二面角的几种求法

浅析二面角的求法

摘要：在高中立体几何中，求解二面角是高考的重点和难点，在历年高考中都有所体现。二面角的求解因为方法多样、灵活多变，具有较高的区分度，较能考察学生的空间想象能力、逻辑思维能力及计算能力，受到命题者的青睐。本文介绍了二面角以及二面角的平面角的概念，详细讲解了二面角的几种求法。这些求法分类为定义法、空间变换法、空间向量法以及另类求法。在每种方法的讲解过程中，都给出了相关具体的例题以及图形，给出了详细的解答过程。文章又根据不同的问题，分析了了各种求法的适用情况以及各种求法的优缺点。 关键词：二面角 平面角 面积法

引言

在高中空间几何的问题中，如何去求解两个平面的二面角的问题对很多同学来说十分棘手。许多同学一遇到这种问题就比较头疼，特别是针对那些所给已知条件比较少的问题。例如：在求二面角的问题中，许多都是没有给出直观的二面角的平面角，这就要求同学们会作辅助线，同时，一些问题中还需要很高的计算能力。在历年的高考题中，多次出现了求二面角的题目，如2009年的安徽卷（第18题）、2010年的安徽卷（第18题）、2012年的安徽卷（第18题）。这就说明，二面角问题在高考中是一个热门的考点。因此，探讨求解二面角问题的方法，有很大的研究价值。

二面角问题的求解方法

对不同的求二面角的问题，可以用不同的方法来解决。总体上来讲，可以分为四种方法，分别是：定义法、空间变换法、向量法、另类方法。 1、定义法

顾名思义，概念法指的是利用概念直接解答问题。

例1：如图1所示，在四面体ABCD中，ACAB1,CDBD2,AD3。

求二面角ABCD的大小。

分析：四面体ABCD的各个棱长都已经给出来了，这是一个典型的根据长度求角度的问题。

解：设线段BC的中点是E，接AE和DE。

CDBD2，根据已知的条件ACAB1，可以知道AEBC且DEBC。又BC

是平面ABC和平面DBC的交线。

根据定义，可以得出：AED即为二面角ABCD的平面角。

可以求出AE

，DEAD3。 2

根据余弦定理知：

AEDEAD



2AEDE

2

2

2

cosAED

2

232

7 47

即二面角ABCD的大小为arccos。

4

同样，例2也是用定义法直接解决问题的。

例2：如图2所示，ABCD是正方形，PB平面ABCD，PBAB1，求二面角

APDC的大小。

图2

解：作辅助线CEPD于点E，连接AC、AE。

由于ADCD，PAPC，所以三角形PAD三角形PCD。即AEPD。由于

CEPD，所以AEC即为所求的二面角的大小。

通过计算可以得到：PC

PDCD1，在三角形PCD

中可以计算

得到CE

。由此可以得到：AECE

，又AC。 2

2

2

22

2AECEAC1

由余弦定理：cosAEC

22AEAC223

2

即：AEC。

32、空间变换法

空间变换法指的是基本的空间方法，包括三垂线法、补角法、垂面法等方法。 下面用例3介绍三垂线法、补角法和垂面法。

例3：如图3所示，现有平面和平面，它们的交线是直线DE，点F在平面内， 点C在平面内。求二面角FDEC的大小

分析：过点C作辅助线CA垂直于DE，作CB垂直于平面于点B。

2.1补角法

直接求解二面角FDEC的大小是有些困难的，那么可以先求解二面角

CDEB。因为二面角FDEC与二面角CDEB是互补的关系，现在先求出

二面角CDEB后，二面角FDEC的大小就很容易计算了。

2.2三垂线法

由于CADE，CB平面。那么根据三垂线定理可以得知：CA在平面内的射影AB垂直于两平面的交线DE。即ACDE且ABDE，根据定义可知，二面角

CDEB的大小即为CAB的大小。那么二面角FDEC的大小可以用补角法得

到。

2.3垂面法

切面法的基本思想是做一个垂面，它垂直于两个平面的交线，在所得的图形中就可以很容易观察与计算二面角。如图3所示，可以作平面CAB垂直于两个平面的交线

DE，平面CAB与平面的交线是AC，平面CAB与平面的交线是AB，根据二面角的定义知CAB即为所求二面角的补角，根据补角法，可以求出二面角FDEC的大小。

下面用例4来详细讲解一下垂面法。

例4： 在图4中，PA平面ABC，ABC90o。其中PAAB

1，PBBCE是PC的中点，DEPC。求二面角CBDE的大小。

图4

解：由于E是PC的中点，且PBC是等腰三角形，那么BDPC。 又DEPC，可以推出：PC平面BDE。所以：PCBD。 又PA平面ABC，则BDPA，所以BD平面PAC。 可以得出：平面PAC是平面CBD和平面EBD的公共垂面。 由此，根据垂面法知CDE即为所求二面角的平面角。 由于VCDECPA，那么：

CD

CECE，DE。

CP2

PA1

CA3CA31PC1。 2又：CE

在三角形CDE中根据余弦定理可知：

4121

CDDECE1

cosCDE

2CDDE2

32

2

2

那么CDE60o。

即求二面角CBDE的大小是60o。

2.4补形法

以上讲解了三垂线法、补角法和垂面法三种空间变换法，以下通过一个单独的例子来讲解第四种方法——补形法。

例5：在图5中，PA平面ABCD，四边形ABCD是一个直角梯形，其中PA1，

AD1，CD1，AB

1

。BADADC90。求半平面PAD与半平面PBC所2

成二面角余弦值的大小。

图5

解：延长直线DA与BC，它们相交于点E，连接PE。

由题意可知，BA平行于CD，AB的长度是CD的一半，且BAAD，BAPA，那么BA平面PED，CD平面PED，AE

1，PE

在三角形PED

中，PDPE，EDAEAD2。那么根据勾股定理可知

DPE90，即DPPE。

CD平面PED，DPPE，且DP是CP在平面PED内的射影，根据三垂线定理

知：CPPE。

又DPPE，即CPD即为所求的二面角。

在RtCDP中，CD

1，PD

PC

cosCPD

。 所以平面PAD与平面PBC

在有些问题中，所给的图形不是能够很好观测到二面角的平面角，可以通过补形的方法来观测二面角的平面角。在例5中，很好的运用了补形法和三垂线法来解决问题，这也告诉我们，可以在一个问题中使用多种方法来达到解决问题目的。 3、向量法

3.1二面角和两平面的夹角之间的关系

两平面的夹角有两个，它们之间互补，取它们中角度较小的为1，那么1的取值范



围是(0,]。而二面角是指两个特定的半平面所组成的图形，二面角2的取值范围是

2

(0,)。

但是我们可以利用两个平面的夹角来求二面角，它们之间的关系具体如下： 如果02如果



2

，21。（1）



2

2，21。（2）

因此，在用空间向量法求解二面角的时候，必须先判断二面角的大小是锐角还是钝角，然后由以上发现的规律来求解。当然，前提是先求出两平面的夹角。

3.2平面法向量的求法

两平面间的夹角一般根据两平面的法向量来求。如果平面方程已知，平面的法向量可以直接给出，如果平面方程未知，法向量可以根据平面内的三个点的坐标求出来。如图7所示：

例6：如图6所示在平面内，已知三点X(x1,y1,z1)，Y(x2,y2,z2)，

Z(x3,y3,z3)。

图

6

下面求解平面的一个法向量n。 解法一：

设平面的方程为AxByCzD0

将点X，Y，Z的坐标分别代入方程可以解出系数A，B，C，D。

在此特别强调一下，三个点带入方程后得到的应该是一个四元三次方程，可能无解，如果有解，那么一定有无数多个解。可以通过解方程，将A，B，C全部用D表示，这样就可以得到一个形如2Dx5Dy4DzD0的方程，可以将新得到的方程两边同时除以D（D一定不等于0，否则A=BCD0，方程无意义），那么就可以得到平面的方程2x5y4z10。

得到了平面的一般方程，即得平面的法向量坐标n{A,B,C}。 解法二：

在图7中，由所给的信息，可以求出向量XY、XZ的大小。设平面的一个法向量n{x,y,z}。

若XY{a1,b1,c1}，XZ{a2,b2,c2}。 由nXY0，nXZ0可以得到：

a1xb1yc1z0



axbycz0222

可以求解出x，y，z的关系。此方程一定有无数多个解，可以将x，y用z表示。如n{2z,4z,z}，由此可知向量n{2,4,1}是平面的一个法向量。

3.3两平面夹角的公式

两平面相交时，定义它们之间的夹角为它们法向量的夹角为n1,n2，其中。于是：

ni{Ai,Bi,Ci},i1,2

cos

n1n2n1n2



3.4两平面的夹角转化成二面角

利用上述方法，先求出两平面的法向量，再求两平面的夹角，从而得出二面角的大小。

例7：如图7，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直， AB=2，AF=1，M是

线段EF的中点。（Ⅰ）求证AM∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角A—DF—B的大小； 解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系。设ACBDN，连接NE，

2222则点N、E的坐标分别是（（0,0,1）, ∴NE=(,,0)、,,1),

2222

22

0）又点A、M的坐标分别是（22，、（,,1)

22

22∴ AM=（,,1)∴NE=AM且NE与AM不共线，

22

∴NE∥AM。又∵NE平面BDE， AM平面BDE，

∴AM∥平面BDF。

（Ⅱ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AFADA,∴AB⊥平面ADF。 ∴AB(2,0,0)为平面DAF的法向量。







2222

∵NE·,,1)·,,1)·(2,2,0)=0(2,2,0)=0，∴NE·DB =（NF=（

2222

1

得:NE⊥DB，NE⊥NF，∴NE为平面BDF的法向量。∴cos=AB与NE的夹角是

2

60º。即所求二面角A—DF—B的大小是60º。

4、另类方法

比较常用的另类方法是四面体体积法、角度法和面积摄影法。

4.1四面体体积法

例8：如图8所示，在空间四面体ABCD中，四面体的所有棱长都是1，求二面角ABDC正弦值的大小。

图8

分析：过点A作辅助线AO平面BCD于点O，过点A作辅助线AEBD于点E，连接直线EO，AEO，sin

AO

。由于四面体ABCD是一个正四面体,AEO

AE

即为所求二面角。（也可以推导出当四面体不是正四面体时AEO同样是所求的二面角）

正四面体ABCD的棱长是1，可以求出正四面体A

BCDVABCD

1

AOSBCD3

AO

SBCD(BDAE)AE2sinSBCDSABD

3BD3BD

，BD

1，SABDSBCD

12

根据已知条件可知：VABCD

可以求出：sin

当四面体ABCD不是正四面体时也可以用这种方法求解，只需要知道体积、两个面的面积、公共边的长度就可以解出二面角的大小了。

4.2角度法

例9：如图9所示，以点A为顶点的三条射线分别是AB、AC、AD，其中AB、AD

AC的夹角是2，AC、的夹角是1，现在要求二面角CABDAB、AD的夹角是3。

的大小。

图9

分析：现在设CBAB，并且DBAB（由于AB、AC、AD的长度没有给出，这样的假设是合理可行的），那么CBD即为所求二面角的大小。 根据已知条件可以得到：

AB

BDABtan1， AD

cos1

BCABtan2， AC

2

2

2

AB

cos2

又CDACAD2ACADcos3 将AD

2

ABAB

、AC带入得到： cos1cos2

2

CDAB(

2cos311

) 22

cos1cos2cos1cos2

在三角形BCD中,

BCBDCD

cosCBD

2BCBD

2

2

2

ABtan21ABtan22AB(

2

222

2cos311

)cos21cos22cos1cos2

2ABtan1tan2

(tan21

2cos3112

)(tan)2

cos21cos22cos1cos2

2tan1tan2



2cos3

11

cos1cos2

2tan1tan2

cos3cos1cos2

cos1cos2

即：CBDarccos

cos3cos1cos2

cos1cos2

通过这种方法，可以在没有任何长度条件的情况下求解出二面角的大小，因此，该方法是一个比较特殊实用的方法。

4.3面积射影法

例10：一个平面多边形的面积为S，它在另一个平面上的射影多边形的面积为S1，若多边形所在平面与另一个平面构成的二面角为，则cos

S1

S

解：如图10，设AB3，

93SABC,SAEF

可求得 22

(AEEF,AF22) 且AEF 在平面ABCD上的射影为ABC

SABCSAEF

9

3

2,3

2

C

AB

cos

图10

2

tan

3

C1

或解：如图11

把AEF、ABC分别扩充

成菱形AEFG、正方形ABCD。 同样，菱形AEFG在底面上的射影 为正方形ABCD，同上也可求出正确

A

B

C

图11

答案。注：面积射影法对这种“无棱二面角”比较方便。

5.小结

首先要指出的是给出的3种另类方法，如果给出的问题条件特殊，可以用四面体体积法、角度法或者面积射影法来解决，使用3种另类方法无疑是最简单的方法，直接套用公式即可解出结果。

如果遇到的问题不能用另类方法解决，则尽量运用概念法和几何法来解决，因为这两种方法的计算量小，不容易出错。但是很多问题所给的条件不够的，很多图形都只给出了部分条件，其他条件需要推导计算出来，因此，要灵活运用概念法、三垂线法、割补法以及切平面法，有时甚至需要几种方法的混合使用才能够求解出二面角，例4和例5中也可以看出这几种方法混合使用的效果。

还有，如果问题给出的图形容易建立直角坐标系，并且各个点的坐标不是很复杂时，使用空间向量法是一个不错的选择。它可以省去很多推导过程，只需要细心地运算，就可以把平面的二面角解出来。当然，倘若问题的数据巨大，这种方法就不是很适用。 到目前为止只总结出了这些方法，可能还有很多实用的方法没有考虑到。总结出的方法中可能有不足之处，还请指出改正。

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