巧用待定系数法解题

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２００８年３月

巧用待定系数法解题

杨正荣．

（责州省黎平县城关四小附中，责州黎平５５７３００）

待定系数法是中学数学的重要思想方法，除了教材中用它求函数的表达式、处理根与系数关系等的作用外，其应用还

很广泛；本文将介绍其在分解因武、解决不定方程问题、求三角函数最值三方面问题的作用。

【摘要】

【关键词】待定系教法；解题；应用

待定系数法是中学数学的一个重要方法，教材中，待定系数法是在求函数表达式的过程中引入的，并指出“这种通过求待定系数来确定变量之阃关系式的方法叫做待定系数法”。待定系数法在教材中的作用。主要体现在求函数的表达式上，但这类题型，必须知道函数的一般形式，才能解答。实待定系数法的应用非常广泛，这种方法几乎在中学数学教材的各个阶段都将发挥作用，同学们若能很好地掌握这种方法，对解决很的很多数学问题是非常有益的。下面仅举几例，供同学们参考。

原题给的解法看似精妙，但实际上操作起来比较复杂，并且存在一定偶然性。现给出一种参数法的方法来解此题。题目的答案无非由方程①和②获得，说的更明白些，无非是由①和②加加减减得到，问题在于我们并不知道应该加（或减）①式多少次，加（或减）②式多少次，因此，可以用参数法来解题。

用①＋②×ｔ，得到

１３ｘ＋５ｙ＋９ｚ＋ｔ（２ｘ＋４ｙ＋３－）＝９．２５＋３．２×ｔ。即（１３＋２ｔ）ｘ＋（５＋４０Ｙ＋（９＋３ｔ）ｚ＝９．２５＋３．２ｔ（萤令１３＋２ｔ＝５＋４ｔ＝９＋３ｔ④求得，ｔ＝４

若④式元解，则表示ｘ＋Ｙ＋ｚ不为定值。将ｔ＝４代入③，得

２１（ｘ＋Ｙ＋ｚ）＝９．２５＋３．２・４＝２２．０５，得ｘ＋Ｙ＋ｚ＝１．０５

此解法非常简便。相当于只需解两次一元一次方程即可。并且其适用范围很广，类似的此类题目均可用此法，还可立即判定所求答案是否为定值。（需要注意的是要先判定所求答案不能只用一个方程求得）。

另外，此参数法还可以方便的运用到除了不定方程以外的地方。如下题：大小两种货车，２辆大车与３辆小车一次可以运货１５．５吨；５辆大车与６辆小车一次可以运货３５吨。求３辆大车与５辆小车一次可以运货多少吨？

解：设一辆大车和一辆小车一次可各运货ｘ吨，ｙ吨，那么３ｘ＋５ｙ即为所求。要挟据题意有：

①２ｘ＋３ｙ＝１５．５

５ｘ＋５ｙ＝３５②

①×７一⑦得：９ｘ＋１５ｙ＝７３．５，即３ｘ＋５ｙ＝２４．５

答：３辆大车和５辆小车一次可以运货２４．５吨。用参数法，则①・ｔ＋②，得

（２ｔ＋５）ｘ＋（３ｔ＋６）Ｙ＝１５．５ｔ＋３５（３）

令（２ｔ＋５）／３＝（３ｔ＋６）／５，得ｔ＝－７，代入（３），得一３（３ｘ＋５ｙ）＝一７３．５，得（３ｘ＋５ｙ）＝２４．５相比上述方法而言，不存在任何偶然性。

１．用待定系数法分解因式

，

用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数町先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理：（＿）如果两个多项式相等，并且这个等式是恒等式，那么不论用什么数值代替恒等式中的字母。其左、右两边的值总是相等；㈢如果等式ａｏｘ“＋８ｌｒ＿１＋…＋ａ。＝ｂｏｘ”＋ｂｌｘ”’＋…＋ｂ，．是恒等式，那么ａｏ＝ｂｏ，８Ｉ＝ｂｌ，…ａ。＝ｂ。。建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值。在初中竞赛中经常出现。

例ｌ：分解因式ｘ２＋５ｘｙ＋６ｙ２一ｘ—Ｙ一２

分析：待定系数法是初中数学的一个重要方法。我们用这个方法来解这道题：先看多项式中的二次项ｘ２＋５ｘｙ＋６ｙ，可以分解成（ｘ＋３ｙ）（ｘ＋２ｙ）。因此。如果多项式能分解成两个关于ｘ、Ｙ的一次因式的乘积，那么这两个因式必定是（ｘ＋３ｙ＋ｍ）（ｘ＋２ｙ＋ｎ）的形式，其中ｍ、ｎ为待定系数，只要能求出ｍ和ｎ的值，多项式便能分解。

解：分解二次项，得ｘ２＋５ｘｙ＋６ｙ２＝（ｘ＋３ｙ）（ｘ＋２ｙ）。假设含有待定系数的恒等式，并腱肝

ｘ７＋５ｘｙ＋６ｙ２一ｘ—Ｙ一２

＝（ｘ＋３ｙ＋ｍ）（ｘ＋２ｙ＋ｎ）

＝ｘ２＋５ｘｙ＋６ｙ２＋（ｍ＋ｎ）ｘ＋（２ｍ＋３ｎ）Ｙ＋ｍｎｏ………………幸

应用性质（ｊ．根据恒等式的特点，可分别令（１）】【＝０，Ｙ＝０，得ｍｌｌ＝一２；（２）ｘ＝Ｏ，Ｙ＝ｌ，得２ｍ＋３ｎ＝一１；（３）ｘ＝ｌ，Ｙ＝０，得ｍ＋ｎ＝一１。

也可以应用性质㈢，比较・式两边对应项的系数，同样可得方程组：

ｒｎｌ＋ｎ＝一１

由方程组中①、②解得ｍ＝一２，ｎ＝１。代入③检验，

【ｍｎ＝一２

能够适合。所以这样的ｍ和ｎ是存在的，故有

｛２ｍ＋３ｎ＝一ｌ

３．用待定系数法求三角函数最值

用均值不等式求三角函数最丁｝ｔｆ时，“各数相等”及“和（或积）为定值”是两个需要刻意凑出的条件．从何处人手，怎样拆项，如何凑出定值且使等号成立，又能使解答过程简捷明快，这确实既“活”又“巧”．对此问题，现利用待定系数法探析．

ｘ２＋５ｘｙ＋６ｙ２一ｘ—Ｙ一２＝（ｘ＋３ｙ一２）（Ｘ＋２ｙ＋１）。

例２：分解因式：２ｘ２—５ｘｙ＋３ｘｚ一３），ｚ＋５ｙｚ一２２２．解：‘．’２ｘｚ一５ｘｙ一３，＝（２ｘ＋Ｙ）（ｘ一３ｙ），

．・．可设２ｘ２—５ｘｙ＋３ｘｚ一３ｙ２＋５ｙｚ一２２２＝２ｘ２—５ｘｙ一３ｙ２＋３ｘｚ＋５ｙｚ一２２２

＝（２ｘ＋Ｙ＋ｍｇ）（ｘ一３ｙ＋ｎｚ）

ｒ２ｎ＋ｍ＝３

．

例：设矩［ｏ，詈］，求函数，，＝ｓｉｎｘ＋—每的最小值．

分析：因为靶［ｏ，÷］，所以ｓｉｎ＞ｏ，，，＝８ｉ肼＋去可变形为，，＝！竽＋

ｓｉｎｘ

把①式右边展开得：２ｘ２—５ｘｙ＋（ｒｉｌｌ＋２ｎ）ｎ一３ｙ２＋（ｎ一３ｍ）ｙｚ＋

ｍｎｚ２，与・式左边比较同类项的系数得：｛ｎ一３ｍ＝５，解这个方程组得：ｍ

【ｍｎ＝一２

ｑ

丁＋ｉ忑

Ｉ

由基杯等式得警＋警＋圭≥ｓ再

净ｙ

、

等号当且仅当半＝击取到，即ｓｉｎ３善＝２。这是不可能的。事实上，

此题是可以用均值不等式来解答的，但需要拆项，如何拆，既能使其积为定值，又能使“＝”号成立，这确实是一个难点，笔者认为，待定系数法就能很好地解决这个问题，为此，要先引入一个待定参数。

１３ｘ＋５ｙ＋９ｚ＝９．２５．２ｘ＋４ｙ＋３ｚ＝３．２０。

将方程组整理变形为：

１３（ｘ＋Ｙ＋ｚ）－４（２ｙ＋ｘ）＝９．２５，２（ｘ＋ｙ＋ｚ）＋（２ｙ＋ｚ）＝３．２０。

视（ｘ＋Ｙ＋ｚ）、（２ｙ＋ｚ）为未知数，易求得ｘ＋Ｙ＋ｚ＝１．０５（元）。

这是一道典型的“不定中求确定”的题目。原方程组的解的有无穷多组的．但不论对应哪组解。即在满足

①１３ｘ＋５ｙ＋９ｚ＝９．２５

２ｘ＋４ｖ＋３ｚ＝３．２（２）

的条件下，不论ｘ，Ｙ，ｚ各是多少，ｘ＋Ｙ＋ｚ是不变的。

。

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掰旆凇吼嗍撇ｉ萋～明一一～～啡～一一撕一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一

常副豇

扎

２

解：因为搬［ｏ，罢］，所以ｓｉｎｘ＞ｏ，为了能用基本不等式求解，我们引

入参数☆（０＜后＜Ｉ），把ｙ写成如下形式：

Ｈ规蚶拍巧

加¨鞫则，旧

，，＝警＋警＋熹＋鬟兰ｓ√÷＋字

等号当且仅当警＝？｝且Ｂｉ眦＝ｌ时取到，从而ｋ＝了Ｉ．得，，≥３

√ｉ＋丁剐，

即函数，，＝ｓｉｎｘ＋÷ｒ的最小值为２．３厂ｒ

１．

作者简介：杨正荣（１９６９一）．男，侗族，贵州黎平人，大学本科，责州黎平四小附中教师。

叁｛喹亟Ｐ。

万方数据　

巧用待定系数法解题

作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：

杨正荣

贵州省黎平县城关四小附中,贵州,黎平,557300南北桥

SOURTH NORTH BRIDGE2008，""(3)0次

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