初中知识点概括

第一章：有理数

1.1 正数和负数

● 正数：像3，2，1.8%这样的大于0的数叫做正数

● 负数：正数前面加上负号

● 正数与负数在实际生活中的用途

1.2 有理数

● 有理数包含：正整数、零、负整数、正分数、负分数，都是表达成分数的形式 ● 数轴：一条直线上的点表示数。直线上任取一点0叫做原点，向右或者向上为正方向，向左或者向下是负方向。选取适当的长度叫做单位长度，每隔一个单位长度取一个点。 ● 相反数：只有符号不同的两个数字。

● 绝对值：数轴上表示数a 与原点之间的距离。

● 利用数轴对数的大小进行比较。

1.3 有理数的加减法

有理数的加法（法则）

● 同号相加：符号不变，绝对值相加

● 异号相加：取绝对值较大数的符号，用绝对值较大的减去较小的。互为相反数的两个数和为0

● 一个数与零相加，还是这个数字

有理数减法（法则）：减去一个数等于加上这个数字的相反数。也就是转换为加法来计算。

1.4 有理数的乘除法

有理数的乘法（法则）

● 两数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对者相乘。0乘以任何数都是0. ● 一个数和两个数和相乘，可以把这个数与这两个数分别相乘，再把乘积相加。 有理数的除法（法则）

除以一个不等于零的数，等于乘以一个数的倒数。变成乘法与乘法的运算一样的。

1.5 有理数的乘方

● 乘方：求n 个相同因数积的运算，记做：a n ，读作a 的n 次方或者是a 的n 次幂。乘方的结果是幂。其中a 叫做底数，n 是指数。

● 从有理数的乘法法则可以得到：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是偶数。正数的任何次幂都是正数。0的任何次幂都是0.

● 有理数的混合运算：

先乘方，再乘除，最后加减

同级运算从左到右的进行

若有括号先算括号，按照小括号、中括号、大括号依次进行。

1.6 科学计数法 ● 科学计数法

把大于10的数字表示成ax10n （a 的整数数位只有一位数，n 是正整数）形式{以后会扩充这边的知识，初一上学期n 的范围是这样的}

● 近似数：很难获的准确的数或者是不必使用准确的数。近似数与准确数的接近程度称作

是精确度。

● 有效数字：一个数字从左边第一个非0的数起，到末位数字为止，所有的数字都是这个

数的有效数字。

第二章 整式的加减

2.1 整式

● 含有字母的式子表示数量关系

● 单项式：数和字母乘积、字母与字母的积、单个的数、单个字母（突然想到，除以一个

字母是不可以的，这个时候就不是乘积了，就算看成乘积，也不是纯字母了，而且次数也是负的了）

● 系数：单项式中数字因数

● 单项式次数：所有字母的指数和

● 多项式：几个单项式的和

● 项：每个单项式叫做多项式的项。 ● 常数项：不含字母的项。

● 多项式的次数：次数最高项的次数

● 整式：单项式与多项式统称。表示包含乘法或者包含乘法和加法的式子（注意到不包含

除法）

2.2 整式的加减

● 同类项：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项，但是如没有字母，数字就要直接

相加。

● 合并同类项：多项式的同类项合成了一项的过程

● 合并同类项本质：我们最后得到项的系数是各个同类项系数和的结果，但是最后他们的

字母以及它的指数是不变的。

● 运算律：结合律、交换律、分配率

● 去括号：括号外是正号，去括号后括号内的各项符号不变；括号外是负号，去括号后括

号内的各符号与原来的符号相反。

● 整式运算法则：有括号先去括号，然后再合并同类项。

第三章：一元一次方程

3.1 从算式到方程

3.1.1 一元一次方程（列方程）

● 方程：列方程时，要先设字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，写出含有未知

数的等式。（未知数常常与一些已知数之间有确定的联系，这些联系常常表现出来的是相等关系，把这种关系用数学的形式写出来就是含有未知数的等式）

● 一元一次方程：还有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式。 ● 方程的解：使方程左右两边相等的时候，未知数取得值。

3.1.2 等式的性质

● 等式性质1 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。

● 等式性质2 等式两边乘同一个数，或除以一个不为零的数，结果仍相等。

3.2 解一元一次方程（一）——合并同类型与移项（解方程）

● 合并同类项：

● 移项：

3.3 解一元一次方程（二）——去括号与分母（解方程）

● 总结：所有的目的就是化成x=a的形式，也就是系数化为1. 可以使用去分母、去括号、

合并同类项、移项、等式的基本性质、预算律来实现。

3.4 实际问题与一元一次方程

● 设未知数、列方程、解方程、检验、得到答案。

● 常见的问题：销售中的盈亏

● 球赛积分表问题

● 电话计费问题

第四章 几何图形初步

几何：研究图形的形状、大小、位置关系的一门科学。

4.1 几何图形

4.1.1 立体图形与平面图形

● 立体图形：几何图形的各个部分不都在同一个平面内

● 平面图形：几何图形的各个部分都在一个平面内。

● 立体图形到平面图形：就是将立体图像的表面适当的剪开，就可以得到展开后的平面图

形，该平面图形叫做立体图形的展开图。

4.1.2 点、线、面、体

● 长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体简称体。 ● 包围着体的是面。面有平面和曲面。

● 面面相交成线。

● 线线相交成点

4.2 直线、射线、线段

● 两点确定一条直线，直线没有端点，射线有一个端点。

● 两条不同的直线有一个公共点，称这两条直线相交，这个公共点叫做交点。 ● 两条线段比较大小法：移动让一个端点重合、刻度尺两处长度的大小

● 尺规作图：限定用无刻度的直尺和圆规作图

● M 把线段阿AB 分成相等的线段AM 与线段MB ，M 叫做AB 的中点。还有两等分点还有

四等分点。

● 关于线段的基本事实：两点的所有连线中，线段最短。（两点之间，线段最短） ● 连接两点间的线段的长度，叫做这两点之间的距离。

4.3 角

4.3.1角

● 角也是一种基本的几何图形。描述度的单位有度，分，秒，60是他们之间的进制。 ● 把一个周角360等分，每一份叫做1度的角，记作1°，把1度的角60等分，每一份

叫做1分 的角，记作1´；把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1´´。 ● 以度分秒为单位的角的度量制，叫做角度制。以后还要学习以弧度为单位的弧度制。

4.3.2 角的比较和运算

● 量角器直接量出来；一条边叠合在一起，观察另一个角的位置来。

● 从一个角的定点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线

4.3.3 余角与补角

● 两个角的和为90°（直角），这两个角互余，其中每一个角是另一个角的余角。 ● 两个角的和为180°（平角），这两个角互补，其中每一个角是另一个角的补角。

补角与余角的性质：

● 同角（等角）的补角相等

● 同角（等角）的余角相等

第五章 相交线与平行线

5.1 相交线（相交）

5.1 1 相交线（2条直线）

● 领补角：一个公共边，另一个边互为反向延长线。 ● 对顶角：一个公共顶点，两个角的边互为反向延长线。

性质：

对顶角相等

5.1.2 垂线（2条直线）

相交线夹角是90°的两条直线的关系是互相垂直，这个是两条直线相交的特殊情况，两条直线互相垂直，一条直线是另外直线的垂线，他们的焦点叫做垂足。 ● 直线与直线：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

● 直线与线段：连接直线外一点与直线上各点的所有的线段中，垂线段最短。（垂线段最

短）。直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

5.1.3 同位角、内错角、同旁内角（说的是至少三条直线形成的角）

● 同位角：相对于来说是同样的位置

● 内错角：内部交错的角

● 同旁内角：同一旁内部的角

5.2 平行线及其判定（不相交）

5.2.1 平行线 ● 平行：两个直线不相交与不重合。

● 公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条这条直线平行。

● 进一步：如果这两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也是互相平行。

5.2.2 平行线的判定（定义上说没有交点就可以了，但是直线无线延伸很难做到，寻找其他

的方法。判定就是说，我知道内错角、同旁内角、同位角等角之间的关系，从而判断直线之间的关系）角关系到直线关系

判定方法：（利用第三个直线与当前直线之间形成的一个特殊关系角之间的关系。） 公理：

● 同位角相等，两直线平行

● 内错角相等，两直线平行

● 同旁内角互补，两直线平行。

特殊的：一条直线同时垂直两条直线，也是可以用上面的方法判定。这里引入因为所以应该怎么表示。因为∵、所以∴。

5.3平行线的性质 5.3.1 平行线的性质，直线的关系到角的关系。

公理：

● 性质1：两直线平行，同位角相等

● 性质2：两直线平行，内错角相等

● 性质3：两直线平行，同旁内角互补

5.3.2 命题、定理、证明

● 命题：判断一件事情的语气，命题由题设与结论两部分组成，题设是已知事项，结论是

已知事项推出的事项。一般情况下可以写成如果那么的形式。

● 真命题：如果题设成立，那么结论一定成立

● 假命题：如果题设成立，那么结论不一定成立。

● 公理：有些命题是基本事实，不需要去证明，可以直接使用。

● 定理：有些命题是要经过推理证实的，这些需要推理证实的真命题叫做定理。

在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能做出判断，这个推理的过程叫做证明。

5.4 平移

图形的整体往一个方向移动，得到一个新的图形与原来的图形大小形状完全相同。

新的图形的每一点都由原图形中的某一点移动得到的，连接两个点的对应点，连接各组对应点的线段平行且相等。

第六章 实数 6.1 平方根

一般的，如果一个正数x 的平方等于a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根。a 的算术平方根记为√a ，读作根号a 。

规定：0的算术平方根是0

实际上，许多正有理数的算术平方根都是无限不循环的小数。

平方根：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或者是二次方根。除零以外的正数的平方根都是两个。互为相反数，其中正的就是前面说的算术平方根。任何数的平方灯饰大于等于0的，所以负数时没有平方根的。

求一个数平方根的运算，叫做开平方。

6.2 立方根（开立方与立方互为逆运算）

一般的，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或者是三次方根。

求一个数的立方根的运算，叫做开立方。

√，读作3次根号a ，其中a 是被开方数。3是根指数。其中3是不可以省略的。 很多有理数的立方根都是无限不循环的小数。可以用有理数近似的表示无理数。

6.3 实数

● 有理数：有限小数或者是无限循环小数。都是可以表示为分数的形式。整数是可以看做

是小数点后是0的小数。

● 无理数：很多数的平方根与立方根都是无限不循环的小数。

● 实数：扩充了数的范围，有理数和无理数统称为实数。

实数也是有正负，也可以在数轴上表示，数轴上的点与实数是一一对应的。也是越往右边数值越大。关于相反数以及绝对值的意义同样适用的。

数a 的相反数是-a ，这里a 表示任意的一个实数

一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数；数0的绝对值是0. 乘方与开方是两个互逆的运算。 3

第七章 平面直角坐标系

描述直线上一个点的坐标的位置到描述平面内一个点的位置，这是一种数形结合的思想。

7.1 平面直角坐标系

7.1.1 有序数对

有顺序的两个数a 和b 组成的数对，实际生活中的常常用到，电影院的位置，学生的座位，书本中某个文字的位置等。

7.1.2 平面直角坐标系

● 平面直角坐标系：平面内两条互相垂直、原点重合的数轴。

● 水平的数轴称为x 轴或者横轴，习惯上取向右为正方向。

● 竖直的数轴称为y 轴或者纵轴，习惯上去向上为正方向。

● 两坐标轴（数轴）的交点为平面直角坐标系的原点。

建立平面直角坐标系以后，坐标平面被两个坐标轴分为四个部分，每个部分称为象限。坐标上的点不属于任何象限。

对于坐标平面的一点M ，都有唯一的一对有序实数（x ，y ）和它对应，反过来也是。这里也是存在着一一对应的关系。

7.2 坐标方法的简单应用

7.2.1 用坐标表示地理位置（坐标表示、方向加距离表示）

利用平面直角坐标系绘制一个区域内一些地点的分布情况，确定一个参照点作为原点，x 与y 轴；选取适当的单位长度；找出这些点，并写出这些点的坐标以及实际地点的名称。

7.2.2 用坐标表示平移

在平面直角坐标系中，对一个图形进行平移，图形上的点的位置发生了变化，坐标也发生了变化。

一般的，一个图形依次沿着两个坐标轴方向平移所得到的图形，可以通过原来的图形作一次平移得到。

一个图形移动后，坐标会发生变化；一个图形中某一点的坐标发生了变化，这个图形也会发生变化的。都是对应的。

由图形到解析式：

图形向上平移a ，纵坐标加上a ；图形向下平移a ，纵坐标减去a

图形向右平移a ，横坐标加上a ；图形向左平移a ，横坐标减去a

由解析式到图形：

上加下减，左加右减

第八章 二元一次方程组

8.1 二元一次方程组

● 二元一次方程：含有两个未知数（x 和y ），并且含有未知数的项的次数都是1的方程. ● 方程组：两个方程合在一起

● 二元一次方程组：这个方程组中有2个未知数，含有未知数的项的次数都是1，并且一

共有两个方程。

● 二元一次方程的解：使二元一次方程的两边相等的两个未知数的值

● 二元一次方程组的解：是两个方程的公共的解。

8.2 消元——解二元一次方程组

● 消元：将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想。

● 代入消元法（代入法）：把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知

数的式子表示出来，在带入到另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。

● 加减消元法：当二元一次方程组的两个方程中的同一未知数的系数相反或者相等时，把

这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。 代入消元法与加减消元法是二元一次方程组的两种解法，都是通过消元使得方程组转化为一元一次方程，只是消元的方法不同。

8.3 实际问题与二元一次方程组

方程组是解决含有多个未知数问题的重要工具，用方程组解决问题的时，要根据问题中的数量关系列出方程组，求出方程组的解后，进一步考虑这里是否符合问题的实际意义。

8.4 三元一次方程组的解法

三元一次方程组：方程组中含三个未知数，每个方程中含有的未知数的项的次数都是1，并且一共含有三个方程

解法与二元一次方程组类似，都是消元的思想。

第九章 不等式与不等式组

9.1 不等式

9.1.1 不等式及其的解集

● 不等式：用表示大小关系的式子

● 不等式的解：使不等式成立的未知数的值

● 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有的解组成的集合。

● 解不等式：求不等式解集的过程。

9.1.2 不等式的性质

● 不等式性质1：不等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。 ● 不等式性质2：不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 ● 不等式性质3：不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

≥读作大于或等于，，也可以读作不小于

≤读作小于或等于，，也可以读作不大于

两个数的大小比较：通过两个数的差来比较。

9.2 一元一次不等式

含有未知数，未知数的次数是一的不等式。

解不等式的时候也可以“移项“，把不等式一边的某项变号移到另一边，而不改变不等号的方向。

步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1.

9.3 一元一次不等式组

● 一元一次不等式组：把两个不等式合在一起。

● 不等式组的解集：一般的几个不等式的解集的公共部分。

解不等式组就是求它的解集。

解一元一次不等式组就是依次求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分。利用数轴可以直观的表示不等式组的解集。

第十章 数据的收集、整理与描述 10.1 统计调查

● 全面调查：考察全体对象的调查。收集到的数据全面、准确，但是一般花费多、耗时长。 ● 抽样调查：只是抽取一部分对象进行调查，根据调查数据判断全体对象的情况。花费少、

耗时短，但是抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度。 ● 简单随机抽样:总体中的每一个个体都有相等的机会被抽到。

● 过程：先用表格整理数据，再用统计图（条形图、扇形图、折线图、频数分布直方图）

进行描述，从中发现数据蕴含的规律，获取我们需要的信息。

10.2 直方图

步骤：

1. 计算最大值与最小的值

2. 决定组距与组数

把所有的数据分成若干组，各个小组两个端点之间的距离（组内数据取值范围）称为组距。根据问题的需要，各组的组距可以相同或者是不同。

3. 列频数分布表

对落在各个小组内的数据进行累计，得到各个小组内的数据的个数（叫做频数）

4. 画出频数分布直方图

一般情况下：小长方形的面积表示的是频数

小长方形的面积=组距×频数/组距。也就是说长方形的高就是频数/组距。

等距分组时候，各小长方形的面积（频数）与高的比是常数（组距）

有时候为了看图方便，通常直接用小长方形的高表示频数。也就是我们在看到直方图的时候要看看它的纵坐标到底是什么意思。到底是高表示频数还是面积表示频数。

第十一章 三角形

11.1 与三角形有关的线段

三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形

顶点是A/B/C的三角形，记作ΔABC ，读作三角形ABC

三角形按边相等关系可以分类为：等腰三角形的底角是相等的那两个角，顶角是两个腰夹的角。

三角形三边之间的关系（两点之间，线段最短）

● 三角形两边之和大于第三边

● 三角形的两边之差小于第三边

11.1.2 三角形的高、中线与角平分线

● 高：一个顶点到它对面的那条边之间的距离，或者说是垂线

● 中线：一个顶点到它对面的那条边的中点的连线

● 三角形的重心：三条中线的交点。（在一个物体中取该点可以让物体保持平衡） ● 角平分线：某一个角的平分直线与三角形另一边交点形成的线段。

11.1.3 三角形的稳定性

三角形稳定的性的应用：钢架桥、起重机，房屋建筑

四边形的不稳定性：活动挂衣服的架子、伸缩门。

11.2 与三角形有关的角

11.2.1 三角形的内角（内角的拼合或者是做平行线利用平行的性质与平角的定义） ● 三角形内角和定理三角形的三个内角和等于180°.

● 由三角形的内角和的定理可得直角三角形的两个锐角互余

● 由三角形的内角和的定理可得有两个角互余的三角形是直角三角形。

11.1.2 三角形的外角

三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线的组成的角

由三角形的内角和的定理推论得三角形的外角等于它不相邻的两个外角之和。

三角形的外角和是360°.

11.3 多边形及其内角和

11.3.1 多边形

● 多边形：类似于三角形，在一个平面内，有一些首尾顺次相接组成的封闭图形。 ● 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段。个数是：n （n-3）/2 ● 正多边形：各个边、各个角都相等的多边形。

11.3.2 多边形的内角和（分成若干个三角形）

● n 边形的内角和公式：（n-2）×180°

● n 边形的外角和360°

第十二章 全等三角形

● 全等形：能够完全重合的两个图形（形状大小都相同）

● 全等三角形：能够完全重合的两个三角形。

● 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置发生变化，大小和形状都不会发生变化，所以

以上运动图形还是会全等。

● 对应顶点：两个全等的三角形重合在一起，重合的顶点。

● 对应边：两个全等的三角形重合在一起，重合的边。 ● 对应角：两个全等的三角形重合在一起，重合的角。

全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。（知道是全等形的用性质）

12.2 三角形全等的判定（不知道是不是全等形的时候，先去利用已经给的条件判断） 由三角形有三个边，三个角。探究知道其中的一个条件、两个条件、三个条件情况下哪一种可以判定三角形全等。

利用圆规和尺子一起绘图，至少需要三个条件。

● 第一种：SSS （边边边），三边分别相等的两个三角形

● 第二种：SAS （边角边），两边及其夹角

● 第三种：SSA （边边角），不可以判断，那个相等的边是可以移动的

● 第四种：ASA （角边角），两角和它们的夹边

● 第五种：AAS （角角边），两个角加上一个角对应的边。

● 第六种：HL （斜边与直角边），斜边与一条直角边分别相等的两个直角三角形。

12.3 角的平分线的性质（利用三角形的全等）

● 角平分线的性质：角的平分线的点到角两边的距离相等。

● 角平分线的判定：角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上。

第十三章 轴对称

13.1 轴对称（画轴对称，画轴对称图形，求关于对称轴对称点的坐标）

13.1.1 轴对称（两个图形关于某一条直线对称，或者一个图形本身是轴对称图形）

● 轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，这条直线两旁的部分能够互相重合。 ● 对称轴：那条让两边完全重合的直线

● 关于这条直线（成轴）对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它可以与另一个图

像重合那么就说这两个图像关于这条直线（成轴）对称。这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。（这里说的是两个图形成对称轴，如果把这两个图形看成是一个图形的话，就可以说这个图形是轴对称图形，如果说把一个轴对称图形按照对称轴分开成两个图形的话，这两个图形关于这个对称轴对称。）

● 垂直平分线：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线

● 轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线

段的垂直平分线。轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 13.1.2 线段的垂直平分线的性质

线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点与这条线段的端点的距离相等。

线段垂直平分线的判定：与线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 如果两个图形是轴对称做对称轴的方法：找到对应点，应用圆规做出它的垂直平分线。（两个图形的对称轴在一次中只能有一条线段，所以求出其中一个对应点的垂直平分线就是求出

图形的对称轴） 13.2 画轴对称图形

画图：几何图形都是由点组成。对于某些图形，只要画出图形中的特殊点的对称点，链接这些对称点，就可以画出原图形的轴对称图形。

找轴对称图形的对称轴是x 或者y 轴的时候，一对对对称点之间的关系。 点（x ，y ）关于x 轴对称的点的坐标（x ，-y ）； 点（x ，y ）关于y 轴对称的点的坐标（-x ，y ）；

13.3 等腰三角形 13.3.1 等腰三角形

● 定义：由两边相等的三角形

● 性质：等腰三角形的底角相等（等边对等角）；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中

线、底边上的高互相重合。

等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边，，证明用的是，顶角的角平分线，证明全等的。这个是在一个三角形中使用的，如果不是一个三角形 等角对的就不一定的是等边，很显然的） 13.3.2 等边三角形

● 定义：等边三角形三边都相等的特殊的等腰三角形，底边和腰相等的等腰三角形。 ● 性质：等边三角形的三个内角相等，都是60°

● 判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角为60°的等腰三角形

利用等边三角形可以得到有一个锐角为30°的直角三角形的斜边等于30°所对的直角长度的2倍。也就是：直角三角形中，30°所对的边是斜边的一半

第十四章 整式的乘法与因式分解

14.1 整式的乘法

14.1.1 同底数幂的乘法

同底数幂相乘，底数不变，指数相加 14.1.2 幂的乘方

幂的乘方，底数不变，指数相乘 14.1.3 积的乘方

积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 14.1.4 整式的乘法

单项式与单项式相乘：把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式中还有的字母，则连同它的指数记作积的一个因式

单项式与多项式相乘，就是让单项式分别去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得积相加。 整式的除法

同底数幂相除，底数不变，指数相减。 利用底数相同指数相同的两个数的商是1，可以知道任何一个不等于0的数的0次幂都是1. 单项式相除：把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中的字母连同它的指数作为商的一部分，对于只在除数中的字母将它的指数变为原来的相反数。 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得商相加。

14.2 乘法公式

14.2.1 平方差公式

两数的和与这两个数的差的乘积，等于这两个数平方的差。(a+b)(a-b)=a2-b 2 14.2.2 完全平方式

两个数的和（或差）的平方，等于他们的平方和，加上（或减去）他们积的2倍。 （a+b）2=a2+2ab+b2 （a-b ）2=a2-2ab+b2

关于添括号：如果前面是正号，括号里面的各项符号不变，如果扩号前面是负号，扩到括号里的都要改变符号（这个就是与去括号相反的东西） 关于以上的公式的使用：有时候需要我们把所求的对象凑成符合平方差公式或者是完全平方式。这个需要多家观察以及对这两个公式的形式有很熟的记忆。

14.3 因式分解

因式分解定义：一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的一种变形。也叫把这个多项式分解因式。

14.3.1 提公因式法

公因式：多项式中每一项都有的一个公共的因式，把这个公共的因式，叫做公因式 提公因式法：将一个多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式。 14.3.2 公式法（乘法公式两边互换位置）

利用平方差公式：两个数的平方差，等于两个数的和与这两个数的差的积

利用完全平方公式：两个数的平方加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。 十字相乘法：

第十五章 分式

15.1 分式（说的是整式整式的计算，不是单个的一个数了）

15.1.1 从分数到分式（分式很多时候就是类比于分数进行研究的，无论是基本的性质还是分式运算）

他们在形式上很相似：都是A/B，但是分数中A 和B 都是整数，而在分式中A ，B 都是整式，并且B 中一定要含有字母。就是说分数与分式不是一个东西

分式定义：一般的，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么这个式子A/B叫做分式。

15.1.2 分式的基本性质

分式的分子分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。 约分：把一个因式的分子与分母的公因式约去（利用的是分式的基本性质） 最简分式：分子与分母没有公因式的式子。

通分：把几个异分母的分式分别化成与原来分式相同的同分母的分式。（利用的是分式的基本性质）【就是说分式还是原来的分式，只是这个式子分母换了，既然分母换了就会引起分子也会发生变化】

最简公分母：取各分母的所有因式的最高次幂的积做公分母。（有几个字母就取几个字母，还要取这些字母中的最高次幂，其中注意的是，数字也是因式，数字肯定就取最小公倍数。）

15.2 分式的运算

15.2.1分式的乘除（为何其他的都是先学加减而分式却先学乘除呢） 法则：

● 乘法法则：分式乘分式，用分子的积做积的分子，用分母的积做积的分母。

● 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除数相乘（记住a/b

其中a 是被除式，b 是除式，a 除b 与a 除以b 是不一样的） 分式的乘方，要把分子、分母分别乘方。 15.2.2 分式的加减 法则：

● 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减

● 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。

15.2.3 整数指数幂（这里指数学习的整数，可以是正的也可以是负数的）

正整数指数幂的一些性质（指的是指数是正整数，不是底数）这里的a 没有特别说明是任意实数。

a m ·a n =am+n (m,n为正整数) （a m ）n =amn (m,n是正整数) ( ab)n =an b n (n 正整数)

a m ÷a n =am-n (a不等于0，m 、n 为正整数，m>n) (a/b)n=a n /bn (n为正整数，b 不等于零) a 0=1

可以引入负整数幂，指数的取值范围扩大到全体整数

有了负数指数幂后，小于1的正数也可以用科学计数法表示。小于1的正数表示为a ×10-n 其中1≤a

小数的科学计数法应该怎么读。数小数点到第一个非零的数字之间的0的个数 ，最后指数是这个个数加上1的以后的相反数

15.3 分式方程分式方程：分母中含有未知数的方程。

解分式方程的一般方法：将分式方程化为整式方程，去分母（方程两边乘最简公分母） 最简公分母是否为0直接影响到最后解出来的值是否满足条件：把解得值代入最简公分母，如果最简公分母不是0，则这个解就是原方程的解。

第十六章 二次函数

16.1 二次根式

一般地，我们把形成√a （a ≥0）的式子叫做二次根式。“√”称为二次根号。根号里面的数据的必须为正数。整体计算同样需要是正数。 代数式：使用基本的运算符号（加减乘除乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子。

16.2 二次根式的乘除

● 二次根式的乘法法则：√√√ (a≥0,b ≥0) ，注意到根式里面的值必须为正。 ● ab

=√ (a≥0,b>0)

最简二次根式：被开方数不含有分母；被开方数不能含有开得尽方的因式或者因数； 在二次根式运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含有二次根式。

16.3 二次根式的加减

二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。

补充：海伦—秦九韶公式 如果一个三角形a,b,c, 记p=

a+b+c2

, 那么三角形的面积为S=√p（p −a ）（p −b ）（p −c ）

第十七章 勾股定理

17.1 勾股定理

命题一：如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b2=c2 (利用面积之和，一个正方形分成四个直角三角形和一个小正方形) 利用勾股定理可以证明直角三角形全等的判定定理HL

17.2 勾股定理的逆定理

命题二：如果三角形的三边长a,b,c 满足a 2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。 命题一与命题二叫做互逆命题（题设和结论正好相反），其中一个叫原命题，另一个叫做它的逆命题。

第十八章 平行四边形

18.1 平行四边形

定义：两组对边分别平行的四边形。 18.1.1 平行四边形的性质 ● 平行四边形对边平行； ● 平行四边形对边相等、（引申为两条平行线之间的任何两条平行线段相等） ● 平行四边形对角相等

● 平行四边形对角线互相平分

两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做两条直线之间的距离。 18.1.2 平行四边形的判定 判定定理：

● 两组对边分别相等的四边形是平行四边形（定义） ● 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ● 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ● 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

中位线：连接三角形两边中点的线段

三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。

18.2 特殊的平行四边形 18.2.1 矩形

矩形：有一个角是直角的平行四边形

● 分别从边、角和对角线进行研究性质： ● 矩形的四个角都是直角 ● 矩形的对角线相等

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

判定定理：

● 有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义） ● 有三个角是直角的四边形是矩形 ● 对角线相等的平行四边形是矩形 18.2.2 菱形

定义：有一组邻边相等的平行四边形 性质：

● 菱形的四条边都相等

● 菱形的两条对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角。 判定：

● 一组邻边相等的平行四边形是菱形 ● 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ● 四条边相等的四边形是菱形 18.2.3 正方形

定义：有一组邻边相等，有一个角是直角的平行四边形

它既具有矩形的性质也具有菱形的性质

正方形、矩形、菱形和平行四边形四者之间关系

平行四边形、菱形、矩形、正方形的有关概念

平行四边形、菱形、矩形、正方形的有关性质

平行四边形、菱形、矩形、正方形的判别方法

采用从一般到特殊的研究放大；性质定理与判定定理之间的关系，证明性质定理的逆命题，得到判定定理。

第十九章 一次函数

19.1 函数

● 在一个变化中，我们称数值发生过变化的量是变量，数值始终不变的量是常量。 ● 一般地在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y

都有唯一确定的值与它对应。就说x 是自变量，y 是x 的函数。如果x=a时y=b，那么就说b 是当自变量值为a 时的函数值。 ● 函数是刻画变量之间对应关系的数学模型。 ● 描述函数的方法：解析式（解析式法），列表格（列表法），画函数图象（图象法） ● 解析式：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系。 函数图象：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横坐标、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就叫做这个函数的图象。（直观的反应函数的关系）

描点画图步骤：列表，描点，连线

19.2 一次函数

19.2.1 正比例函数

● 一般地，形如y=kx（k 是常数，k ≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数。 ● 一般地，正比例函数y=kx（k 是常数，k ≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称之

为直线y=kx。当k>0时，直线y=kx经过第三、第一象限，自左向右上升，也就是y 随着x 的增大而增大。当k

图象。这里k 越大，图象越是靠近y 轴 19.2.2 一次函数

一般的，形如y=kx+b（k ，b 是常数，k ≠0）的函数，叫做一次函数。当b=0时，y=kx+b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。 一次函数y=kx+b（k ≠0）的图象可以由直线y=kx平移|b|个单位长度得到（当b>0,向上平移，当b

● 当k>0时，y 随x 的增大而增大 ● 当k

待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而得到函数解析式的方法。

19.2.3 一次函数与方程、不等式

求一元一次方程相当于在某个一次函数y=ax+b的函数值为0时，求自变量x 的值。

解一元一次不等式相当于相当于在某个一次函数y=ax+b的函数值大于0或者小于0时，求自变量x 的取值范围。

从数的角度：解二元一次方程组，就是相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少。

从形的角度：解二元一次方程组，相当于两条直线的交点坐标。所以画函数图象可以获取方程组的解。

方程（组）与函数之间互相联系，，从函数的角度把他们统一起来。实际问题会结合函数和方程的。

第二十章 数据的分析

20.1 数据的集中趋势 20.1.1 平均数

计算要用到所有的数据，它能够充分利用数据提供的信息，但是它受极端值的影响较大 权

加权平均数

再求n 个数的平均数的时候，如果x 1出现f 1次，x 2出现f 2次，。。。，x k 出现f k 次（这里f 1+f2+。。。+fk =n），那么这n 个数的平均数

X=

x1f1+x2f2+⋯+xkfk

n

也叫做x1，x2, …,xk 这k 个数的加权平均数，其中f1，f2，… ,fk，分别叫做x1，x2，…,xk 的权。

20.1.2 中位数和众数

众数和中位数不容易收到极端值得影响。 中位数：一组数按从小到大（或大到小）的排序，处于中间的那个数字，如果中间是两个数，求这两个数字的平均值

众数：一组数据出现次数最多的数据称为这组数据的众数。

20.2 数据的波动程度 方差：

标准差是s ，就是上面的结果开根号。

其中x 就是这些数据的平均值，这里叫做方差。方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小。

第二十一章 一元二次方程

20.1 一元二次方程（识别方程，知道各个项的强行要求，根与解的不同说法） 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的方程叫做一元二次方程。

一元二次方程的一般形式：ax 2+bx+c=0(a≠0)

其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。

20.2 解一元二次方程（降次到一元一次） 20.2.1 配方法

配方法：配成完全平方式 如果配方成(x+n)2=p

● P>0 两个不相等的实数根 ● P=0 两个相等的实数根 ● P

20.2.2 公式法 (X+ ) 2=(b2-4ac)/4a2

2ab

这里b 2-4ac>0 有两个不相等的实数根x=

2a

b 2-4ac=0 有两个相等的实数根x1=x2=-b/2a b 2-4ac

其中b 2-4ac 叫做一元二次方程的根的判别式，用Δ表示。Δ= b2-4ac 当Δ= b2-4ac ≥0，方程ax 2+bx+c=0(a≠0) 的实数根可以写为 x=

−b±√b−4ac

2a

的形式，这个式子叫做一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式。解一元二

次方程的时候，把各系数可以直接带入求根公式，这个叫做公式法。

20.2.3 因式分解法（适用于可以化为两个因式的乘积并且另一边为0的形式）

把方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再把一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解

20.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 X 2+px+q=0 有两个解x1，x2 (x-x1)(x-x2)=0 x2-(x1+x2)+x1x2=0 X1+x2=-p x1x2=q

一般的方程ax 2+bx+c=0(a≠0) 中的两根和与积与系数的关系

X1+x2=-b/a x1x2=c/a 在知道两个根的值的时候可以求出这个方程的表达式。

21.3 实际问题与一元二次方程（可以用作实际问题中的数量关系的数学模型） 解题过程：

● 设未知数，列方程 ● 解方程 ● 检验

● 得到实际问题的解

第二十二章 二次函数

22.1 二次函数的图象和性质 22.1.1 二次函数

函数用自变量的二次式表示：y= ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c 都是常数) ，其中x 是自变量，a ，b ，c 分别是函数解析式的二次项系数，一次项系数和常数项。 22.1.2 二次函数y= ax2的图象和性质

● a>0 抛物线y= ax2开口向上，对称轴是y 轴，顶点是原点，顶点是抛物线最低的点，a

越大，抛物线的开口越小

● a

越小，抛物线的开口越小 |a|越大，抛物线的开口越小。

22.1.3 二次函数y=a（x-h ）2+k的图象和性质

● a>0 ，开口向上，当xh，y 随着x 的增大而增大， ● ah，y 随着x 的增大而减小， 对称轴是x=h，顶点坐标是（h ，k ）

可以看作是y= ax2向左右上下平移得到。他们的形状是相同的 22.1.4二次函数y= ax2+bx+c=0的图象和性质 配方得到：

y=a （x+ +

对称轴是x= −

2ab 2a

b

2

4ac−b24a

b 2a

，顶点是：（−

b 2a

4ac−b24a

b 2a

，y 随着x 的增大而

● a>0 ，开口向上，当x

y 随着x 的增大而减小，x>−

● a

b 2a

y 随着x 的增大而增大，x>−

b 2a

，y 随着x 的增大而

二次函数一般是求解析式，并且研究这个函数的增减性最值等情况， 一元二次方程一般是求根的情况

22.2 二次函数与一元二次方程

一般地，从二次函数y= ax2+bx+c=0的图象可以得到下面的结论

● 如果抛物线y= ax2+bx+c=0与x 轴有公共点，公共点的横坐标是x 0 ，那么当x=x0 时，

函数值是0，因此x=x0 是方程y= ax2+bx+c=0的一个根

● 二次函数y= ax2+bx+c=0的图象与x 轴的位置有三种关系：没有公共点，一个公共点，

两个公共点。这就对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根

22.3 实际问题与二次函数

归纳抽象出二次函数y= ax2+bx+c=0，利用二次函数的图形与性质求解，得到实际问题的答案。

第二十三章 旋转

23.1 图形的旋转

● 平面图象绕着平面内某一点0转动一个角度，叫做图形的旋转，点0叫做旋转中心，转

动的角叫做旋转角。如果图形上的点p 经过旋转变为p ’，那么这两个点叫做旋转的对应角。

● 旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋

转角，旋转前后的图形全等。

23.2 中心对称 （属于旋转的一种情况） 23.2.1 中心对称

如果把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它可以与另外一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。两个图形旋转后可以重合的对应点叫做关于对称中心的对称点。 中心对称的性质：

中心对称的两个图形，对称点所连接的线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分。 中心对称的两个图形是全等图形。 23.2.2 中心对称图形 中心对称图形：把一个整个图形绕着某一点旋转180度，如果旋转后的图形可以能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。

这里与轴对称（说的是一种关系）以及轴对称图形（说的是具有某种关系的图形）有一定的相似之处

23.2.4 关于原点对称的点的坐标

两个点关于原点对称时，它的坐标符号相反（全等） P （x ， y ）关于原点的对称点P ’(-x,-y)

第二十四章 圆

24.1 圆的有关性质 24.1.1 圆 在一个平面内，线段OA 绕它的固定的一个点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆。其固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径。

连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弦

圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 ● 等圆：能够重合的两个圆

● 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧 24.1.2 垂直与弦的直径

圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴 垂径定理：

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

24.1.3 弧、弦、圆心角（把圆绕着圆心旋转一个角度，所得图形与原来图形重合，圆是一个中心对称图形，）

顶点在圆心的角是圆心角 定理：（同圆或等圆中，只要知道弧弦或者是圆心角中的一个相等，就可以知道其他的是相等的。）

● 同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

● 同圆或等圆中，如果两条胡相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等

● 同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的优弧与劣弧分别

相等。 24.1.4 圆周角

● 顶点在圆上，并且两边都与圆相交，我们把这样的角叫做圆周角 ● 定理：一条弧所对的圆周角等于他所对的圆心角的一半

● 推论：同弧或者等弧所对的圆周角相等（圆心角相等可以推到）

● 半圆（直径）所对的圆周角都是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 ● 圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边

形。这个圆叫做多边形的外接圆。 ● 圆内接四边形的对角互补。

24.2 点和圆、直线和圆的位置关系

24.2.1 点和圆的位置关系（半径与该点到圆点距离的关系） 圆外d>r、圆上d=r、圆内d

● 直线与圆有两个公共点，这时我们就说直线与圆相交，这条直线叫圆的割线 ● 直线与圆有一个公共点，这时我们就说直线与圆相切，这条直线叫圆的切线

● 直线与圆有没有公共点，这时我们就说直线与圆相离， 由相交/相离/相切的定义，下面用结合数学符号表示： ● 直线l 和⊙O 相交 d d=r ● 直线l 和⊙O 相离 d>r

● 切线的判定定理：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 ● 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径

● 切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点与切点之间的线段长，叫做这点到圆的切线

长。

● 切线长定理：从圆外的一点可以引圆的两条切线，他们的切线长相等，这点与圆心的连

线平分两条切线的夹角。（作图，证明全等。）

● 内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆 ● 内切圆的圆心是三角形的三条角平分线的交点，叫做内心。（角平分线的画法） ● 扩展：圆与圆的位置关系

两个圆没有公共点，就说这两个圆相离（外离【外面的相离】、内含【内部的相离】） 有一个公共点，就说两个圆相切，（外切【外部相切】，内切【内部相切】） 有两个公共点，就说两个圆相交。

24.3 正多边形和圆

正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径。正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。

24.4 弧长与扇形面积

由组成圆心角的两条半径与圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。

nπr

弧长公式l=

180扇形面积：s=

nπr2

360

=1/2 l r

母线：连接圆锥顶点与底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥（一个底面和一个侧面围成的几何体）的母线

关于圆锥的计算是要注意的。

第二十五章 概率事件

25.1 随机事件与概率 25.1.1 随机事件

在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件。 25.1.2 概率 一般地，对于随机事件A ，我们刻画其发生可能性的大小的数值，称为随机事件发生的概率。记为P （A ）

25.2 用列举法求概率

结果只有有限多个，各种结果出现的可能性大小相等

25.3 用频率估计概率

频率是做了大量的重复实验发现实验的数据总是在一定的范围内波动，这个上下波动的范围数是一个固定数，体现出一定的稳定性。大量的重复实验，用一个随机事件发生的频率去估计他的概率。

第二十六章 反比例函数

26.1 反比例函数 26.1.1 反比例函数

一般地，形如y= (k为常数，k ≠0) 的函数，叫做反比例函数。其中x 是自变量，y 是函数。

xk

自变量的范围是不等于0的一切实数。（这里xy 的积一致都是不变的） 26.1.2 反比例函数的图象与性质 当k>0

一般地，当k>0时，对于反比例函数y=

，由函数图象如图所示。结合解析式可以得到

xk

图象位于第一、第三象限

每一个象限内，y 随着x 增大而减小。研究的时候需要根据x 的正负分别讨论，虽然增减性一样，但是对于每一个象限是独立的分析。 当K

一般地，当k

xk

图象位于第二、第四象限

每一个象限内，y 随着x 增大而增大。研究的时候需要根据x 的正负分别讨论，虽然增减性一样，但是对于每一个象限是独立的分析。

26.2 实际问题与反比例函数

第二十七章 相似

27.1 图形的相似

我们把形状相似的图形叫做相似图形

相似多变形：两个边数相同的多边形，如果他们的角分别相等，边成比例。那么这两个多边形就叫做相似多边形。

27.2 相似三角形

27.2.1 相似三角形的判定

三个角相等，三个边成比例，就是说这两个三角形相似。 平行线分线段成比例的基本事实：

两条直线被一组平行线所截，所得对应线段成比例

平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例。 （利用定义与全等三角形去证明）

● 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与圆三角形相似。 ● 三边成比例的两个三角形相似。

● 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 ● 两个角分别相等的两个三角形相似。 27.2.2 相似三角形的性质

● 相似三角形对应高的比，对应中线的比与角平分线的比都等于相似比 ● 相似三角形对应线段的比等于相似比。 ● 相似三角形面积的比等于相似比的平方 27.2.3 相似三角形的应用举例 利用相似三角形解决一些实际问题

27.3 位似

如果一个图形上的点A,B …,P , …和另一个图形上的点A ’,B ’…,P ’, …分别对应。并且他们的连线AA ’,BB ’, …PP ’, …都经过同一点O ，

OA′OA

=

OB′OB

=…

OP′OP

=…, 那么这两个图形叫做位似图形。，点O 是

位似中心。位似图形不仅相似而且还具有特殊的位置关系。

位似多边形：如果两个多边形，他们的对应顶点的连线相交于一点，并且这点与对应顶点所连线段成比例，

利用位似图形可以将一个图形放大或缩小。

可以利用变化前后两个多边形的对应顶点的坐标之间的关系表示某些平移、旋转（中心对称）、轴对称，位似也可以用两个图形坐标之间的关系表示。

平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使得与原来图形的相似比为K ，那么与原来图形上的点（x ，y ）对应的位似图形上的点的坐标为（kx ，ky ）正的方向位似 或（-kx ，-ky ）相反的方向位似

第二十八章 锐角三角函数

28.1 锐角三角函数 在直角三角形中：

在Rt ΔABC 中，∠C=90°，

● 我们把锐角A 的对边的比与斜边的比叫∠A 做的正弦，记作sin A

斜边

我们把锐角A 的邻边与斜边的比叫∠A 做的余弦，记作cos A 斜边

我们把锐角A 的对边与邻边的比叫∠A 做的正切，记作tan A

sin A=

∠A 的对边

= a = b

●

cos A=

∠A 的邻边

●

∠A 的邻边

∠A 的正弦、余弦、正切都是∠A 的锐角三角函数。

tan A=

∠A 的对边

= a锐角三角函数表格：

特殊的角可以使用计算器完成计算

28.2 解直角三角形及其应用 28.2.1 解直角三角形

一个直角三角形，除了一个直角之外还有5个元素，由直角三角形的一致元素，求出其他元素的过程叫做解直角三角形。

除直角以外其他一些变量之间的关系： （1） 三边之间的关系

a 2+b2=c2（勾股定理）

（2） 两个锐角之间的关系 ∠A+∠B=90° （3） 边角之间的关系

sin A=cos A=tan A=

∠A 的对边斜边斜边

= a = b= a

∠A 的邻边∠A 的对边

∠A 的邻边

28.2.2 应用举例

利用解直角三角形知识解实际问题的一般过程

（1） 实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转为解直角三角形的问题） （2） 根据给出的条件，选中合适的锐角三角函数等解决直角三角形 （3） 得到数学问题的答案 （4） 得到实际问题的答案

第二十九章 投影与视图

29.1 投影

一般地，用光线照射到物体上，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。 这个是按照光源的性质：

由平行光线形成的投影叫做平行投影（太阳光线）

由一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影。（灯泡） 这个是按照投影线与面垂直：

投影线垂直于投影面叫做正投影。

29.2 三视图

当我们从某一个方向观察一个物体时，所看到的平面图形的叫做物体的一个视图 对一个物体的在三个投影面内进行正投影，

在正面内得到的由前到后观察物体的视图，叫做主视图 在水平面内得到的由上到下观察物体的视图，叫做俯视图 在侧面内得到的由左到右观察物体的视图，叫做左视图

注意由三视图之间的关系： 三视图的位置：（正对着物体看，左右之间的距离叫做长，前后距离叫做宽，上下之间的距离叫做高）

● 主视图和俯视图看到物体的长，长对正 ● 主视图与左视图看到物体的高，高平齐 ● 左视图与俯视图看到物体的宽，宽相等

三视图画出原图形

如果是看得见的轮廓用实线，看不见的面用虚线。