函数中恒成立问题
函数中恒成立问题解题策略
河北武邑中学 刘存稳
函数内容作为高中数学知识体系的核心,也是历年高考的一个热点。恒成立问题,涉及到一次函数、二次函数的性质、图象, 渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,有利于考查学生的综合解题能力,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型:①一次函数型;②二次函数型;③变量分离型;④赋值型⑤数形结合
一、一次函数型:利用单调性求解
给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0), 若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0,则根据函数的图象(直线)可得上述结论等价于
a >0⎧a
⎩f (n ) >0⎧f (m ) >0⎩f (n ) >0ⅰ)⎨⎧
⎩f (m ) >0或ⅱ)⎨亦可合并定成⎨
⎧f (m )
例1、 对于满足|a |2的所有实数a, 求使不等式x 2+(a-2)x-a+1>0恒成立的x 的
取值范围。
解:原不等式转化为(x -1)a +x 2-2x +1>0在a ≤2时恒成立。
设f(a)=(x -1)a +x -2x +1,则f(a)在[-2, 2]上恒大于0,故有:2
⎧x 2-4x +3>0⎧x . >3或x 0即解得: ⎨⎨⎨2f (2) >0⎩⎩x >1或x 0
∴x 3。即x ∈(-∞, -1) (3, +∞)
点评:此类题本质上是利用了一次函数在区间[m , n ]上的图象是一线段,故只需保证该线段两端点在x 轴上方(或下方)即可。
二、二次函数型:利用判别式,韦达定理及根的分布求解
若二次函数f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0) 在实数集R 上恒成立问题可利用判别式直接求解,即
f(x)>0恒成立⇔⎨⎧a >0
⎩∆
⎩∆
若是二次函数在指定区间上的恒成立问题,还可以利用韦达定理或二次方程的实根分布知识求解。
例2、 设f(x)=x-2ax+2,当x [-1,+
的取值范围。 2]时,都有f(x)a 恒成立,求实数a
解:f ( x ) ≥ a 在 [-1, +∞) 内恒成立
即 x 2 – 2ax + 2 – a ≥ 0 在[-1, +∞)内恒成立
设g ( x ) = x2 – 2ax + 2 – a = (x – a)2 + 2 – a2 – a
只需 g ( x ) 在 [-1, +∞) 上的最小值大于等于0 即可
∵ g ( x ) = x2 – 2ax + 2 – a2 – a的对称轴为 x = a
∴ 当 a < - 1 时,最小值是
f ( - 1 ) = 1 + 2a + 2 – a = a + 3 ≥ 0
∴ - 3 ≤ a < - 1
当 a ≥ - 1 时,顶点的值最小
2 – a2 – a ≥ 0 即 - 2 ≤ a ≤ 1
∴ - 1 ≤ a ≤ 1
综上所述得 - 3 ≤ a ≤ 1
三、变量分离型:分离变量,巧妙求解
若在等式或不等式中出现两个变量,其中一个变量的范围已知,另一个变量的范围为所求,且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边,则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。
例3已知三个不等式(1)x 2-4x+3
略解:由(1) , (2)得2
要使同时满足(1) , (2)的所有x 的值满足(3),
即不等式2x 2-9x +m
+9x 在x ∈(2, 3)上恒成立
, 即m
又-2x 2+9x 在x ∈(2, 3)上大于9,
所以m ≤9 。
四、赋值型:利用特植法求解
等式中的恒成立问题,常用赋值法求解,特别是对解决填空题,选择题能很快求得。
例4、如果函数y=f(x)=sin2x+acos2x的图象关于直线x =-π
8对称,那么a=( ) .
A. 1 B. -1 C. 2 D. -2
略解:取x=0及x=-π
4,则f(0)=f -⎛
⎝π⎫⎪,即a =-1,故选B 。 4⎭
点评:此法体现了从一般到特殊的转化思想
五、数形结合:直观求解
若把等式或不等式进行合理的变形后,能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象,则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。
例6.对任意实数x ,不等式x +1-x -2>a 恒成立,求实数a 的取值范围。
分析:设y=x +1-x -2对于任意实数x ,不等式x +1-x -2>a 恒成立即转化为求函数设y=x +1-x -2的最小值,画出函数的图象即可求得的取值范围。
⎧-3
⎪解:令设y=x +1-x -2=⎨2x -1
⎪3⎩x ≤-1-1
在直角坐标系中画出图象如图所示,由图象可看出,
要使对任意实数x ,不等式x +1-x -2>a 恒成立,只需a
变式1:若对于任意实数x ,不等式x +1-x -2
变式2:若不等式x +1-x -2
点评:利用数形结合解决恒成立问题,应先构造函数。作出符合已知条件的图形,再考虑在给定区间上函数与函数图象间的关系,得出答案或列出条件,求出参数的取值范围。
恒成立问题的题型和解法还有很多,只要我们充分利用所给定的特点和性质,具体问题具体分析,选用恰当的方法,对问题进行等价转化,就能使问题获得顺利解决。只有这样才能真正提高分析问题和解决问题的能力。