8 数学广角
8 数学广角——数与形
【教学内容】
教材第107页例1和例2及第108页做一做和练习二十二第1-8题。
【教学目标】
1. 通过数与形的教学，使学生初步学会一种重要的解题方法与策略。促进学生数学思维的发展。
2. 借助相关图形的操作与剪拼等情境，实现数与形之间的转化。
3. 通过数与形的训练，让学生感受到数学之美。
【重点难点】
通过数与形的教学，使学生初步学会一种重要的解题方法与策略。
教学安排：两课时
第一课时
【情景导入】
课件出示：
杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如下：
杨辉，字谦光，北宋时期杭州人。在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图。
杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和。其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位。中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。而这样一个三角在我们的奥数竞赛中也是经常用到，最简单的就是找规律。
师：今天我们就来一起走进奇妙无穷的数学广角——数与形。
板书：数与形
【新课讲授】
1. 教学例1。
出示课件：
（1）提问：观察一下，上面的图和下边的算式有什么关系？把算式补充完整。
1=()
1+3=（）
1+3+5=（）
生：左边的加数是大正方形右上角的小正方形和其他"L" 形图形所包含的小正方形个数之和。 图一：1
图二：1+3
图三：1+3+5
生：右边正好是每行或每列小正方形个数的平方。
1=(1)
1+3=（2）
1+3+5=（3）
（2）尝试练习。
你能利用规律直接写一写吗？如果有困难，可以画图。
1+3+5+7=（）
1+3+5+7+9+11+13=（）
=9
(3)学生汇报交流。
1+3+5+7=（4）
1+3+5+7+9+11+13=（7）
1+3+5+7+9+11+13+15+17=9
2. 教学例2。
课件出示：
（1）尝试计算。
（2）提问：你能发现什么规律？
生：从第二个数开始，每个数是前一个数的12。
生：我一个一个加下去看看，答案好像有些规律。加下去，等号右边的分数越来越接近1。
（3）画图理解。
用一个圆或者一条线段表示“1”。
分析：从图上可以看出这些分数不断加下去，总和就是1。
教师总结：有些计算问题或者大题通过画图，解决起来更直观。图形与数学之间能相互转化，能使计算更直观，更简单。
3. 巩固练习。
（1）完成教材第108页“做一做”。
第1题。
1+3+5+7+5+3+1=42+32=16+9=25
1+3+5+7+9+11+13+11+9+7+5+3+1=7+6=85
第2题。分析：第1个图形有1个红色，第二个图形有2个红色，第三个图形有3个红色„„所以第6个图形有6个红色，第10个图形有10个红色。
蓝色的个数等于总数-红色个数。第一个图形共有蓝色：3×3-1个，第2个图形共有蓝色：3×4-2（个），第3个图形共有蓝色：3×5-3（个）„„第6个图形共有蓝色：3×8-6＝18（个），第10个图形共有蓝色：3×12-10=26（个）。
（2）完成教材练习二十二第1~4题。
第1题。
提示：第5个图形外圈有（2×5+1）2-（2×5-1）2=40个小正方形，由题意可知第一个图形： 3-1=（1×2+1）-1，
第二个图形：
5-3=（2×2+1）-（2×2-1），
第三个图形：
7-5=（2×3+1）-（2×3-1），
第n 个图形：（2n+1）-（2n-1）。
第2题。第10个数是1+2+3+4+„+10=（1+10）×10÷2=55。
第3题。提示：
三角形的个数：
1 1+2+1=4 1+2+3+2+1=9 1+2+3+4+3+2+1=16
周长：
1×3=3 2×3=6 3×3=9 4×3=12
若大三角形最下面一层三角形的个数为n, 则大三角形的周长=3（）。
【课堂小结】
同学们，请你们探讨这节课我们有哪些收获？
【课后作业】
1. 完成练习二十二第5~8题。
2. 完成《创优作业100分》本课时练习。
数学广角——数与形
图形与数学之间能相互转化，解决问题更直观，更简单。
第二课时（练习课）
一、基本练习
1、填一填
(1) 1+3+5+7+9=（ ）= （ ）
4= 1+3+（ ）+（ ）
2+4+6+8+10=( ) 1+3+5+7+9+11+13+11+9+7+5+3+1=( )
(2)、如下图，一张桌子可以坐4人，两张桌子拼起来可以坐6人，三张桌子拼起来可以坐8人。像这样（ ）张桌子拼起来可以坐40人。
2、选一选
（1）与1+3+5+7+9+5+3+1表示相同结果的算式是( ).
A. 5+3 B.4 C.5+ 3 D.5- 3
（2）求2+6+10+14的和，下面算式错误的是（ ）
A.16×2 B.(14+2)×4÷2 C.14×4 D.(14+2)×2
3、判断。
（1）如下图，如果一个小三角形的边长为1cm, 第五个图形的周长是15cm. ( ）
(2)在1+3+5+7+9+„„中，从“1”到数“13”的和是49. （ ）
4、操作题
（1）请你接着画一画。并猜测第8个图形中一共用（ ）根小棒。
（2）请你接着画一画。并想一想这样的10张桌子连在一起可以坐（ ）人。
二、指导练习
1、练习二十二第5题，先由学生独立思考，然后指明回答，再由师生共同定正归纳。
2、第6题，引导学生用连线的方法先独立完成，老师再讲解。
3、第7、8题，学生分组解答，师生共同订正。
9 总复习
【教学目标】
1. 对本学期所学的有关数与代数、空间与图形、统计等知识进行系统的整理和复习，从而使学生的数学知识得以巩固、深化，数学技能得到进一步提高，应用所学知识解决问题的意识得到加强，各种能力得到更好的发展，为进一步学习打下良好的基础。
2. 在复习与整理本学期所学知识的同时，有意识地链接旧知识，使学生所学的知识系统化、深入化，形成一个较完整的知识体系。
3. 进一步加深学生对数学的认识，帮助他们了解数学的价值，能综合应用所学的知识，合理、灵活地解决问题，增强学生学好数学的信心，提高学生的综合素质。
【重点难点】
1. 分数乘法和除法的计算法则、倒数的意义、比的知识、百分数的意义等有关知识。
2. 圆的有关知识，会用周长和面积的计算公式进行有关的计算。
3. 感受扇形统计图的特点、作用，能读懂扇形统计图并从中获取必要的信息。
4. 在具体情境中探索确定位置的方法，能用方向和距离表示物体的位置。
【教学指导】
在复习前，教师要充分了解学生对本学期知识的掌握情况，如概念的理解水平、对易混淆概念的掌握情况，计算的正确率，普遍容易出错的问题等，从而根据具体情况制定恰当有效的复习计划。
在复习中，从知识的角度来说，需要注意两点：首先要注意突出核心知识和重点、难点，以使学生建立主要的知识脉络，提高复习的效率。比如对分数乘除法知识的复习，就要在理解概念和分数乘除法计算方法的基础上，弄清分数乘法和分数除法在计算方法上的相同点和不同点，以提高学生计算的正确率，抓好基本技能。其次就是要注意使学生在掌握好各部分知识的基础上，进一步加强各部分内容之间的联系，以帮助学生建立合理的知识体系。联系既包括知识间的纵向联系，也包括知识间的横向联系。纵向联系如位置的知识，既要以一年级下学期的位置知识为基础，又要与已有知识进行适当的比较；横向联系如百分数的应用与用分数乘除法解决问题间的联系等。从学生的角度来说，在复习时要注意兼顾各层次的学生，对于学习有困难的学生来说，要帮助他们查漏补缺，引导他们查找知识上的不足，进行一些基本练习等，以达到课标的要求；对于发展水平较高的学生来说，要满足他们的进一步需要，如完成一些综合性的练习或稍难的练习等。总之，要针对不同内容、不同学生，制定相应的计划，选择不同的复习方式。
【课时安排】
建议共分4课时：
分数乘、除法........................................1课时
百分数..............................................1课时
空间与图形..........................................1课时
统计................................................1课时
第1课时 分数乘、除法和比
【教学内容】
分数乘、除法（教材第113页总复习第1、2题）。
【教学目标】
1. 理解分数乘、除法的意义、倒数的意义，分数乘除法的关系，掌握分数乘、除法的计算方法，能正确地进行分数乘除法的计算。
2. 掌握比的意义，理解比与分数、除法的关系，比的基本性质，会求比值和化简比。
3. 掌握解决分数乘除法问题的思路，能熟练地分析数量关系，正确地解决分数除法问题。
【重点难点】
1. 概念和计算方法。
2. 掌握解决分数乘、除法问题的思路和方法。
【复习知识】
一、分步复习活动准备
将学生课前就本节复习内容提出的知识性问题和难点问题进行分类整理，制成问题卡，交由3位学生主持复习。
师：同学们，经历了将近一个学期的学习，大家都有不同程度的收获，为了帮大家更好地复习整理本节知识，我们请3位同学分别主持复习。现在请第一位主持人出场。
二、复习分数乘除法的知识
1. 主持人持知识问题卡提出问题，分别指名回答。
分数乘法的意义是什么？与整数乘法相同吗？
分数除法的意义是什么？与整数除法相同吗？
分数乘法的计算法则是怎样的？
什么叫倒数？怎样求一个数的倒数？
分数除法的计算方法是怎样的？
2. 主持人持难点问题卡提出问题，指名回答。
分数乘、除法的关系是怎样的？
分数除法的计算具体要注意几点？
0有倒数吗？为什么？1呢？
3. 教师组织学生计算。出示习题：教材第113页第1题。
4. 复习比的知识。
第二位主持人提出问题，学生回答。
（1）知识性问题：
什么叫比？比的各部分名称是怎样的？举例说明。
怎样求比值?
比与分数、除法有什么联系？
比的基本性质是什么？怎样化简比？
（2）难点问题：
为什么比的后项不能为0？
求比值与化简比有什么区别？
（3）练习：
②说出下面每个比的前项、后项，并求出比值。
2∶5 0.6÷0.3
③把下面各比化成最简整数比。
5. 复习解决问题的解题思路和方法。
第三位主持人上场。
①怎样解决分数乘除法问题呢？
主持人点4名同学板演教材第113页第3题。
对4名学生做的情况进行评议。
教师评讲：
原价×（1-）=现价，把原价看作单位“1”，单位“1”已知，用乘法计算。125×（1-）=100（元）
原价×（1-）=售价，把原价看作单位“1”，单位“1”未知，用除法计算。算式为100÷（1-）=125（元）
原价×（1-20%）=售价，把原价看作单位“1”，单位“1”已知，用乘法计算，125×（1-20%）=100（元）
原价×（1-20%）=100（元）
100÷（1-20%）=125（元）
（5）100×150%÷56=180（元）
（6）100×32=150（元）
②主持人归纳：区分分数乘、除法问题，判断把谁看作单位“1”以及是已知还是未知，这是非常关键的一步，此外还应借助线段图分析数量关系，真正掌握知识。
师：归纳得真好。今天三位主持人在场上还有很多精彩表现，请同学们评一评。
6. 典例讲析。
例1求出下面各题的比值。
（1）0.75∶ （2）1m ∶5cm
分析：第（1）题先将题中的小数化为分数，再进行化简，进而求出比值；第（2）题中1m 和5cm 单位不统一，应先把它们化成相同单位，再进行化简，进而求出比值。
（2）1m=100cm 1m ∶5cm=100cm：5cm=100∶5=20∶1=20
例2赵倩买了钢笔、圆珠笔和铅笔各一枝，圆珠笔花了3.5元，铅笔的价钱是圆珠笔的，正好是钢笔价钱的。
（1）一枝铅笔多少钱?
（2）一枝钢笔多少钱？
分析：（1）从“铅笔的价钱是圆珠笔的”看出，把圆珠笔的价钱看作单位“1”, 铅笔的价钱是单位“1”的，要求铅笔的价钱，就是求3.5元的是多少。
（2）从“正好是钢笔价钱的”看出，把钢笔价钱看作单位“1”，铅笔的价钱是单位“1”的，而铅笔的价钱可以求出，要求钢笔的价钱，可以用除法解答。
解：（1）3.5×37=1.5（元）
答：一枝铅笔1.5元。
（2）÷=8（元）
答：一枝钢笔8元。
【课堂作业】
完成教材练习二十三第1~6题。
第4题：√，×，×，√
5. 略。
第6题：36000÷=51000（万平方平米）
【课堂小结】
通过本节课的复习，你对分数乘、除法又有什么新的体会和收获？
【课后作业】
1. 完成《创优作业100分》本单元第1、2课时练习。
2. 教材练习二十三第7~11题。
说明：第7题，需要两次判断单位“1”，在分析数量关系的过程中，要让学生具体地说一说，一开始把谁看作单位“1”，然后又把谁看作单位“1”，使学生明确在解决分数乘除法问题的过程中分析单位“1”的重要性。第8题可以做类似的处理。
第1课时 分数乘、除法
。
第2课时 百分数
【教学内容】
百分数（教材第112页总复习及练习二十三第12~13题）。
【教学目标】
1. 理解百分数意义，掌握百分数和分数、小数的互化方法。
2. 熟练运用百分数知识解决百分数问题，理解百分数问题的结构特征，归纳百分数问题的解题思路和方法。
3. 培养学生解决问题的能力。体验百分数知识与日常生活的密切联系，培养 学生应用知识的意识。
【重点难点】
1. 运用百分数知识解决实际问题。
2. 归纳知识，形成体系。
【情景导入】
师：同学们，百分数在我们的生活中无处不在，只要我们留心它，会发现它就在我们身边。
1. 投影出示下面一段文字：
某地义务教育阶段学生流失率低得令人咋舌。10年前初中是2.5%,小学是0.02%,现在小学连续10年的入学率、巩固率均为100%,初中流失率始终控制在0.2%以下，近三年的数字是0.18%,0.17%和0.15%。
2. 学生阅读文字，感知其中的百分数。
3. 从上面一段文字中你能发现什么？
从上面的百分数中可以看出该地义务教育实施情况非常理想；运用百分数能够很直观地反映出来；百分数在实际应用中表示两个量之间的关系，一个量是另一个量的百分之几。
【复习知识】
一、复习百分率的知识
1. 师：看来，百分数的作用还真不小。你能理解上文中百分率的意思吗？
学生尝试理解流失率、入学率、巩固率的意思，教师指正。
2. 复习已学过的一些百分率的计算公式。
二、复习百分数的一般应用题
1. 求一个数比另一个数多（或少）百分之几。
2. 求比一个数多（或少）百分之几的数是多少。
师：我们已经学习了运用百分数知识解决百分数的一般问题。现在大家回顾已学知识，把你掌握的方法告诉小组的成员。
分组讨论，交流分析问题的思路和解决问题的方法。
小组汇报。可能有以下几种：
解决百分数的问题可以依照解决分数问题的方法。
在分析问题时，可以先画线段图加深理解，判断单位“1” 的量是已知还是未知，找对应关系，写数量关系式。
根据百分数题型结构特征确定解法。
一个数×（1±百分之几）=比一个数多（或少）百分之几的数。
综合问题结合实际来解答。
【典例讲解】
例1认真填表。
分析：百分数化成小数时，只需要移动小数点，去掉百分号，18%=0.18；百分数化成分数时，要注意约分，18%==；小数化成百分数时，需要移动小数点，添上百分号，0.6=60%；小数化成分数时，也要注意约分，0.6==；分数化成百分数，可以直接改写成分母是100的分数，再写成百分数的形式，也可以化成小数再写成百分数，=0.25=25%。注意，在除不尽时一般保留3位小数，23≈0.667=66.7%。
解：依次填（横排）
例2哥哥比弟弟的身高高20%，弟弟比哥哥约矮百分之几？
分析：“哥哥比弟弟的身高高20%”表示把弟弟的身高看作单位“1”，平均分成100份，哥哥比弟弟高出的部分占这样的20份，那么哥哥的身高就是这样的120份。
解：20÷（100+20）=20÷120≈16.7%
答：弟弟比哥哥约矮16.7%。
例3一本画册原价21.5元，现在按原价的六折出售，便宜了多少元?
分析：六折表示60%，即现价相当于原价的60%，则便宜了原价的40%，把原价看作单位“1”。要求便宜了多少元，也就是求21.5的40%是多少。
解：21.5×（1-60%）=21.5×0.4=8.6（元）
答：便宜了8.6元。
【课堂作业】
1. 完成教材第114页第5题。
第5题。（答案不唯一，合理即可）
①方方买书付了多少钱？
30×（1-10％）=27（元）
2. 完成练习二十三12~13题。
【课堂小结】
通过这次学习活动，你有什么新的收获？
【课后作业】
完成《创优作业100分》本单元第3、4课时练习。
第2课时百分数
3. 比一个数多（少）百分之几的数是多少？
一个数×(1±n%)=比一个数多（少）百分之几的数
第3课时 空间与图形
【教学内容】
空间与图形（教材第112页及练习二十三第14~16题）。
【教学目标】
1. 进一步学习使用方向和距离确定物体的位置。
2. 理解和掌握圆的有关概念，圆的周长和面积的计算公式，并能正确地计算圆的周长与面积。
3. 经历空间与图形知识的整理运用过程，体验应用知识，归纳概括的方法。
【重点难点】
1. 掌握物体的位置表示方法，圆的特征、特性。
2. 掌握圆的周长和面积的计算。
【复习知识】
一、复习物体的位置
确定物体位置的两种方法：
（1）按方向、距离确定；（2）用数对确定。
二、复习圆的知识
（出示一个圆）师:我们已经学习了有关圆的知识，你知道哪些呢？
组织学生在小组中交流、讨论，相互说一说，教师根据学生的汇报板书：
1. 圆的认识
圆心：用字母O 表示，确定圆的位置。
半径：用字母r 表示，从圆心到圆上任意一点的线段叫半径。决定圆的大小。 直径：用字母d 表示，通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。
半径与直径的关系：在同一个圆里，所有半径都相等，所有直径都相等。
直径等于半径的2倍，即d=2r或r=12d。
2. 圆的周长
圆周率：圆的周长与直径的比值叫圆周率。用字母π表示，是一个无限不循环小数。 圆的周长的计算公式。C=πd 或C=2πr 。
3. 圆的面积
知道近似长方形的长求圆的面积。
4. 环形的面积
环形的面积=大圆面积-小圆面积
5. 扇形的认识
【课堂作业】
1. 完成教材第113页第4题。
（1）分析：求公园围墙的长度就是求圆形围墙的周长。
C=2πr=2×3.14×1=6.28（km)
（2）正北，2km
（3）3.14×1×1-3.14×0.2×0.2=3.0144（km)
（4）答案不唯一，合理即可。
2. 完成练习二十三第14~16题。
第14题。（1）略。
（2）小猴住在小熊的东偏南50°，距离是400m ；
小象先向西偏南40°走300m 到小猴家，再往东走400m 到小鹿家。
小鹿先向西走400m 经过小猴家，然后向北偏西40°走500m 到小熊家。
（3）略。
第15题。（1）1∶2 （2）π∶1 （3）2∶3 2∶34∶9
第16题。
（1）图一：C=πd=3.14×1.8=5.652（m ）
图二：C=πd=3.14×（1.8÷2）×4=11.304（m ）
图三：C=πd=3.14×（1.8÷3）×9=16.956（m ）
（3）白铁皮剩下面积一样多。
【课堂小结】
通过这节课的学习，你又有哪些收获？
【课后作业】
完成《创优作业100分》本单元第5、6课时练习。
第3课时空间与图形
一、复习物体的位置
二、复习圆的知识
圆的周长公式：C=2πr 或πd
圆的面积公式：S=πr
第4课时 统计
【教学内容】
统计（教材第112页及教材114页第5、6题和练习二十三第17题）。
【教学目标】
1. 了解统计在生活中的应用，掌握扇形统计图的特点。
2. 会根据统计图，提出数学问题，并分析解决数学问题。
3. 经历扇形统计图的认识过程，体验直观观察，分析问题的学习方法。
【重点难点】
会根据统计图分析数据。
【复习导入】
1. 统计在生产生活中有哪些应用？
组织学生在小组中议一议，然后指名说一说。
2. 扇形统计图有什么特点？
扇形统计图能够清楚地表示出部分与整体的关系。
【复习知识】
一、分析扇形统计图
出示某企业职工的文化程度情况的扇形统计图：
引导学生观察上面的统计图，获取信息。
1. 该企业职工中，哪种文化程度占的比重最多？
2. 以下说法正确的是（）
A. 该企业大学文化程度的职工占。
B. 该企业职工中，中专生与初中生之和多于高中生。
C. 该企业职工中没有文盲。
D. 以上说法都对。
3. 在该企业职工中，哪两种文化程度的人数相等？
4. 若该企业有职工1000人，那么小学文化程度的职工有多少人？有大学文凭的人比有高中文凭的人少多少人？
5. 你还能提出什么问题？
组织学生在小组中讨论并相互交流，然后指名汇报。
二、请你用扇形统计图表示出下面的信息，然后回答问题。
超市一天的销量中，服装类占35%，烟酒类占30%，文化用品类占20%，糖果类占10%，药类用品占5%。如果超市一天的收益是5500元，算一算，每一类用品分别收益多少元？ （注意：由于“数学广角”未在教材总复习中列入，在此不予展开，请教师根据教学实际情况让学生自行复习该内容。）
【课堂作业】
1. 完成教材第114页第6题。
第6题。
（1）330×1.2％≈4（个）
（2）多植树造林，减少废气排放，多使用环保型材料，提倡绿色出行„„
2. 完成练习二十三第17题。
（1）2.39÷54％≈4.43（亿吨）
（2）4.43×46％=2.0378（亿吨）
【课堂小结】
通过这节课的学习活动，你有什么收获？
【课后作业】
完成《创优作业100分》本单元第7课时练习。
第4课时 统计
【教学内容】
统计（教材第112页及教材114页第5、6题和练习二十三第17题）。
【教学目标】
1. 了解统计在生活中的应用，掌握扇形统计图的特点。
2. 会根据统计图，提出数学问题，并分析解决数学问题。
3. 经历扇形统计图的认识过程，体验直观观察，分析问题的学习方法。
【重点难点】
会根据统计图分析数据。
【复习导入】
1. 统计在生产生活中有哪些应用？
组织学生在小组中议一议，然后指名说一说。
2. 扇形统计图有什么特点？
扇形统计图能够清楚地表示出部分与整体的关系。
【复习知识】
一、分析扇形统计图
出示某企业职工的文化程度情况的扇形统计图：
引导学生观察上面的统计图，获取信息。
1. 该企业职工中，哪种文化程度占的比重最多？
2. 以下说法正确的是（）
A. 该企业大学文化程度的职工占。
B. 该企业职工中，中专生与初中生之和多于高中生。
C. 该企业职工中没有文盲。
D. 以上说法都对。
3. 在该企业职工中，哪两种文化程度的人数相等？
4. 若该企业有职工1000人，那么小学文化程度的职工有多少人？有大学文凭的人比有高中文凭的人少多少人？
5. 你还能提出什么问题？
组织学生在小组中讨论并相互交流，然后指名汇报。
二、请你用扇形统计图表示出下面的信息，然后回答问题。
超市一天的销量中，服装类占35%，烟酒类占30%，文化用品类占20%，糖果类占10%，药类用品占5%。如果超市一天的收益是5500元，算一算，每一类用品分别收益多少元？ （注意：由于“数学广角”未在教材总复习中列入，在此不予展开，请教师根据教学实际情况让学生自行复习该内容。）
【课堂作业】
1. 完成教材第114页第6题。
第6题。
（1）330×1.2％≈4（个）
（2）多植树造林，减少废气排放，多使用环保型材料，提倡绿色出行„„
2. 完成练习二十三第17题。
（1）2.39÷54％≈4.43（亿吨）
（2）4.43×46％=2.0378（亿吨）
【课堂小结】
通过这节课的学习活动，你有什么收获？
【课后作业】
完成《创优作业100分》本单元第7课时练习。
第4课时统计
扇形统计图的特点：
扇形统计图能够清楚地表示出部分与整体的关系。