空间解析几何复习资料含答案

空间解析几何练习题

1. 求点M (a ,

2. 设 A (-3,

3. 证明 A (1, b , c ) 分别关于（1）xz 坐标面（2）x 轴（3）原点 对称点的坐标． x , 2) 与B (1, -2, 4) 两点间的距离为29，试求x ． 2, 3) B (3, 1, 5) C (2, 4, 3) 是一个直角三角形的三个顶点．

4. 设∆ABC 的三边=，=，=，三边的中点依次为D ，E ，F ，试用向量表示 ，，，并证明：++= ．

5. 已知：a =i -j +2k ，b =3i +j -k 求2a +3b ，2a -3b ． 6. 已知：向量与x 轴，y 轴间的夹角分别为α=60，β=1200求该向量与z 轴间的夹角γ．

7. 设向量的模是5，它与x 轴的夹角为0π，求向量在x 轴上的投影． 4

3, 5) ，C (3, -1, -2) 计算：2-3，8. 已知：空间中的三点A (0, -1, 2) ，B (-1,

+4．

9. 设a ={2,

10. 设：={2, 0, -1}，b ={1, -2, -2}试求a -b ，2a +5b ，3a +b ． -2, 1}，试求与a 同方向的单位向量．

11. 设：=3+5+2，=2-4-7，=5+-4，=4+3-

试求（1）在y 轴上的投影；（2）在x 轴和z 轴上的分向量；（3

．

12. 证明：(+) ⋅(-) =-．

13. 设：a ={3,

→→220, -1}，b ={-2, -1, 3}求⋅，(⋅) ． →→→→→→→→∧14. 设a =2i +x j -k ，b =3i -j +2k 且a ⊥b 求x

15. 设={0, 1, -2}，={2, -1, 1}求与和都垂直的单位向量．

0) ，B (-2, 1, 3) ，C (2, -1, 2) 求∆ABC 的面积． 16. 已知：空间中的三点A (1, 1,

17. （1）设∥求⋅ （2

==1求⋅

18.

=3=5，试确定常数k 使+k ，-k 相互垂直．

∧

19. 设向量与互相垂直，(a ⋅c ) =π

3∧，(b ⋅c ) =

π

6

=1

=2

=3+．

20. 设：=-3+5，=-2-+3求a ⋅b

21. 设：a =3i -6j -k ，b =i +4j -5k 求（1）a ⋅a ；（2）(3+2) ⋅(-3) ；（3）a 与b 的夹角．

∧

22. 设：(⋅) =

23. 设：a ={1, π6

=1

=． ∧

（1）a ⋅b ；（2）a ⨯b ；（3）cos(⋅) ． -1, 2}，={-1, -2, 1}，试求：

24.

=3

=26=72，求a ⋅b ．

25. 设a 与b 相互垂直，

=3=4，试求（1）(a +b ) ⨯(a -b ) ；（2）(3a -b ) ⨯(a -2b ) ．

26. 设：a +b +c =0证明：a ⨯b =b ⨯c =c ⨯a

27. 已知：求（1）（2）（3）4） =3+2-，=-+2，a ⨯b ；a ⨯i +b ．(+2) ⨯(2-3) ；(+) ⨯28. 求与a ={2, 2, 1}b ={-8, -10, -6}都垂直的单位向量．

29. 已知：a ={3, -6, -1}，b ={1, 4, -5}，c ={3, -4, 12}求(a ⋅c ) b +(a ⋅b ) c 在向量上的投影．

30. 设：a ⨯b =c ⨯d ，a ⨯c =b ⨯d 且b ≠c ，a ≠d 证明a -d 与b -c 必共线．

31. 设：a +3b 与7a -5b 垂直，a -4b 与7a -2b 垂直，求非零向量a 与b 的夹角．

32. 设：={2, -3, 6}={-1, 2, -2}向量

在向量与

=342，求向量的坐标．

∧

33.

=4=3，(a ⋅b ) =34. 求过点P 0(7,

35. 过点P 0(1,

36. 过点M (1,

37. 过点A (3, π6求以+2和-3为边的平行四边形面积． 2, -1) ，且以={2, -4, 3}为法向量的平面方程． 0, -1) 且平行于平面x -y -3z =5的平面方程． -3, 2) 且垂直于过点A (2, 2, -1) 与B (3, 2, 1) 的平面方程． -1, 2) ，B (4, -1, -1) ，C (2, 0, 2) 的平面方程．

38. 过点P 0(2, 1, 1) 且平行于向量={2, 1, 1}和={3, -2, 3}的平面方程．

39. 过点M o （1，-1，1）且垂直于平面x -y -z +1=0及2x +y +z +1=0的平面方程．

40. 将平面方程 2x +3y -z +18=0 化为截距式方程，并指出在各坐标轴上的截距．

41. 建立下列平面方程

（1）过点（-3，1，-2）及z 轴；

（2）过点A （-3，1，-2）和B （3，0，5）且平行于x 轴；

（3）平行于x y 面，且过点A （3，1，-5）；

（4）过点P 1（1，-5，1）和P 2（3，2，-2）且垂直于x z 面．

42. 求下列各对平面间的夹角

（1）2x -y +z =6， x +y +2z =3；（2）3x +4y -5z -9=0，2x +6y +6z -7=0．

43. 求下列直线方程

（1）过点（2，-1，-3）且平行于向量={-3，-2，1}；

（2）过点M o (3，4，-2) 且平行z 轴；

（3）过点M 1（1，2，3）和M 2（1，0，4）；

（4）过原点，且与平面3x -y +2z -6=0垂直．

44. 将下列直线方程化为标准方程

⎧x -2y +3z -4=0⎧x =2y +2⎧3x +2z -1=0 （1）⎨； （2）⎨； （3）⎨ 3x +2y -4z -8=0y =z -4y +z =0⎩⎩⎩

45. 将下列直线方程化成参数式方程

⎧x -6z +1=⎧x -5y +2z -1=0⎪ （1）⎨； （2）⎨25． 5y =z -2⎩⎪⎩y -2=0

46. 求过点（1，1，1）且同时平行于平面x +y -2z +1=0及x +2y -z +1=0 的直线方程．

x -4y +3z ==的平面方程． 521

x -1y +1z -1x -1y +1z -1====48. 求通过两直线 与 的平面方程． 1-12-12147. 求过点（3，1，-2）且通过直线

64．求下列各对直线的夹角

（1）x -1y z +4x +6y -2z -3====，； 1-2751-1

（2）⎨⎧5x -3y +3z -9=0⎧2x +2y -z +23=0，⎨．

⎩3x -2y +z -1=0⎩3x +8y +z -18=0

⎧x +7y +z =0 相互平行． ⎨x +y -z -2=0⎩x -1y z +1==49. 证明直线 与 4-13

50. 设直线 l x -1y -3z +4== 求n 为何值时, 直线l 与平面2x -y -z +5=0 平行？ 1-2n

51. 作一平面，使它通过z 轴，且与平面2x +y -5z -7=0的夹角为

52. 设直线l 在平面π:x +y +z +1=0 内，通过直线l 1:⎨

与平面π的交点，且与直线l 1垂直、求直线l 的方程．

53. 求过点（1，2，1）而且与直线 π． 3⎧y +z +1=0 x +2z =0⎩

⎧x +2y -z +1=0 与 ⎨⎩x -y +z -1=0⎧2x -y +z =0 平行的平面方程． ⎨⎩x -y +z =0

54. 一动点到坐标原点的距离等于它到平面z -4=0的距离，求它的轨迹方程．

55. 直线l :⎨⎧2x +y -1=0 与平面π:x +2y -z -1=0 是否平行？若不平行，求直线l 与平面π⎩3x +z -2=0

的交点，若平行，求直线l 与平面π的距离．

⎧x =3+4t x -1y z -5⎪==56. 设直线l 经过两直线l 1:，l 2:⎨y =21+5t 的交点，而且与直线l 1与l 2都-18-3⎪z =-11-10t ⎩

垂直，求直线l 的方程．

57. 已知直线：l 1:⎨⎧x +y -z +1=0-1，2) 过点p 作直线l 与直线l 1垂直相交，求直线l 的方程． 及点 p (3，

⎩2x -y +z -4=0

58. 方程：x 2+y 2+z 2-4x -2y +2z -19=0 是否为球面方程，若是球面方程，求其球心坐标及半径．

59. 判断方程：x 2+y 2+z 2-2x +6y -4z =11 是否为球面方程，若是球面方程，求其球心坐标及半径．

⎧z 2=5x 60. 将曲线：⎨ 绕x 轴旋转一周，求所成的旋转曲面方程．

⎩y =0

⎧4x 2+9y 2=3661. 将曲线：⎨绕y 轴旋转一周，求所成的旋转曲面方程．

⎩z =0

62. 说明下列旋转曲面是怎样形成的

x 2y 2z 2y 2

2x -+z 2=2； （1++=10； （2） （3） （4） x 2-y 2-z 2=1；(z -a ) 2=x 2+y 2．4343

63. 指出下列方程在空间中表示什么样的几何图形

x 2y 2z 2

22=1．-=1； （3）z =4x ； （4）4y + （1）3x +4y =1； （2） 32322

自测题 (A)

(一) 选择题

1．点M (4, -1, 5) 到 x y 坐标面的距离为 （ ）

A ．5 B ．4 C ．1 D ．42

2．点A (2, -1, 3) 关于y z 坐标面的对称点坐标 （ ）

A ．(2, -1, -3) B ．(-2, -1, 3) C ．(2, 1, -3) D ．(-2, 1, -3)

3．已知向量a ={3, 5, -1}, b ={2, 2, 2}, c ={4, -1, -3}，则2a -3b +4c =（ ）

A ．{20, 0, 16} B ．{5, 4, -20} C ．{16, 0, -20} D ．{-20, 0, 16}

4．设向量=4-2-4，=6-3+2，则(3-2)(+3) =（ ）

A ．20 B ．-16 C ．32 D ．-32

5．已知：A (1, 2, 3), B (5, -1, 7), C (1, 1, 1), D (3, 3, 2) ，则prj

A ．4 B ．1 C ．CD →AB = （ ） →1 D ．2 2

6．设=2-+=+2-，则(+) ⨯(-) = （ ）

A ．-i +3j +5k B ．-2i +6j +10k

C ．2-6-10 D ．3i +4j +5k

7．设平面方程为x -y =0，则其位置（ ）

A ．平行于x 轴 B ．平行于y 轴 C ．平行于z 轴 D ．过z 轴．

8．平面x -2y +7z +3=0与平面3x +5y +z -1=0 的位置关系（ ）

A ．平行 B ．垂直 C ．相交 D ．重合

9．直线x +3y +4z ==与平面4x -2y -2z -3=0的位置关系（ ） -2-73

A ．平行 B ．垂直 C ．斜交 D ．直线在平面内

10．设点A (0, -1, 0) 到直线⎨⎧-y +1=0 的距离为（ ） ⎩x +2z -7=0

C ． A ．5 B ．

(二) 填空题 1611 D ． 58

1．设A (-3, x , 2) 与B (1，-2，4) 29，则x =_________．

2．设=-+3-2，=2-+，则2-3=_______________．

3．当m=_____________时，2-3+5与3+m -2互相垂直．

r j 4．设=2++，=-2+2，=3-4+2，则p c (a +b ) =．

4． 设=2-+，=+2-3，则(2+) ⨯(-2) =_________．

5． 与A (3, 2, -1) 和B (4, -3, 0) 等距离的点的轨迹方程为_______________．

（5，1，7）（4，0，-2）6． 过点，且平行于z 轴的平面方程_______________．

7． 设平面：x +y -z +1=0, 与2x +2y -2z -3=0 平行，则它们之间的距离_________．

（2，-8，3）8． 过点且垂直平面x +2y -3z -2=0 直线方程为______________．

10．曲面方程为：x 2+y 2+4z 2=4，它是由曲线________绕_____________旋转而成的．

(三) 解答题

1．求平行于a ={6, 3, -2}的单位向量．

2．已知作用于一点的三个力F 1={-2, 3, -4}, F 2={1, 2, 3}, F 3={3, -4, 5}求合力的大小与方向．

3． 如果={2, -1, 1}，={1, 2, -1}求在上的投影．

4． 用向量方法，求顶点在(2, -1, 1), (1, -3, -5), (3, -4, -4) 的三角形的三个内角．

5． 设=-+2，=2+-，=+2+2，试将下列各式用, , 表示．

（1） (a ⨯b ) ⨯c ； （2）(a ⨯b ) ⨯(a ⨯c ) ．

6． 求经过点（1,2,0）且通过z 轴的平面方程．

7． 在平面x -y -2z =0上找一点p ，使它与点(2, 1, 5), (4, -3, 1) 及(-2, -1, 3) 之间的距离相等．

8． 求过 (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) 的圆的方程，并求该圆在坐标平面xoy 上的投影曲线方程．

9．求过点（1,2,1）且同时平行2x +3y +z -1=0和3x +y -z +5=0两平面的直线方程．

10．方程：2x +y +z =1表示什么图形？ 222

自测题（B ）

(一) 选择题

1．设={2, -3, 1}, ={1, -1, 3}, ={1, -2, 0}，则(⨯) ⨯=（ ）

A ．8 B ．10 C ．{0, -1, -1} D ．{2, 1, 21}

2．设={1, -1, 2}, ={2, -2, 2}，则同时垂直于a 和b 的单位向量（ ）

A ．±{1

2, 111, 0} B ．±{, , 0} C ．±{2, 2, 0} D ．±{2, 2, 0} 222

3

．若a =6i +3j -2k ，b //a =14，则b =（ ）

A ．±(12i +6j -4k ) B ．±(12i +6j ) C ．±(12i -4k ) D ．±(6j -4k )

4．若M 1(1, 1, 1), M 2(2, 2, 1), M 3(2, 1, 2) ，则M 1M 2M 1M 3ϕ（ ）

A ．ππππ B ． C ． D ． 6234

5．过M 1(2，-1，4), M 2(-1，3，-2) 和M 3(0，2，3) ，的平面方程（ ）

A ．14x +9y -z -15=0 B ．2x +7y -8z -6=0

C ．14x -9y +z -15=0 D ．14x +9y +z -15=0

6．求平面x -y +2z -6=0 与平面2x +y +z -5=0的夹角（ ）

A ．ππππ B ． C ． D ． 2634

⎧A 1x +B 1y +C 1z +D 1=0 各系数满足（ ）条件，使它与y 轴相交． ⎩A 2x +B 2y +C 2z +D 2=0

B 1D 1 C ．C 1=C 2=0 D ．D 1=D 2=0 =B 2D 2 7．直线⎨ A ．A 1=A 2=0 B ．

8．设点M o (3, -1, 2) ，直线l ⎨⎧x +y -z +1=0，则M O 到l 的距离为（ ）

⎩2x -y +z -4=0

A ．

32332 B ． C ． D ． 2542

x -2y -3z -4==与平面2x +y +z =6夹角为（ ） 112

5 A ．30o B ．60o C ．90o D ．arcsin 6 9．直线

10．过点(-1, -2, -5) 且和三个坐标平面都相切的球面方程（ ）

A ．(x +1) 2+(y +1) 2+(z +1) 2=52 B ．(x +5) 2+(y +5) 2+(z +5) 2=52

C ．(x +2) 2+(y +2) 2+(z +2) 2=52 D ．(x -5) 2+(y -5) 2+(z -5) 2=52

(二) 填空题

1．设=-2+3，=2+，=-++，则+与是否平行__________．

2．设={3, 5, 8}，={2, -4, -7}，={5, 1, -4}，则4+3-在x 轴上的投影_________________．

3．化简：(++) ⨯+(++) ⨯-(-) ⨯=__________________．

4．直线 l :⎨⎧5x -3y +2z -5=0 和平面 π:4x -3y +7z -7=0的___________位置关系． ⎩2x -y -z -1=0

5．过直线⎨⎧4x -y +z -1=0 且与x 轴平行的平面方程___________________． ⎩x +5y -z +2=0

6．原点(0, 0, 0) 到平面2x -y +kz =6，的距离为2，则k =_________________．

7．与平面2x +y +2z +5=0，且与三个坐标面所构成的四面体体积为1的平面方程_____________________．

8．动点到点（0,0,5）的距离等于它到x 轴的距离的曲面方程为________________．

9．曲面方程：16x 2-9y 2-9z 2=25 则曲面名称为________________．

22⎧⎪z =2-x -y 10．曲线⎨ 在y z 面上的投影方程______________． 22⎪⎩z =(x -1) +(y -1)

(三) 解答题

1．设={1, 1, 1},={0, 1, 1},={1, 1, 0}并令=x +y +z （x ,y ,z 为数量）

求 （1）； （2）当={1, 2, 3}时，x , y , z ．

2．求平行于a ={6, 3, -2}的单位向量．

3．确定k 值，使三个平面：kx -3y +z =2, 3x +2y +4z =1, x -8y -2z =3通过同一条直线．

4．已知两个不平行的向量与，

⋅=2

=1=4，设c =2(a ⨯b ) -3(b Xa ) ，

求（1）⋅(+) ； （2

； （3）与的夹角余弦．

5．求以向量i +j , j +k , k +i 为棱的平行六面体的体积．

6．垂直平分连接A (4, 3, -1), B (2, 5, 3) 的线段的平面方程．

7．求与平面2x -6y +3z =4平行平面，使点(3, 2, 8) 为这两个平面公垂线中点．

8．在平面x -y -2z =0上找一点p 使它与点(2, 1, 5), (4, -3, 1) 及(-2, -1, 3) 之间的距离相等．

9．方程：4x 2+y 2-8x +4y -4=0表示什么曲面？

⎧x 2+y 2+z 2-6x -4y =09． 方程组⎨ 图形是什么？若是一个圆，求出它的中心与半径．

⎩2x +y +2z -1=0

参考答案

参考答案

练习题

1．（1）(a , -b , c ) ； （2）(a , -b , -c ) ； （3）(-a , -b , -c ) ．

2．x =1或x =-5． 3．算出距离后，证明满足勾股定理 4．略

5．2+3=++； 2-3=-7i -5+7．

52． 8．2-3={-11, 8, 18},+4={11, 4, -13}． 2

221 9．-={ 1, 2, 1},2+5={9, -10, -12},3+={7, -2, -5}． 10．单位向量为{, -, ．333

11．（1）7； （2）在x 轴的分向量13i ，在z 轴的分向量-9； （3）u =299． 6．γ=45 或135 ． 7．

12．利用数量积运算法则． 13．⋅=-9； () =π-∧935． 14．x =4． 70

3． (i +4j +2k ) ． 16．S ∆ABC = 15．单位向量：±2211

∧ 17．(1)若a 与b 同向，则a ⋅b =a ⋅b ，若a 与b 反向，则a ⋅b =-a ⋅b ；（2）cos(a b ) ．

3 18．k =±． 19．a +b +c =+63． 20．a ⋅b =16． 5

21．（1）46； （2）-2； （3）(a b ) =π-∧8

483． 22．3． 2

1 23．（1）3； （2）3i -3j -3k ； （3）．24．±30。 25．（1）24； （2）60． 2

26．略 27．（1）3i -7j -5k ； （2）-21（4）i -2j ． i +49j +35k ； （3）j -k ；

122 28．±{, -, ． 29．14． 30．提示：验证(a -d ) ⨯(b -c ) 是否为0． 333

∧π 31．(a b ) =，提示：c ⊥d 则c ⋅d =0。 32．c ={-3, 15, 12},或c ={3. -15. -12}． 3

33．30． 34．2x -4y +3z -3=0． 35．x -y -3z -4=0．36．x +2z -3=0.

37．3x +3y +z -8=0． 38．5x -3y -7z =0． 39．y -z +2=0．

40．截距式：-x y z -+=1，在x y , z 轴截距分别是 -9, -6, 18． 9618

41．(1)平行于x z 面； (2)过原点； (3)平行于z 轴； (4)平行于x 轴且过原点．

ππ； （2）． 32

x -2y +1z -3x -3y -4z +2==== 43．(1) ； (2) ； -3-21001

x -1y -2z -3x y z ===． (3) ； (4) =0-213-12

x -4y -6z -4x -2y z -4====44．(1) ； (2) ； 2138211

x -1y -1z +1== (3) ． 23-3 42（1）

⎧x =2-5t ⎧x =6+2t ⎪⎪45． (1)⎨y =-1+t ； (2)⎨y =2 ．

⎪z =-3+5t ⎪z =-1+5t ⎩⎩

x -1y -1z -1==． 47．8x -9y -22z -59=0． 48．5x +3y -z -1=0． 31-1

x y +1z ==49 50．n=4． 51．x +3y =0 或 3x -y =0． 52．． -23-146．

53．x -y +z =0． 54．x 2+y 2=-8(z -2) ． 55．l //π, l 与π1

6．

56．x +1y -16z +1x -3y +1z -2====． 57．．58．球心：(2, 1, -1) ，半径5． -65-22-374-11

59．球心：(1, -3, 2) ，半径5． 60．y 2+z 2=5x ． 61．4x 2+9y 2+4z 2=36．

⎧x 2y 2⎧2y 2

=10=2⎪+⎪x -62．（1） 由⎨3 绕y 轴旋转而成．（2） 绕y 轴旋转而成． 44⎨⎪z =0⎪z =0⎩⎩

⎧x 2-y 2=1⎧(z -a ) 2=x 2

（3）⎨绕x 轴旋转而成． (4)⎨ 绕z 轴旋转而成．

⎩z =0⎩y =0

63．（1）母线平行于z 轴的椭圆柱面； （2）母线平行于z 轴的双曲柱面；

（3）母线平行于y 轴的抛物柱面； （4）母线平行于x 轴的椭圆柱面．

64．（1）π22； （2）． 227

自测题(A)

(一) 选择题

1．A 2．B 3．C 4．D 5．D 6．C 7．D 8．B 9．A 10．A ．

(二) 填空题

419 1．x =1或x =-5； 2．-8a +9b -7c ； 3．m =-； 4． 329

5．5； 6．2x -10y +2z -11=0； 7．x -y -4=0；

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5x -2y +2x -3y 2

； 9．==+z 2=1绕z 轴旋转而成． 8．； 10．曲线612-34

(三) 解答题

6 3 2 1．±(i +j -k ) 2．F =2i +j +4k ； 大小F =21； 777

方向：cos α=2

21, cos β=1

21, cos γ=4

21 a =a cos ϕ=-． 3．prj b 16；

. 9239B =0. 38264．cos A =0. 9239； A =a r c c o 0s ； ∠A =2230' ； c o s ；

∠B =6730' ； ∠C =90．

5．（1）8i +3j -7k ； （2）-2i +j +4k ． 6．2x -y =0． 7．(, 1, ) ． 7

515

⎧x 2+y 2+z 2=1⎧x 2+y 2+xy -x -y =0 8．圆⎨ x y 投影⎨． 9．4x -5y +7z -1=0． ⎩x +y +z =1⎩z =0

10．表示双叶旋转双曲面，旋转轴为x 轴．

自测题(B)

(一) 选择题

1．D 2．A 3．A 4．C 5．A 6．C 7．B 8．A 9．D 10．B

(二) 填空题

1．不平行； 2．13； 3．2(a ⨯b ) ； 4．l 在π内； 5．21y -7z +9=0；

2 6．k =±2； 7．2x +y +2z =±23； 8．x -10z =-25；

⎧2y 2+2yz +z 2-4y -3z +2=0 9．双叶双曲面； 10．⎨．

⎩x =0

(三) 解答题

1．（1）d ={x +z , x +y +z , x +y }； （2）x =2, y =1, z =-1．

6 3 2 2．±(i +j -k ) ． 777

3．k =2． 4．（1）-4； （2）c =8； （3）cos ϕ=-

5．2． 6．x -y -2z +5=0． 7．2x -6y +3z -32=0．

8．点p (, 1, ) ． 9．母线平行于z 轴的椭圆柱面．

10．是圆．圆半径为

3． [1**********]4，圆心(, , -) ． 3999第 12 页 共 12 页