2013年高三数学应用题专题复习

2013年养正中学高三数学应用题专题复习

养正中学郑明铿2013.5.22整理

一、应用题解题步骤

（1）读题：阅读理解题目的文字表达，分清条件和结论，理清数量关系，因果关系； （2）建模：将文字内容转化为数学语言，选择合理的数学模型，利用相关的数学知识转化

题目内容；

（3）解题：利用相关的数学理论，求解所建数学模型的合理解，注意实际问题对数学模型

的条件限制；

（4）答题：将通过数学模型求出的答案转化为实际问题的结论。 二、应用题常建数学模型

（1）优化问题：实际问题中的“优选”“控制”等问题，常需建立“不等式模型”和“线性

规划”问题解决；

（2）预测问题：经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型”来解决；

（3）最（极）值问题：工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成“函数模型”，

转化为求函数的最值；

（4）等量关系问题：建立“方程模型”解决；

（5）测量问题：可设计成“图形模型”利用几何知识解决。 三、常见题型回顾

函数为主线

1．通过课题研究发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f (t ) 表示学生注意力随时间t （分钟）的变化规律：定义f (t ) 越大，表明学生注意力越集中。经过实验分析得知：

⎧-t 2+24t +100(0

⎪

f (t ) =⎨240(10

⎪-7t +380(20

（1）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？

（2）讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更集中？ （3）一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？

解：（1）当0

f (10) =240；当20

2

2

开始10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟.

（2）f (5) =195, f (25) =205，故讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分

钟更集中.

当0

（3）令f (t ) =-7t +38=18, 则t ≈28. 57，则学生注意力在180以上所持续的时间28.57－4=24.57＞24，所以，经过适当安排，老师可以在学生达到所需要的状态下讲授完这道题.

2．为了在如图所示的直河道旁建造一个面积为5000平方米的矩形堆物场，需砌三面砖墙BC 、CD 、DE ，出于安全原因，沿着河道两边需向外各砌10米长的防护砖墙AB 、EF ，若当BC 的长为x 米时，所砌砖墙的总长度为y 米，且在计算时，不计砖墙的厚度，求 （1）y 关于x 的函数解析式y =f (x ) ；

（2）若BC 的长不得超过40米，则当BC 为何值时，y 有最小值，并求出这个最小值.

解：（1）y =f (x )=2x +（2）令2x =因此y =2x +

5000x 5000x

5000x

+20

2

2

河道

(x >0)

40] 得x =50∉（0，

+20在（0，40]内递减，故y 的最小值为f(40)=225m, x=40m.

3. 如图所示, 有一块边长为1km 的正方形区域A B C D , 在点A 处有一个可转动的探照灯, 其

照射角∠P A Q 始终为

∠P A B =θ

π4

Q 分别在边B C 、C D 上运动), 设弧度(其中点P 、

, tan θ=t .

(1)试用表示出P Q 的长度, 并探求∆C P Q 的周长;

(2)求探照灯照射在正方形A B C D 内部区域的面积S 的最大值.

, C P

=

2t 1+t

=1-t

解：(1)设BP

C Q =1-

=t

, 0≤t ≤1, ∠D A Q

=

π

4

-θ

, D Q

=tan (

π

4

-θ) =

1-t 1+t

,

1-t 1+t

.

∴P Q

==1+t

2

1+t

, l =C P +C Q

+P Q =1-t +

2t 1+t

+

1+t

2

1+t

=1

为定值.

(2)

S =S 正方形

=1+t +

A B C D

-S ∆A B P -S ∆A D Q =2-

1]

12

(1+t +

21+t

) (0≤t ≤1)

.

又函数y

21+

t

在[0, 上是减函数,

在12

21+t

1, 1]上是增函数,

∴≤1+t +

21+

t

≤3

,∴

12

≤2-(1+t +) ≤2-

.

所以探照灯照射在正方形A B C D 内部区域的面积S

的最大值为2-

km )

2

.

4．一化工厂因排污趋向严重,2011年1月决定着手整治. 经调研, 该厂第一个月的污

染度为60, 整治后前四个月的污染度如下表;

污染度为0后, 该工厂即停止整治, 污染度又开始上升, 现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式:f (x ) =20x -4(x ≥1) , g (x ) =

203

(x -4) (x ≥1) , h (x ) =30lo g 2x -2(x ≥1) ,

2

其中x 表示月数, f (x ) 、g (x ) 、h (x ) 分别表示污染度. (参考数据:lg 2=0. 3010, lg 3=0. 4771)

(Ⅰ)问选用哪个函数模拟比较合理, 并说明理由;

(Ⅱ)如果环保部门要求该厂每月的排污度均不能超过60, 若以比较合理的模拟函数预测, 该厂最晚在何 时开始进行再次整治?

解：(Ⅰ) f (2)=40, g (2)≈26.7, h (2)=30

f (3)=20, g (3)≈6.7, h (3)≈12.5

由此可得h (x ) 更接近实际值, 所以用h (x ) 模拟比较合理

(Ⅱ)因h (x ) =30lo g 2x -2在x ≥4上是增函数, 又因为h (16)=60

这说明第一次整治后有16个月的污染度不超过60, 故应在2012年5月起开始再次整治

5．已知某种稀有矿石的价值y （单位：元）与其重量ω（单位：克）的平方成正比，且3克该种矿石的价值为54000元。⑴写出y （单位：元）关于ω（单位：克）的函数关系式； ⑵若把一块该种矿石切割成重量比为1:3的两块矿石，求价值损失的百分率；

⑶把一块该种矿石切割成两块矿石时，切割的重量比为多少时，价值损失的百分率最大。

（注：价值损失的百分率=不计）

原有价值-现有价值

原有价值

⨯100%；在切割过程中的重量损耗忽略

解⑴依题意设y =k ω2(ω>0) ，又当ω=3时，y =54000，∴k =6000， 故y =6000ω2(ω>0) 。

⑵设这块矿石的重量为a 克，由⑴可知，按重量比为1:3切割后的价值

为6000(a ) 2+6000(a ) 2，价值损失为6000a 2-(6000(a ) 2+6000(a ) 2) ，

4

4

4

4

1

3

1

3

6000a -[6000(

2

1

价值损失的百分率为

2

6000a

a ) +6000(

2

3a ) ]

⨯100%=37.5%。

2

⑶解法1：若把一块该种矿石按重量比为m :n 切割成两块，价值损失的百分率应为

2⋅(

2

m +n

1-[(

m m +n

) +(

2

n m +n

) ]=

2

2mn (m +n )

2

，又

2mn (m +n )

≤

2

(m +n )

)

2

=

12

，当且仅当m =n 时

取等号，即重量比为1:1时，价值损失的百分率达到最大。

解法2：设一块该种矿石切割成两块，其重量比为x :1，则价值损失的百分率为

x 2122x

，又x >0，∴x 2+1≥2x ， 1-[() +() ]=2

1+x 1+x x +2x +1

故

2x x +2x +1

2

≤

2x 2x +2x

=

12

，等号当且仅当x =1时成立。

2

答：⑴函数关系式y =6000ω(ω>0) ； ⑵价值损失的百分率为37.5%；

⑶故当重量比为1:1时，价值损失的百分率达到最大。

6．某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率P 与日产量x （万件）之间大体满足关系：

⎧1

,1≤x ≤c ,

⎪⎪6-x

（其中c 为小于6的正常数） P =⎨

⎪2, x >c ⎪⎩3

（注：次品率=次品数/生产量，如P =0.1表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）

已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量.

（1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T （万元）表示为日产量x （万件）的函数；

（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？

解：（1）当x >c 时，P =

231

，∴T =

13

x ⋅2-

23

x ⋅1=0

当1≤x ≤c 时，P =

6-x

，∴T =(1-

16-x

) ⋅x ⋅2-(

16-x

) ⋅x ⋅1=

9x -2x 6-x

2

综上，日盈利额T （万元）与日产量x （万件）的函数关系为：

⎧9x -2x

,1≤x ≤c ⎪

T =⎨6-x

⎪0, x >c ⎩

2

（2）由（1）知，当x >c 时，每天的盈利额为0 当1≤x ≤c 时，T =

9x -2x 6-x

2

=15-2[(6-x ) +

96-x

]≤15-12=3

当且仅当x =3时取等号

所以(i ) 当3≤c

(ii ) 当1≤c

2x -24x +54

(6-x )

2

2

=

2(x -3)(x -9)

(6-x )

2

2

知

函数T =

9x -2x 6-x

2

在[1,3]上递增，∴T m ax =

9c -2c 6-c

，此时x =c

综上，若3≤c

若1≤c

解析几何为主线

7．某海域有A 、B 两个岛屿，B 岛在A 岛正东4海里处。经多年观察研究发现，某种鱼

群洄游的路线是曲线C ，曾有渔船在距A 岛、B 岛距离之和为8海里处发现过鱼群。以A 、B 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系。 （1）求曲线C 的标准方程；

（2）某日，研究人员在A 、B 两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号（传播速度相同），A 、B 两岛收到鱼群在P 处反射信号的时间比为5:3，能否确定P 处的位置（即点P 的坐标）？

解（1）由题意知曲线C 是以A 、B 为焦点且长轴长为8的椭圆 又2c =4，则c =2, a =4，故b =23

x

2

A

O

y

B

所以曲线C 的方程是

16

+

y

2

12

=1 6分

（2）由于A 、B 两岛收到鱼群发射信号的时间比为5:3， 因此设此时距A 、B 两岛的距离分别比为5:3 7分 即鱼群分别距A 、B 两岛的距离为5海里和3海里。 8分 设P (x , y ) ，B (2, 0) ，由PB =3 ∴

⎧(x -2)2+y 2=9⎪2

2y ⎪x

， +=1⎨

12⎪16

⎪-4≤x ≤4⎩

∴x =2, y =±3 ∴点P 的坐标为(2, 3)或(2, -3) 12分

(x -2) +y

22

=3，

8．已知舰A 在舰B 的正东，距离6公里，舰C 在舰B 的北偏西30︒，距离4公里，它们准备围找海洋动物，某时刻舰A 发现动物信号，4秒后，舰B ，C 同时发现这种信号，A 于是发射麻醉炮弹，设舰与动物都是静止的，动物信号的传播速度为1公里/1秒，求舰A 炮击的方位角。

解：为确定海洋动物的位置，首先的直线BA 为x 轴，线段BA 的中垂线为y 轴建立直角坐标系（如图），据题设，得B(-3,0), A(3,0), C(-5, 23) 且动物P(x,y)在BC 的中垂线l 上，

∵BC 中点M 的坐标为(-4,3) ， kBC =-3.

33

∴ l的方程为y-3=(x+4)即：

y=

33

(x+7).................①

又∵ |PB|-|PA|=4(公里)

∴ P又在以B ，A 为焦点的双曲线右支上。 双曲线方程为

x

2

4

-

y

2

5

2

=1 (x≥2)............... ②

3211

由①②消去y 得 11x-56x-256=0，解的x 1=-(舍去) ， x2=8。

∴ P点坐标为(8,53), 于是tg ∠xAP=kAP=

538-3

=3,

∴ ∠xAP=60︒, 故舰A 炮击的方位角为北偏东30︒。

三角函数（含解三角形）为主线

∠A =9．如图，海岸线M A N ，

2π3

, 现用长为6的拦网围成一养殖场，其中B ∈M A , C ∈N A ．

(1)若BC = 6，, 求养殖场面积最大值；

(2)若AB = 2，AC = 4，在折线M B C N 内选点D ， 使

BD + DC = 6，求四边形养殖场DBAC 的最大面积（保留根号）．

解：(1)设A B =x , A C =y , x >0, y >0.

BC

2

=x

2

+y

2

-2xy cos

2π3

≥2xy -2xy (-

12

) ，

xy ≤12 S =

12xy sin

2π3

≤33，

所以，△A B C 面积的最大值为33，当且仅当x =y 时取到．

(2) BC = 27，由DB + DC = 6，知点D 在以B 、C 为焦点的椭圆上，

S ∆ABC =23．

只需∆D B C 面积最大, 需此时点D 到B C 的距离最大, 即D 必为椭圆短轴顶点．

∆BCD

面积的最大值为，

因此, 四边形ACDB 面积的最大值为23+

10．如图，两座建筑物AB , CD 的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9cm 和15cm ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的视角∠CAD =45︒. (1) 求BC 的长度；

(2) 在线段BC 上取一点P (点P 与点B , C 不重合），从点P 看这两座建筑物的视角分别为

∠APB =α, ∠DPC =β, 问点P 在何处时，α+β最小？

D

A

α

B

P

β

C

第17题图

解⑴作A E ⊥C D ，垂足为E ，则C E =9，D E =6，设B C =x ，

则tan ∠C A D =tan (∠C A E +∠D A E ) =

9=

x 1-

+9x 6x ⋅6x

=1，化简得x -15x -54=0

2

tan ∠C A E +tan ∠D A E 1-tan ∠C A E ⨯tan ∠D A E

，解之得，x =18或x =-3（舍）

答：B C 的长度为18m ．

⑵设B P =t ，则C P =18-t (0

9

tan (α+β) =

t

162+6t 6(27+t ) 18-t ==22

915-t +18t -135-t +18t -1351-⋅

t 18-t

+

15

．

设f (t ) =

27+t -t +18t -135

2

，f '(t ) =

t +54t -27⨯23(t -18t +135)

2

2

2

，令f '(t ) =0，因为0

18，得

t =127，

当t ∈(0, 15时，f '(t )

当t ∈(127,18)

时，f '(t ) >0，f (t ) 是增函数，

所以，当t =27时，f (t ) 取得最小值，即tan(α+β) 取得最小值，

因为-t 2+18t -135

2π

因为y =tan x 在(, π

) 上是增函数，所以当t =27时，α+β取得最小值．

2

π

答：当B P

为(1-27)m 时，α+β取得最小值．

11．某观测站C 在城A 的南20˚西的方向上，由A 城出发有一条公路，走向是南40˚东，在C 处测得距C 为31千米的公路上B 处有一人正沿公路向A 城走去，走了20千米后，到达D 处，此时C 、D 间距离为21千米，问这人还需走多少千米到达A 城？

解：根据题意得图02，其中BC=31千米，BD=20千米，CD=21千米，

∠CAB=60˚．设∠ACD = α ，∠CDB = β ． 在△CDB 中，由余弦定理得：

cos β=sin β=

2

2

2

2

2

2

CD +BD -BC

2⋅CD ⋅BD -cos

2

=

21+20-31

2⨯21⨯20

=-

17

，

β=

437

．

-∠CDA

sin α=sin

(180︒-∠CAD )

=sin

(180︒-60︒-180︒+β)

437

12

17

32

5314

=sin (β-60︒)=sin βcos 60︒-cos βsin 60︒=

⨯+⨯=

．

在△ACD 中，由正弦定理得：

AD =

CD sin A

⋅sin α=

21sin 60︒

⋅5314

=2132

⨯5314

=15

．此人还得走15千米到达A 城．

12． 一走廊拐角处的横截面如图所示，已知内壁FG 和外壁BC 都是半径为1m 的四分之一圆弧，AB 、DC 分别与圆弧BC 相切于B 、C 两点，EF//AB，GH//CD，且两组平行墙壁间的走廊宽度都是1m ，

（1）若水平放置的木棒MN 的两个端点MN 分别在外壁CD 和AB 上，且木棒与内壁圆弧相切于点P ，设∠CMN =θ(rad)，试用

θ表示木棒MN 的长度f (θ) ；

（2）若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处，求木棒长度的最大值。

解：(1)如图，设圆弧F G 所在的圆的圆心为Q ，过Q 点作C D 垂线，垂足为点T ，且交M N 或其延长线与于S ，并连接P Q ，再过N 点作T Q 的垂线，垂足为W ． 在R t ∆N W S 中，因为N W =2，∠SN W =θ，所以N S =

2co s θ

．

∠P Q S =θ，因为M N 与圆弧F G 切于点P ，所以P Q ⊥M N ，在R t △Q P S ，因为P Q =1，

所以Q S =

1co s θ

，Q T -Q S =2-

1co s θ

，

①若S 在线段T G 上，则T S =Q T -Q S ，

在R t ∆ST M 中，M S =

T S sin θ

=

Q T -Q S sin θ

，因此M N =N S +M S =N S +

Q T -Q S sin θ

.

②若S 在线段G T 的延长线上，则T S =Q S -Q T ， 在R t ∆ST M 中，M S =

T S sin θ

=

Q S -Q T sin θ

，

Q T -Q S sin θ

1sin θco s θ

因此M N =N S -M S =N S -

f (θ) =M N =N S +

Q T -Q S sin θ

Q S -Q T sin θ

=

2co s θ

+(

=N S +

2sin θ

-

.

2(sinθ+co s θ) -1

sin θco s θ

(0

π2)

) =

2

（2

）设sin θ+cos θ=t (1

2

，则sin θco s θ=

t -12

，

4t -2t -1

22

．

，

又1

，所以

因为g '(t ) =-

4(t -t +1) (t -1) 4t -2t -

1

2

2

g '(t )

因此函数g (t ) =在t ∈

是减函数，所以

2，即M N m in =2．

g (t ) m in =g =

线性规划为主线

13．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损. 某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100﹪和50﹪，可能的最大亏损率分别为30﹪和10﹪. 投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？

解：设投资人分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目.

⎧x +y ≤10,

⎪

⎪0. 3x +0. 1y ≤1. 8,

由题意知⎨

⎪x ≥0, ⎪y ≥0. ⎩

目标函数z=x+0.5y.

上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即可行域. 作直线l 0:x +0. 5y =0，并作平行于直线l 0的一组直线x +0. 5y =z , z ∈R , 与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M 点，且

与直线x +0. 5y =0的距离最大，这里M 点是直线x +y =10 和0. 3x +0. 1y =1. 8的交点.

⎧x +y =10,

解方程组⎨ 得x=4，y=6

0. 3x +0. 1y =1. 8, ⎩

此时z =1⨯4+0. 5⨯6=7（万元）.

7>0 ∴当x=4，y=6时z 取得最大值.

答：投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元

的前提下，使可能的盈利最大.

数列为主线

14．我国1999年元月公布了个人住房公积金贷款利率（记方案一）和商业性贷款利率(记方

案二）) 如下：

某家庭要购买一套商品房，计划贷款25万元，其中方案一贷款10万元，分十二年还清；方案二贷款15万元，分十五年还清．每种贷款分别按月等额还款，问： (1) 该家庭每月应还款多少元?

(2)在第十二年底该家庭还清了方案一贷款，如果他想把余下的方案二贷款也一次性还清；那么该家庭在这个月的还款总数是多少?

144144180

(参考数据：1.004455＝1.8966，1.005025＝2.0581，1.005025＝2.4651)

解 设月利率为r ，每月还款数为a 元，总贷款数为A 元，还款期限为n 月 第1月末欠款数 A(1＋r) －a

2

第2月末欠款数 [A(1＋r) －a](1＋r) －a ＝ A(1＋r) －a (1＋r) －a

232

第3月末欠款数 [A(1＋r) －a (1＋r) －a](1＋r) －a ＝A(1＋r) －a (1＋r) －a(1＋r) －a

第n 月末欠款数 A (1+r ) n -a (1+r ) n -1-a (1+r ) n -2- -a (1+r ) -a =0 得：a =A (1+r ) n ⨯

r (1+r ) -1

n

对于12年期的10万元贷款，n ＝144，r ＝4.455‟ ∴a =100000⨯1. 004455

144

⨯

0. 0044551. 004455

144

-1

=942. 37

对于15年期的15万元贷款，n ＝180，r ＝5.025‟ ∴a =150000⨯1. 005025

180

⨯

0. 0050251. 005025

180

-1

=1268. 22

由此可知，汪先生家前12年每月还款942.37＋1268.22＝2210.59元，后3年每月还款1268.22元．

15．按市场经济规律，调整住房结构，某地区计划用1 600万元购得一块土地，在该土地上建造10幢楼房的住宅小区，每幢楼的楼层数相同，且每层建筑面积均为1 000平方米，每平方米的建筑费用与楼层有关，第x 层楼房每平方米的建筑费用为(kx+800)元(其中k 为常数) ．经测算，若每幢楼为5层，则该小区每平方米的平均综合费用为1 270元. (每购地费用+所有建筑费用平方米平均综合费用＝) ．

所有建筑面积 （1）求k 的值；

（2）问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低，应将这10幢楼房建成多少层？此时每平方米

的平均综合费用为多少元？

解（1）如果每幢楼为5层，那么所有建筑面积为10×1 000×5平方米，所有建筑费用为［(k +800)+(2k +800)+(3 k +800)+(4k+800)+(5k +800)］×1 000×10，所以，

1 270

16 000 000+［(k +800)+(2k +800)+(3k +800)+(4k+800)+(5k +800)］×1 000×10

，

10×1 000×5

解之得：k ＝50．

（2）设小区每幢为n(n∈N*)层时，每平方米平均综合费用为f (n)，由题设可知 16 000 000+［(50 +800)+(100 +800)+„+(50n +800)］×1 000×10

f (n) ＝

10×1 000×n 1 600

＝+25n+825≥21 600×25+825＝1 225

n 1 600

当且仅当25n ，即n ＝8时等号成立．

n

答：该小区每幢建8层时，每平方米平均综合费用最低，此时每平方米平均综合费用为1 225元．

＝

(元).

统计与概率为主线

16．中国经济的髙速增长带动了居民收入的提髙. 为了调查髙收人(年收入是当地人均收入10 以上) 人群的年龄分布情况，某校学生利用暑假进行社会实践，对年龄在[25,55)的人群 随机调査了 1000人的收入情况，根据调査结果和收集的数据得到如下统计表和各年龄段 人数的频率分布直方图

.

(1)补全频率分布直方图, 根据频率分布直方图, 求这1000人年龄的中位数； 37 (2)求统计表中的a,b; 30，0.12

(3)为了分析髙收入居民人数与年龄的关系，要从髙收入人群中按年龄组用分层抽样的 方法抽取25人作进一步分析，则年龄在[30，40) 的髙收人人群应抽取多少人？ 14

17. 某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：

奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励． （1）求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；

（2）记X 为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X 的分布列和数学期望． 解：（1）设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A ，

则 P (A ) =

A 3

32

A 4

=

14

，

14

故1名顾客摸球3次停止摸奖的概率为．

（1）随机变量X 的所有取值为0,5,10,15, 20．

P (X =0) =

14

， P (X =5) =

1+A 2A 414

32

A 2A 4

12

2

=

16

2

，

=16

P (X =10) =

A 4A 3A 4

43

2

=

16

， P (X =15) =

C 2⋅A 2

A 4

3

，

P (X =20) ==．

所以，随机变量X 的分布列为:

EX =0⨯

1

4+5⨯

16+10⨯

16+15⨯

16+20⨯

14

=10．

18．某高校在2013年考试成绩中100名学生的笔试成绩的频率分布直方图如图所示， （1）分别求第3，4，5组的频率；

（2）若该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试， ① 已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙不同时进入第二轮面试的概率；

② 若第三组被抽中的学生实力相当，在第二轮面试中获得优秀的概率均为被抽中的学生有X 名获得优秀，求X 的分布列和数学期望。

34

，设第三组中