利用切线方程证明不等式
6中等数学
利用切线方程证明不等式
张 宏
(广东省工业贸易职业技术学校, 528237)
(本讲适合高中)
笔者经过研究发现, 对满足条件 x i =
i =1n
d =1. 求证:
256(记 651+a
1
表示循
环求和, 下同)
[1]
.
1
(0
2
A ( A , A ) , 形如 f (x i ) M ( M ) (A 、
i =1
n
证明:设f (x ) =f f
M 为常数) 的不等式, 利用切线方程证明是一个很好的方法. 1 直接使用
例1 已知a 、b 、c 、d >0, 且a +b +c +
收稿日期:2009-01-05 修回日期:2009-02-06
=, f (x ) =-, 465(1+x )
=-.
44225
1
于是, f (x ) 在x =处的切线方程为
4
(提示:设这个整数是x . 则
357=ax +r , 262=b x +r , 205=cx +r . 所以, (a -b ) x =95, (b -c ) x =57, 即x 是95、57的公约数. 故x =19. )
5. 已知a 、b 都是整数. 求证:a +b 、ab 、a -b 这三个数中, 至少有一个是3的倍数.
(提示:分b =3n 、3n +1、3n +2这三种情况讨论. )
6. 证明:没有整数x 、y , 使x +y =1995.
(提示:假设有整数x 、y , 使x +y =1995.
当x =2m , y =2n 时, 1995=x +y =4(m +n ) , 所以, 4|1995, 矛盾;
当x =2m -1, y =2n 时, 1995=x +y =1+4(m -m +n ) , 所以, 4|1994, 矛盾;
当x =2m , y =2n -1时, 1995=x +y =1+4(m +n -n ) , 所以, 4|1994, 矛盾;
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
当x =2m -1, y =2n -1时,
1995=x +y =2+4(m -m +n -n ) , 所以, 4|1993, 矛盾. )
7. 如果p 、q 都是质数, 且7p +q 与pq +11也是质数, 试求p +q 的值.
(1997, 湖北省荆州市初中数学竞赛) (提示:因7p +q 是质数, 且7p +q >7, 所以, 7p +q 为奇数. 从而, p 、q 不同奇偶.
如果p 为偶数, 则p =2. 由题意知14+q 、2q +11都是质数, 所以,
14+q 0(mod3) , 2q +11 0(mod3) , 即 q 1(mod 3) , q 2(mod 3) .
故q 0(mod 3) . 从而, q =3. 此时, p +q =2+3=17.
如果q 为偶数, 则q =2. 由题意知7p +2、2p +11都是质数, 所以,
7p +2 0(mod3) , 2p +11 0(mod3) , 即 p 1(mod 3) , p 2(mod 3) .
故p 0(mod 3) . 从而, p =3. 此时, p +q =2+3=17. )
q
p
3
2
q
p
3
2
q
p
2
2
2
2
2009年第4期7
g (x ) =f x -4
即 g (x ) =-4225x -=-x +. 42254225先证:
+f , 4+465
变为
i =1
a =1, 此时符合要求.
i
5
证明:令=a i (i =1, 2, 3, 4, 5). 则
1+x i a i >0,
a =
i
i =1
5
1,
a i -a i
. =5a i -2a i +1
2
-x +(0
422542251+x
3
式 4225 (-768x +4352) (1+x ) 768x 4-4352x 3+768x -127 0. 由因式分解得
43
768x -4352x +768x -127
22
=(4x -1) (48x -248x -127)
2
=(4x -1) [8x (6x -31) -127] (4x -1) 2(0-127) 0.
从而, 式 成立.
故 -a +1 42254225 1+a
=- 1+ 4=.
4225422565因此, 原不等式成立.
例1是直接利用切线方程证明不等式, 虽然数字有些大, 因由简单的运算而来, 并不显得复杂. 利用切线方程证明不等式的可贵之处在于, 有的不等式经过变换或缩放后同样可使用该方法求证. 2 变换后使用
利用切线方程证明不等式, 要求不等式的条件必须符合 x i =A ( A , A ) , 如果
i =1n
1
-1
x i =4+x i 4+a -1
i
于是, 原不等式等价于
i =1
5
a i -a i
1. 5a i -2a i +1
2
2
设f (x ) =(0
5x -2x +1f f
=, f (x ) =,
55(5x -2x +1) 13
=. 54
1
处的切线方程为5
2
于是, f (x ) 在x =
g (x ) =x -+=x +.
455420x -x 3x +1(0
注意到
22
式 20(x -x ) (15x +1) (5x -2x +1)
2
75x 3-5x 2-7x +1 0 (5x -1) 2(3x +1) 0,
而最后一式显然成立. 所以, 式 成立.
故 34=
5i =1
不符合, 则要作适当的变量替换, 有时要先对条件进行缩放, 再作替换.
例2 已知x i >0(i =1, 2, 3, 4, 5) , 且
i =1
a i -a i 5a i -2a i +1
5
5
2
5
=1. 求证:1+x i
5
1a i +1 20 i =1i =1
i =1
x i
1. 4+x i
1+ 5=1. 420
4
4
4
(2003, 中国西部数学奥林匹克) 分析:条件不符合要求.
令=a i (i =1, 2, 3, 4, 5). 则原条件i
因此, 原不等式得证.
例3 已知a 、b 、c >0, 且a +b +c =3. 求证:
1.
8中等数学
(2005, 摩尔多瓦选拔赛)
分析:由a 、b 、c 到ab 、bc 、ca , 联想到
222
不等式a +b +c ab +bc +ca .
证明:注意到
444222222
3=a +b +c =(a ) +(b ) +(c ) a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2.
222222
令a b =x , b c =y , c a =z . 则x +y +z 3, 0
x y z
4- 1.
于是, 原不等式等价于 设f (x ) =
4-x
4
4
4
=1-x
3
3
. 1-a
3
设f (x ) =1-x . 易知f (x ) 在x =
处的切线方程为3
g (x ) =x -+=x .
8388 x (0
先证:81-x
2
式 8 9(1-x )
1
3
(0
93x +8 93x
8个
9
4
19
易知f (x ) 在x =1处的切线方程为
g (x ) =(x -1) +=x +.
1831818先证:
4- x +(0
18x 18
x )
(3x ) 9+ 9
3
3x ,
这是均值不等式, 显然成立. 所以, 式 成立.
故 因此,
3
81-a
a =.
8
4
注意到
式 18 (x +5) (4- x -4x +5x -2 0 (x -2x +1) (x -2) 0 (x -1) 2(x -2) 0, 而最后一式显示成立. 所以, 式 成立.
x + 1故 184-x 18
1 3+5 3=1. 1818因此, 原不等式成立.
444
例4 设x 、y 、z >0, x +y +z =1. 求
的最小值是8. 1-x
3
3
3
例5 已知x 、y 、z >0. 求证:
. ++4y (x +y ) z (y +z ) x (z +x ) 分析:因不等式左边的每一项只能含有一个变量, 所以, 左边必须变形, 同时产生本方法所需要的条件.
证明:原不等式可化为3
y +1
+
3
z +1
+
3
x +1
. 4
的最小值. 1-x
(2000, 江苏省高中数学竞赛)
分析:令x =a , y =b , z =c , 和式
4
4
4
3
设y =a , z =b , x =c . 则abc =1. 于是, a +b +c 3
=3.
原不等式最后等价于设f (x ) =.
(x +1)
3
x =1-x
3
(x )
b 、必须化成关于a 、
1-(x )
4
3
.
4(a +1)
3
c 的式子.
444
解:令x =a , y =b , z =c . 则
易知f (x ) 在x =1处的切线方程为g (x ) =
(x -1) +=x -.
2009年第4期9
3
x -(x >0) . 先证:24(x +1) 注意到
32
式 4x (2x -1) (x +1)
. 2(2a +1)
3
3
设f (x ) =(0
(2x +1) 易知f (x ) 在x =处的切线方程为
4g (x ) =1 x -+=x -.
488先证:(0
33式 216x (8x -1) (2x +1)
3
2x 3-3x 2+1 0 (x -1) 2(2x +1) 0,
而最后一式显然成立. 所以, 式 成立.
故
a 12(a +1)
3
1
a -4
1
3- 3=. 244因此, 原不等式得证. 3 缩放后使用
利用切线方程证明不等式, 要求不等式的左边为和式, 且左边每一项只能含一个变量. 如果不等式的左边不符合要求, 可先尝试对不等式的左边进行缩放, 再用该方法证明.
例6 已知a 、b 、c 、d >0. 求证:
64x 4-128x 3+36x 2+2x -1 0 (4x -1) 2(4x 2-6x -1) 0 (4x -1) 2[2x (2x -3) -1] 0. 因为2x -3
故
a -8 (2a +1)
3
1
(a +
.
b ) (a +c ) (a +d ) 2
3
=1-8 4=2. 因此, 原不等式得证. 例7 已知a 、b 、c >0. 求证:
分析:由分母中的积式(a +b ) (a +c ) (a +d )
联想到均值不等式
3
2
3.
b -bc +c +3a 5
b =b =,
2
a
xyz . 3
分析:当b =c 时, b -bc +c =由此猜想2
3
证明:因不等式是齐次不等式, 所以, 可设a +b +c +d =1. 注意到
(a +b ) (a +c ) (a +d )
==
3a +
313(2a +1) . 27
(a +b ) (a +c ) (a +d ) .
(2a +1)
3
33
b -bc +c b +c .
证明:注意到2
b -bc +c =
4(b +c ) -4bc
(b +c ) . c +3a .
=
a +
3
3
(b +c )+3 2b c -4b c =则2
b -bc +c b +c
故
2
b -b c +c +3a
b +
于是, 要证原不等式, 只须证
b +
. c +3a 5
, , , a b +c
10中等数学
1. 则该不等式等价于
设f (x ) =1+2x . 易知f (x ) 在x =g (x ) =
1+
.
2a 5
.
411-3z
.
11-3x
设f (x ) =
处的切线方程为3
易知f (x ) 在x =1处的切线方程是g (x ) =
=
(x -1) +644
x -+=x +.
25352525
先证:1+2x 25x +25(0
式 25x (9x +2) (1+2x ) 9x 2-6x +1 0 (3x -1) 0,
2
313x +. 6464
1
11-3x
先证:
x +-
2
式 2048 (3x +13) (11-3x )
而最后一式显然成立. 所以, 式 成立.
故 =
1+2a 25
a +
125
x 3+5x 2-13x +7 0 (x -1) 2(x +7) 0,
而最后一式显然成立. 所以, 式 成立.
故 =
6411-3z
1+ 3=. 25255因此, 原不等式得证.
1
例8 已知x 、y 、z >-, 且x +y +z
3=3. 求证:
z +
64
1
3x +1+ . 3y +14
3x +1、
3133 3+ 3=. 64644
分析:x 、y 分别在两个根式3y +1中, 联想到不等式
a +
b
2(a +b ) ,
因此, 原不等式得证.
例9 设正数x 、y 、z 满足xyz 1. 求证:
0. x +y +z
52
可使x 、y 在同一个根式中, 这样就可用上条件x +y =3-z , 使不等式左边每一项只含有一个变量.
证明:由柯西不等式有3x +1+
(第46届IMO)
分析:x 、y 、z 的次数不相同, 根据条件
222
xyz 1, 可用xyz 去乘以x 、y 、z , 使x 、y 、z
的次数均为5.
证明: x +y +z x +(y +z ) xyz x -x yz 2x -x 2yz ==x +(y +z ) yz 2x +(y +z ) 2yz =2x +(y +z ) 2a +(b +c )
.
2 11-3z
(令x =a , y =b , z =c ). 于是, 要证原不等式, 只须证:c ,
2
2
2
4
2
2
2
2
4
2
4
2
5
2
5
2
3y +1
(1+1) (3x +1+3y +1)
==2 3(3-z ) +2=2 11-3z . 则
3x +1+
3y +1
, ,
2009年第4期11
2a +(b +c ) 0.
这是一个齐次不等式, 可设a +b +c =1. 则该不等式等价于
2
3a -2a +10.
2
设f (x ) =. 3x -2x +1
易知f (x ) 在x =3处的切线方程为
g (x ) =x -+0=x -.
23222
3x -x 31
先证:x -(0
23x -2x +12
注意到
22
式 2(3x -x ) (3x -1) (3x -2x +1) 9x 3-15x 2+7x -1 0 (3x -1) (x -1) 0,
而最后一式显然成立. 所以, 式 成立.
2
2
即
b +
而
3. c +2-a
b +c +2bc -a
b +c +(b +c ) -a
1
= ,
2-3a
于是, 只须证 3.
2-3a 1
设f (x ) =.
2-3x
易知f (x ) 在x =处的切线方程为
31
g (x ) =3x -+1=3x . 3先证:
3x 0
故 3a -2a +12= 1- 3=0. 22
因此, 原不等式得证. 求证:
2
a -
2
注意到
式 1 3x (2-3x ) 9x 2-6x +1 0,
而最后一式显然成立. 所以, 式 成立.
1
故 3 a =3 1=3.
2-3a
因此, 原不等式得证.
例11 设a 、b 、c 是正数, 且a +b +c =1. :
1b +c
-a
1c +a
-b
1a +b
-c
76
3[2]
1
例10 已知a 、b 、c 是三角形的三边长. b +c -a a +b +c . 分析:不等式右边不是常数, 两边必须乘以使右边变为常数, 再由分母a +b +c 中的(b +c -到平方差公式.
a ) (
a +
b +
c ) , 联想
.
分析:不等式左边不是和式. 由积式变和式可联想均值不等式
. 111++x y z
证明:不等式等价于
3
证明:不等式可化为
(b +c -a ) (b +
3
c +a )
3.
1-a 6,
其中,
3
表示循环求积. 因几何平均数大
1-a
这是一个齐次不等式, 可设a +b +c =1. 这样, 该不等式等价于
于或等于调和平均数, 所以,
.
12中等数学
于是, 要证原不等式, 只须证
3. 设a 、b 、c >0, a +b +c abc . 求证:++ . 2
1-
.
7a +a
.
1-x +x
设f (x ) =
(提示:由a +b +c abc , 得++
ab bc 1, 再设=x , =y , =z . ) ca ab bc ca
4. 设x 、y 、z >0, ++1+x 1+y 1+z =2. 求
++的最大值. 1+x 1+y 1+z
2
2
2
2
易知f (x ) 在x =处的切线方程为
3g (x ) =-x -+=-x +.
49374949先证:
-x +(0
注意到
2
式 49(1-x ) (-45x +57)(1-x +x )
x
(提示:令=a , . 则
1+x
a =2,
45x 3-102x 2+53x -8 0 (3x -1) 2(5x -8) 0,
而最后一式显然成立. 所以, 式 成立.
故 =- -491-a +a
=1+x
a -a . )
5. 设a 、b 、c >0, 0. 求证:
149
+a 3
.
a +
+b
c
1+ 3=. 49497
(提示:参见例5. 原不等式可化为
因此, 原不等式得证.
a
3
. )
练习题
1. 设0
++2. 1-a 1-b 1-c
6. 已知a 、b 、c >0. 求证:
2
.
b +bc +c +53a 7
b +bc +c 3(b +c ) ,
(提示:先证2左边缩放后, 只须证
(2004, 新加坡数学奥林匹克)
2
(提示:因(a +b +c ) 3(ab +bc +ca )
b +c +5a 7. )
i =1
=3, 所以, a +b +c 3. )
2. 已知a 、b 、c >0, 且a +b +c =abc . 求+a
1+
+b
的最小值. c
7. 设a i >0(i =1, 2, , n ) , 求证:
a =
i
n
1.
i =1
n
1+
1 n
(n +1) . a i
(提示:参见例11, 只须证
i =1
(提示:设
=x , =y , =z . 则原条a b c
a +
i
n
a i
1n +1. )
件变为xy +yz +zx =1. 由题1的提示可知
参考文献:
[1] 田彦武. 一个不等式推广及猜想[J]. 中学数学, 2007
(2) .
魏烈斌. 不等式中的一对姐妹花[J]. 数学通讯, 2007
.