数学分析选讲答案第四次
《数学分析选讲》 第四次作业
一、判断下列命题的正误
1. 若函数f (x ) 在[a , b ]上可积,则f (x ) 在[a , b ]上有界. (正确)
2.若f (x ) 在[a , b ]上可积,则f 2(x ) 在[a , b ]上也可积. (正确)
3.若f (x ) 在区间I 上有定义,则f (x ) 在区间I 上一定存在原函数. (错误)
4.若f (x ) 为[a , b ]上的增函数,则f (x ) 在[a , b ]上可积. (正确)
5.若f (x ) 在[a , b ]上连续,则存在ξ∈[a , b ],使⎰b
a f (x ) dx =f (ξ)(b -a ) . (正确)
二、选择题
1.对于不定积分
A ⎰f (x ) dx ,下列等式中( A ) 是正确的. ⎰f (x ) dx =d f (x ) dx =f (x ) ; B ⎰f '(x ) dx =f (x ) ; dx ⎰C df (x ) =f (x ) ; D d
2.若⎰f (x ) ⎰f (x ) dx =x 2e 2x +c ,则f (x ) =( D )
2x 22x 2x A 2xe ; B 2x e ; C xe ; D 2xe 2x (1+x )
3.设5sin x 是f (x ) 的一个原函数,则⎰f '(x ) dx =( B )
A -5sin x +c ; B 5cos x +c ; C 5sin x ; D -5sin x
4.若f '(x ) 为连续函数,则
A ⎰f '(4x ) dx =( A ) 1f (4x ) +c ; B f (x ) +c ; C f (4x ) +c ; D 4f (4x ) +c 4
5.若⎰f (x ) dx =x 2+c ,则⎰xf (1-x 2) dx =( D )
2222A 2(1-x ) +c ; B -2(1-x ) +c ; 11(1-x 2) 2+c ; D (1-x 2) 2+c 22
dx = ( C ) 6. ⎰1+cos x
A tan x -sec x +c ; B -cotx +csc x ; x x πC tan +c ; D tan(-) 224C -
-x 7.x d(e) =( ⎰ D )
A x e -x +c ; B x e -x -e -x +c ; C -x e -x +c ; D x e -x +e -x +c
8. 已知f '(e x ) =1+x ,则f (x ) =( D )
A 1+ln x +c ; B x +1212x +c ; C ln x +ln x +c ; D x ln x +c 22
三、计算题
x x 1.求不定积分(e -2) e dx . ⎰
x x 解:(e -2) e dx =∫(e⎰2x -2e x )dx=e 2x +2ex +C
2.求不定积分x sin xdx . 解:解:arcsin xdx =x arcsin x -⎰⎰⎰x
-x 2dx =x arcsin x +-x 2+C
x 2
dx . 3.求不定积分⎰x -1
x 2
dx = ∫ (x² - 1)/(x - 1) +1/(x-1)dx 解:⎰x -1
= ∫ {[(x - 1)(x + 1)]/(x - 1)+1/(x-1)} dx
= ∫[ (x + 1)+ 1/(x-1)] dx
= x²/2 + x +㏑|x-1|+ C
4
.求不定积分解:令
⎰dx .
=
u ,则⎰dx =⎰e u 2u du =2(e u u -e u ) +C =21) +C
四、证明题
设f 为连续函数. 证明: ⎰π
0x f (sinx ) dx =π2⎰π
0f (sinx ) dx .
2证 因f 在[a , b ]上不恒等于零,故存在x 0∈[a , b ],使得f (x 0) ≠0,于是f (x 0) >0.
又因为f 在[a , b ]上连续,由连续函数的局部保号性,存在x 0的某邻域(x 0-δ, x 0+δ) (当
f 2(x 0) >0. 从而 ,使得在其中f (x ) >x 0=a 或x 0=b 时,则为右邻域或左邻域)22
⎰b
a f (x ) dx =⎰
≥⎰2x 0-δa f (x ) dx +⎰22x 0+δx 0-δf (x ) dx +⎰2b x 0+δf 2(x ) dx x 0+δf (x ) dx >⎰x 0+δf 2(x 0) dx =f 2(x 0) δ>0. x 0-δx 0-δ2