华南理工大学高数(上)期末考题参考答案

华南理工大学高数（上）期末考题参考答案

一、填空题（每小题3分，共15分） 1. 设y =+x ，则dy x =0=

1x

1

dx . 4

2. lim (1+sin x ) =e .

x →0

3. 已知△ABC 的三个顶点的坐标为A (1, 0, 1), B (2, 1, 0), C (0, 1, 1) , 则∠BAC =

. 2

4. 曲线y =

1211

x -ln x (1≤x ≤e ) 的弧长等于(e 2+1) .

442

1

. 2

5.

⎰

+∞

xe -x dx =

2

二、选择题（每小题3分，共15分） 1. 设

d d f (x ) =g (x ), h (x ) =x 2, 则f [h (x )]=(D ) .

dx dx

（A ）g (x 2) ； （B ）2xg (x ) ； （C ）x 2g (x 2) ； （D ）2xg (x 2) .

x x

2. 设f (x ) =5+7-2, 则x →0时，（ B ）.

（A ）f (x ) 与x 是等价无穷小量； （B ）f (x ) 与x 是同阶但非等价无穷小量； （C ）f (x ) 是比x 高阶的无穷小量； （D ）f (x ) 是比x 低阶的无穷小量. 3. 设g (x ) 在(-∞, +∞) 上严格单调减少，f (x ) 在x =x 0处有极大值，则（A ）. （A ）g [f (x )]在x =x 0处有极小值；（B ）g [f (x )]在x =x 0处有极大值；

（C ）g [f (x )]在x =x 0处有最小值；（D ）g [f (x )]在x =x 0处有既无极值也无最值； 4. 下列函数中，在定义域上连续的函数是（ B ）

1⎧sin x ⎧

⎪⎪x sin , x ≠0, , x ≠0,

（A ）f (x ) =⎨x （B ）f (x ) =⎨ x

⎪⎪x =0; x =0; ⎩0, ⎩0,

⎧+x -1⎧e x -1⎪, x ≠0, , x ≠0, （D ）f (x ) =⎪（C ）f (x ) =⎨⎨x x

⎪⎪x =0. 0, x =0; ⎩0, ⎩

5. 若连续曲线y =f 1(x ) 与y =f 2(x ) 在[a , b ]上关于x 轴对称，则积分

⎰

b

a

f 1(x ) dx +⎰f 2(x ) dx 的值为（ D ）

a

b

（A ）2

⎰

b

a

f 1(x ) dx ； （B ）2⎰f 2(x ) dx ； （C ）2⎰[f 1(x ) -f 2(x )]dx ； （D ）0

a

a

b b

三、解答下列各题（每小题7分，共28分）

⎧x =ln(1+t 2), 2

d y ⎪2

t u 1. 设参数方程⎨，求. 2

y =⎰du , dx ⎪01+u 2⎩

dy t 2

dy 2t

解 因为 ===

dx 2

2

dt 1+t dy t 1d () d () dt 2

d y 1+t 2所以 ====22

dx dx d [ln(1+t )]4t dt 21+t

2. 求曲线y =xe -x 在拐点处的切线方程.

解 因为 y '=e -x -xe -x ，y ''=-e -x -e -x +xe -x =e -x (x -2) ，令y ''=0得x =2 当x ∈(-∞, 2) 时，y ''0，且y (2) =2e ，则点(2, 2e ) 是曲线y =xe 的拐点；又y '(2) =[e -x (1-x )]x =2=-e -2，所以曲线y =xe 线方程是： y -2e 3. 计算积分

e

-2-2

-x -x

在拐点处的切

-2

=-e -2(x -2)

ln x ⎰1x 2dx .

e ln x e 1ln x e 11e 112e -2

dx =[-]+dx =-+[-]=-+(-+1) =1-=解 ⎰ 11⎰1x 21x 2x e x e e e e

4.

⎰

x 2-x

2

.

1-x 2-11

=-⎰=⎰dx -⎰-x 2dx -x 2-x 2-x 2x 2

解 解法一

⎰

11

x -x 2) +C （参看p201例21）

22

112

=arcsin x -x -x +C

22

解法二 设 x =sin t ，则dx =cos xdt ，代入得

=arcsin x -(arcsin x +

⎰

=

sin 2t 1-cos 2t 11=⎰cos tdt =⎰=t -sin 2t +C

cos t 224-x 2

x 2

1111

t -sin t cos t +C =arcsin x -x -x 2+C 2222

x ≤0

在x =0处连续且可导. x >0

⎧e x +b ,

四、（8分）确定常数a , b 的值，使函数f (x ) =⎨

⎩arcsin(ax ),

x →0

解 由于f (x ) 在x =0处连续⇒lim f (x ) =f (0-0) =f (0+0) ，且

f (0-0) =lim (e x +b ) =1+b ， f (0+0) =lim [arcsin(ax )]=0

x →0-0

x →0+0

所以 1+b =0 即 b =-1

'(0) =f +'(0) ，且 由于f (x ) 在x =0处可导⇒f -

f (x ) -f (0) e x +b -(1+b )

=lim =1 f -'(0) =lim

x →0-0x →0-0x x

f (x ) -f (0) arcsin(ax ) -(1+b ) arcsin(ax )

=lim =lim =a

x →0+0x →0+0x →0+0x x x

所以 a =1

f +'(0) =lim

即a =1，b =-1时f (x ) 在x =0处连续且可导.

-x

五、（8分）已知f (x ) 的一个原函数是e ，求x f '(x ) dx .

2

⎰

解

-x -x

⎰x f '(x ) dx =xf (x ) -⎰f (x ) dx =x [e ]'-e +C

2

2

2

22

=-2x 2e -x -e -x +C =-e -x (2x 2+1) +C 六、（8分）设f (x ) 在[0, 1]上可导，且f (0) =2

1

1

2

f (x )

. 试证：存在ξ∈(0, 1) ，使 1+x 2

(1+ξ2) f '(ξ) -2ξf (ξ) =0.

证 由积分中值定理有 f (0) =2

1

12

1f (x ) f (η) 1f (η)

η∈[, 1]； =2(1-) =

21+x 21+η221+η2

设 F (x ) =

f (x )

1+x 2

则F (x ) 满足：①在[0, η]上连续；②在(0, η) 内可导；③F (0) =f (0) =F (η) =

f (η)

；2

1+η

由洛尔定理，则至少存在一点ξ∈(0, η) ，使F '(ξ) =0，即

(1+ξ2) f '(ξ) -2ξf (ξ)

=0ξ∈(0, η) ⊂(0, 1) ， 22

(1+ξ)

即证 (1+ξ2) f '(ξ) -2ξf (ξ) =0 ξ∈(0, 1)

xt 21

=七、（8分）证明方程⎰在(0, 1) 内有且仅有一个实根. 01+t 210

x

xt 21

-证 设 f (x ) =⎰ 01+t 210

x

则f (x ) 在[0, 1]上连续，在(0, 1) 内可导，且

'2

x t ⎛x t 2⎫x 3

f '(x ) = x ⎰01+t 2dt ⎪⎪=(⎰01+t 2dt +1+x 2) >0(x >0)

⎝⎭

即f (x ) 在[0, 1]上单调递增；又

0⋅t 211

-=0-

11⋅t 2111

f (1) =-=(1-) dt - ⎰01+t 210⎰01+t 2

10

1

=1-[arctan x ]0-

1

19π=-≈0. 115>0 10104

由零点定理知，方程在(0, 1) 内有且仅有一个实根.

八、（10分）已知曲线y =a x (a >0) 与曲线y =ln x 在点(x 0, y 0) 有公共切线，求 （1）常数a 的值及切点；

（2）两曲线与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积. 解 （1）由条件知x 0(x 0>0) 满足

⎧a x 0=ln x 0⎪

a 1 ， ⎨

=

⎪2x 2x 0

0⎩

解之得a =

1

. e

2

（2）由（1）知x 0=e ，则两曲线与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积

V =π

⎰

e 2

e 2ln x x 2

() dx -π⎰() 2dx

1e 2

由于

⎰

e 2

x 1e 22e 2

=2[x ]0=， 2e 2e 2

⎰

e 2

1

(lnx ) dx =x (lnx )

2

2

[

2

2e 1

]

-2⎰ln xdx

1

e 2

e

=4e 2-2[x ln x -x ]1=2(e 2-1) ，

所以

V =π[e 22-12

π4⋅2(e -1)]=2