华中科技大学硕士研究生矩阵论2012年试题
矩阵论2012年试题
一、 填空题：（每个空3分，共27分）
1、设矩阵⎡13i 1-2i ⎤⎥A =⎢21-i -3i ⎢⎥⎢1+i ⎥⎣10⎦, ⎡1⎤⎥X =⎢1⎢⎥⎢⎣1⎥⎦, 其中i =-1，则
AX 1=___A =____, _. ___
⎡210⎤⎢⎥-12、设矩阵A =P 030P ，则dim N (A ) =______;m A (λ) ______. ⎢⎥⎢⎣000⎥⎦
⎡0a a ⎤∞⎢⎥k 3、矩阵A =a 0a ，则a 满足条件______时，矩阵幂级数∑A 收敛. ⎢⎥k =0⎢⎥a a 0⎣⎦
⎡1⎤⎡231⎤⎢⎥⎢-12⎥，则A 的LDV 分解为4、论矩阵A =12=______. ⎢⎥⎢⎥⎢2⎥⎣233⎥⎦⎢⎣⎦
0⎤⎡10⎢⎥, sin(A ) 的Jordan 矩阵05、设A =01/2 J sin(A ) =______;⎢⎥⎢⎣001/3⎥⎦
n ->∞lim sin(A n ) =______.
6、设A =⎢⎡a 1⎤⎡30⎤，，则矩阵方程AX +XB =0有非零解的条件是a ≠______. B =⎥⎢⎥⎣02⎦⎣21⎦
3二、（15分）设线性空间R 上的线性变换T 在基{e 1, e 2, e 3}下的变换矩阵为
⎡a 11a 12
A =⎢⎢a 21a 22
⎢⎣a 31a 32a 13⎤a 23⎥⎥， a 33⎥⎦
（1） 求变换T 在基{e 1, 3e 2, e 3}下的变换矩阵.
（2） 求变换T 在基{e 1, e 1+e 2, e 3}下的变换矩阵.
⎡21⎤⎢⎥三、（15分）设矩阵A =00 ⎢⎥⎢⎣00⎥⎦
（1）求矩阵A 的奇异值分解.
+（2）求矩阵A 的M -P 广义逆A .
⎧⎡1⎤⎡1⎤⎫⎪⎢⎥⎢⎥⎪3四、（15分）设W =L ⎨1, 1⎬是空间R 的子空间， ⎢⎥⎢⎥⎪⎢0⎥⎢1⎥⎪⎩⎣⎦⎣⎦⎭
（1）求空间R 上的正交投影变换P ，使得P 的象空间R (P ) =W .
（2）求空间R 的向量α=[1, 2, 3]在投影变换P 下的象. 33T
08⎤⎡3⎢⎥At 五、（15分）设A =3-16，计算矩阵函数e . ⎢⎥⎢⎣-20-5⎥⎦
六、证明题：
（1）（7分）设A 是可逆矩阵，σn 是矩阵A 的最小奇异值，证明
A -1
2=1σn
（2）（6分）设矩阵A 和B 都是n 阶方正，证明rank (A ⊗B ) =rank (A ) ⋅rank (B )