 0, y 0)
xy λdx +x λydy 与路径无关, 并求I 的值.
∂P ∂∂Q ∂
=(xy λ) =λxy λ-1, =(x λy ) =λx λ-1y . ∂y ∂y ∂x ∂x
∂P ∂Q =, 得λ=2, 于是 ∂y ∂x
⎰
2⎤⎡x 2y 0⎡x 2y 2⎤1221222222
xy 0dx +x ydy =xy 0dx +x ydy =⎢⎥+⎢⎥=x y -x 0y 0. (x 0, y 0) x 0y 02⎢⎣2⎥⎦x 0⎣2⎦y 02
(x , y )
⎰
x
⎰
y
x y
例 12 验证: 在整个xOy 面内, xy 2dx +x 2ydy 是某个函数的全微分, 并求出一个这样 的函数.
证1 P =xy 2, Q =x 2y , 且
∂P ∂Q
=2xy =, x ∈R . ∂y ∂x
故在整个xOy 面内, xy 2dx +x 2ydy 是某个函数的全微分. 取积分路线如图, 则
u (x , y ) =
⎰
(x , y )
(0, 0)
xy 2dx +x 2ydy =
2
2y
⎰0
⎰
xy 2dx +x 2ydy +
⎰
xy 2dx +x 2ydy
x 2y 2
=0+x ydy =x ydy =.
2
证2 利用原函数法求全微分函数u (x , y ).
y ⎰0
∂
u x 2y 222
=xy
u =xy dx =+ϕ(y ), 由
2∂y
⎰
其中ϕ(y ) 是y 的待定函数. 由此得 ∂u
=x 2y +ϕ'(y ). ∂y
又u 必须满足 ∂u
=x 2y x 2y +ϕ' (y ) =x 2y ϕ' (y ) =0 ϕ(y ) =C , ∂y
所求函数为u =x 2y 2/2+C .
例13 设函数Q (x , y ) 在xoy 平面上具有一阶连续偏导数, 曲线积分与路径无关, 并且对任意t , 总有
(t , 1)
(1, t )
⎰
求Q (x , y ).
(0, 0)
2xydx +Q (x , y ) dy =⎰
(0, 0)
2xydx +Q (x , y ) dy ,
解 由曲线积分与路径无关的条件知
∂Q
=2x , ∂x
于是Q (x , y ) =x 2+C (y ), 其中C (y ) 为待定函数.
⎰⎰
(t , 1)
(0, 0) (1, t )
2xydx +Q (x , y ) dy =2xydx +Q (x , y ) dy =
⎰
1
0t
(t 2+C (y )) dy =t 2+
⎰C (y ) dy ,
0t 0
1
(0, 0)
⎰(1+C (y )) dy =t +⎰C (y ) dy ,
由题意可知t 2+
⎰
1
C (y ) dy =t +
⎰C (y ) dy .
t
两边对t 求导, 得
2t =1+C (t ) 或C (t ) =2t -1. 所以Q (x , y ) =x 2+2y -1.
例14 (E06) 设曲线积分⎰xy 2dx +y ϕ(x ) dy 与路径无关, 其中ϕ具有连续的导数, 且
L
ϕ(0) =0, 计算⎰
(1, 1)
(0, 0)
xy 2dx +y ϕ(x ) dy .
解 P (x , y ) =xy 2, Q (x , y ) =y ϕ(x ), ∂P ∂∂Q ∂
=(xy 2) =2xy , =[y ϕ(x )]=y ϕ' (x ). ∂y ∂y ∂x ∂x
因积分与路径无关散
∂P ∂Q
=, ∂y ∂x
由y ϕ' (x ) =2xy ϕ(x ) =x 2+C . 由ϕ(0) =0, 知C =0ϕ(x ) =x 2. 故
⎰
(1, 1)
(0, 0)
xy 2dx +y ϕ(x ) dy =
⎰
y
1
0dx +
⎰
1ydy =. 02
1
例15 选取a , b 使表达式
[(x +y +1) e +ae ]dx +[be -(x +y +1) e ]dy
为某一函数的全微分, 并求出这个函数.
∂P ∂∂Q ∂
=[(x +y +1) e y +ae y ]=e y +ae y , 解 =[be x -(x +y +1) e y ]=be x -e y , ∂y ∂y ∂x ∂x
∂P ∂Q =, 即 若表达式全微分式, 则
∂y ∂x
y
x
y
e x +ae y =be x -e y . 得a =-1, b =1.
u (x , y ) =
⎰[(x +0+1) e +(-1) e ]dx +⎰
x
x y
[e x -(x +y +1) e y ]dy +C
=
⎰
x
[(x +1) e x -1]dx +
⎰
y
[e y -(x +y +1) e y ]dy +C
x y
=[xe x -x ]0+[e x y -xe y -ye y ]0+C
=(x +y )(e x -e y ) +C .
课堂练习
1. 计算(yx 3+e y ) dx +(xy 3+xe y -2y ) dy , 其中L 为正向圆周曲线x 2+y 2=a 2.
L
⎛x 3⎫⎧x =t -sin t
⎪dy , 其中L 为沿摆线⎨2. 计算⎰(x y +3xe ) dx + 从O (0, 0) 到-y sin y 3⎪L y =1-cos t ⎩⎝⎭
2
x
A (π, 2) 的一段弧.
3. 验证(3x 2+2xy 3) dx +(3x 2y 2+2y ) dy 是全微分, 并求其一个原函数.