竖曲线各元素的精确计算公式
二、计算原理
1. 近似计算公式
如图1所示，设道路纵坡的变坡点为I ，其设计高程为H I , 里程为D I ，两侧的纵坡度分别为i 1、i 2，竖曲线设计半径为R ，竖曲线各元素的近似计算公式如下：
图 1
2. 精确计算公式
如图2所示，在图中建立以水平距离为横坐标轴d, 铅垂线为纵坐标轴H′的dOH′直角坐标系，A 点的坐标为(dA ，0) ，Z 点的坐标为(0，H Z ′)，竖曲线各元素的精确计算公式如下：
α1＝arctani 1 (1) α2＝arctani 2 (2) ω＝α1-α2 (3) T ＝Rtan
(4)
E ＝R(sec
-1) (5)
d I ＝Tcos α1 (6) d A ＝Rsin α1 (7) H Z ′＝Rcos α1 (8)
竖曲线在直角坐标系中的方程为： (d-dA ) 2+H′2＝R 2
(9)
图 2
由式(9)可推算出竖曲线上任一与Z 点的里程差为d 的点的纵坐标值H′，则
(10)
0≤d≤dY
并可立即推算点的设计高程和里程：
H ＝H′-ΔH (11)
D ＝D Z +d (DZ ＝D I -d I ) (12)
式中，α1，α2分别为纵坡线与水平线的夹角；ω为变坡角；Τ为切线长；Ε为外矢距；d I 为纵坡变坡点I 与Z 点的里程差；d A 为竖圆曲线圆心A 与Z 点的里程差；H′为竖圆曲线上任一点的纵坐标值；d 为竖圆曲线上任一点与Z 点的里程差；H 为竖圆曲线上任一点的设计高程；ΔH ＝H′Z-H Z 为Z 点纵坐标值与Z 点设计高程之差(HZ ＝H I -d I . i 1) ；D 为竖曲线上任一点的里程。
由式(10)可知，当d=dA 时，则里程D N ＝D Z +dA 的N 点为竖圆曲线的变坡点，其高程H N ＝H N ′-ΔH ＝R-ΔH ＝max ，N 点在现场施工中具有很重要的指导意义。
三、计算实例
某山岭重丘的二级公路的纵坡变坡点I ，其设计高程H I ＝68.410 m ，里程D I ＝6+710.280，两侧纵坡分别为7%和-5%，凸形竖曲线的设计半径R ＝3 500 m，其计算结果见表1。
表1
四、结 论
采用传统的近似计算公式推算竖圆曲线上点的设计高程和里程，存在着一定的误差，并且随着道路纵坡的增大而增大。特别对于大纵坡又有超高横坡的外边线的竖曲线(有超高的外边线纵坡比中线纵坡更大) 以及风景区和校区、别墅区等的竖曲线(纵坡常在10%左右) ，若用近似方法计算，误差更大，而且没有勘测设计竖圆曲线的变坡点N ，直接影响路面施工精度和质量。而采用本文介绍的方法计算，计算公式精确严密，不受坡度和半径大小的影响，方便迅速，又可计算和测设具有重要作用的竖曲线变坡点N 。采用本方法具有较高的应用价值和施工实际指导意义。