用坐标系解立体几何常见方法

建立空间直角坐标系，解立体几何高考题

立体几何重点、热点：

求线段的长度、求点到平面的距离、求直线与平面所成的夹角、求两异面直线的夹角、求二面角、证明平行关系和垂直关系等．

常用公式： 1

、求线段的长度：

AB ==x 2+y 2+z 2=(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2+(z 2-z 1)2

2、求P 点到平面α的距离：PN =

（N 为垂足，M 为斜足，为平面α的法向量）

3、求直线l 与平面α所成的角：|sin θ|=

=

，(PM ⊂l , M ∈α, 为α的法向量)

4、求两异面直线AB 与CD 的夹角：cos θ

5、求二面角的平面角θ：|cos θ|=

12，（ n 1，n 2为二面角的两个面的法向量）

6、求二面角的平面角θ：cos θ=

S 射影S

，（射影面积法）

7、求法向量：①找；②求：设, 为平面α内的任意两个向量，=(x , y , 1) 为α的法向量，

⎧⎪⋅=0

则由方程组⎨，可求得法向量．

⎪⎩⋅=0

高中新教材9(B)引入了空间向量坐标运算这一内容，使得空间立体几何的平行﹑垂直﹑角﹑距离等问题避免了传统方法中进行大量繁琐的定性分析，只需建立空间直角坐标系进行定量分析，使问题得到了大大的简化。而用向量坐标运算的关键是建立一个适当的空间直角坐标系。

一﹑直接建系。

当图形中有互相垂直且相交于一点的三条直线时，可以利用这三条直线直接建系。

例1. (2002年全国高考题) 如图，正方形ABCD ﹑ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD ﹑ABEF 互相垂直。点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM=BN=a（0

（3）当MN 最小时，求面MNA 与面MNB 所成二面角α的大小。

解：（1）以B 为坐标原点，分别以BA ﹑BE ﹑BC 为x ﹑y ﹑z 轴建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz ，由CM=BN=a，M(

22

a ，a -1) 22

2222

a ，0，1-a ), N （a ，a ，0）

2222

∴ =(0，

∴ MN =(

22a 2a -1) 2+() 22

221=(a -) +（0

22

221

（2）由（1）MN =(a -) +

22所以，当a=

2

时，MN 2

=min

2

， 2

2。 2

即M ﹑N 分别移动到AC ﹑BF 的中点时，MN 的长最小，最小值为（3）取MN 的中点P ，连结AP ﹑BP ，因为AM=AN，BM=BN，

所以AP ⊥MN ，BP ⊥MN ，∠APB 即为二面角α的平面角。

1111

MN 的长最小时M(，0，), N （，，0）

2222

由中点坐标公式P(

111

，，), 又A （1，0，0），B （0，0，0） 244

111111

∴ PA =(，-，-) ，PB =(-，-，-)

244244

∴ cos∠

APB=

=

-

111

++1=-

333

⋅88

1

∴ 面MNA 与面MNB 所成二面角α的大小为π-arccos

3

例2. (1991年全国高考题) 如图，已知ABCD 是边长为4的正方形，E ﹑F 分别是AB ﹑AD 的中点，GC ⊥面ABCD ，且GC=2，求点B 到平面EFG 的距离。

解：建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz ， 由题意 C （0，0，0），G （0，0，2），E （2，4，0），F （4，2，0），B （0，4，0）

∴ GE =（2，4，-2），GF =（4，2，-2），BE =（2，0，0） 设平面EFG 的法向量为n =（x ，y ，z ）

2x +4y -2z =0得4x +2y -2z =0，

11

令z=1，得x=，y=，

3311

即=（，，1），

33

{

在方向上的射影的长度为 d =BE =

2

3

1111

++199

例3. (2000年二省一市高考题) 在直三棱柱ABC- A1B 1C 1中CA=CB=1， ∠BCA=900，棱A A1=2，M ﹑N 分别是A 1B 1﹑A 1 A的中点。

（1）求的长； （2） 求cos ；

解：建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz ，则C （0，0，0），B （0，1，0），

11

N （1，0，1），A 1（1，0，2），B 1（0，1，2），C 1（0，0，2），M (，，2)

22

（1）=（1，-1，1）， =；

（2）CB 1=（0，1，2），BA 1=

（1，-1，2） ∴ cos=

-1+430

==

106⋅5

（3）A 1=（-1， 1，-2），

11

C 1M =(，，0)

22

11

∴ A 1•C 1= -1×+1×+(-2) ×0=0

22

∴ A 1B ⊥C 1M

二﹑利用图形中的对称关系建系。

有些图形虽然没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是图形中有一定的对称关系（如：正三棱锥﹑正四棱锥﹑正六棱锥等），我们可以利用图形的对称性建立空间直角坐标系来解题。

例4. (2001年二省一市高考题) 如图，以底面边长为2a 的正四棱锥V-ABCD 底面中心O 为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz ，其中Ox ∥BC ，Oy ∥AB ，E 为VC 的中点，高OV 为h 。

（1）求cos ； （2）记面α-VC-β的平面角，求∠BED 。

解：（1）由题意B （a ，a ，0），

a a h

D （-a ，-a ，0），E （-，，）

222

3a a h

∴ =（-，-，），

222a 3a h

=（，，）

222

cos=

3a 23a 2h 2--+

22225a h 5a h

+⋅+2424

=

-6a 2+h 2

= 22

10a +h

（2） ∵ V（0，0，h ），C （-a ，a ，0）

∴VC =（-a ，a ，- h）

又 ∠BED 是二面角α-VC-β的平面角 ∴ ⊥，⊥

22

3a 2a 2h 22h 2h 即 BE ·VC =--= a-=0， a =

22222

1-6a 2+h 2

代入 cos==- 22

310a +h

1

即∠BED=π-arccos

3

三﹑利用面面垂直的性质建系。

有些图形没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是有两个互相垂直的平面，我们可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且相交于一点的三条直线，建立空间直角坐标系。

例5. (2000年全国高考题) 如图，正三棱柱ABC- A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为2a 。

（1） 建立适当的坐标系，并写出A ﹑B ﹑A 1﹑C 1的坐标； （2） 求 AC 1与侧面AB B1A 1所成的角。 解：（1）如图，以点A 为坐标原点，以AB 所在直线为y 轴，以AA 1所在直线为z 轴，以经过原点且与ABB 1A 1垂直的直线为x 轴，建立如图所示的空间直角坐标系。

由已知得：A （0，0，0），B （0，a ，0），A 1（0，0，2a ），C 1（-a a ，，2a ）

22

（2）取A 1B 1的中点M ，于是有M （0， MC 1=（

-a

，2a ），连AM ﹑M C 1有 2

，且=（0，a ，0），AA a ，0，0）1=（0，0，2a ） 2

由于MC 1·=0，MC 1·1=0，故M C 1⊥平面AB B1A 1 。 ∴ A C1与AM 所成的角就是AC 1与侧面AB B1A 1所成的角。 ∵ AC 1=（-a a ，AM =（0，，2a ）, a ，，2a ）

222

a 29a 22

∴ AC 1·=0++2a =,

44

AC 1

3a 2a 2

=++2a 2=3a ，

44

3a a 2

AM =+2a 2=

24

9a 2

∴ cos== 323a ⋅a

2

∴ AC 1与AM 所成的角，即AC 1与侧面AB B1A 1所成的角为30o 。

例6. (2002年上海高考题) 如图，三棱柱OAB- O1A 1B 1，平面OBB 1O 1⊥平面OAB ，∠O 1O B=600, ∠AOB=900，且OB= OO1=2，OA=3。

求：（1）二面角O 1–AB –O 的大小；

（2）异面直线A 1B 与A O1所成角的大小。（结果用反三角函数值表示） 解：（1）如图，取OB 的中点D ，连接O 1D ，则O 1D ⊥OB

∵ 平面OBB 1O 1⊥平面OAB ， ∴ O 1D ⊥面OAB ，

过D 作AB 的垂线，垂足为E ，连结∠DE O 1为二面角O 1–AB-O 的平面角。 由题设得O 1D=

sin ∠OBA=

OA OA 2+OB 2

=

21 7

∴ DE=DBsin∠OBA=

21 7

∵ 在Rt ΔO 1DE 中，tan ∠DE O1=7

∴ ∠DE O1=arctan7，即二面角O 1–AB –O 的大小为arctan 7。

（2）以O 为原点，分别以OA ﹑OB 所在直线为x ﹑y 轴，过点O 且与平面AOB 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系。则O （0，0，0），O 1（0，1，）， A （3，0，0）， A 1（3，1，3）， B （0，2，0），

则A 1B =（-，1，-），O 1A =（，-1，-） cos 〈A 1，O 1A 〉

=

-3-1+37

=-

1

7

故异面直线A 1B 与A O1所成角的大小arccos

1。 7