高等数学中导数的应用归纳性研究
高等数学中导数的应用归纳性研究
导数是微积分的重要组成部分,是联系高等数学多个章节内容以及解决相关问题的有效途径。下面我们就导数的应用及其常见错误进行归纳性总结。
1. 导数的概念及极限运算
lim 例1 设f (x ) 在x =x 0处可导,且f '(x 0) =1,求∆x →0f (x 0-2∆x ) -f (x 0) 。 ∆x
解:利用导数定义,
f (x 0-2∆x ) -f (x 0) f (x 0-2∆x ) -f (x 0) =-2lim ∆x →0∆x →0∆x -2∆x
f (x 0+h ) -f (x 0) h =-2∆x -2lim h →0h
=-2f '(x 0) =-2lim
x -x cos x x -sin x
0解:极限属于型,可用洛必达法则即分子分母同时求导进行计算。 0例2 求lim x →0
x -x cos x 1-cos x +x sin x sin x +sin x +x cos x =lim =lim x →0x -sin x x →0x →01-cos x sin x 2sin x +x cos x 3cos x -x sin x =lim =lim =3x →0x →0sin x cos x lim
2. 导数与连续
例3 设函数f (x ) =(x -a ) g (x ) ,其中g (x ) 在点x =a 处连续,求f (x ) 在点x =a 处的导数。 解:f '(a ) =lim x →a f (x ) -f (a ) (x -a ) g (x ) -f (a ) =lim x →a x -a x -a
由已知 f (a ) =(a -a ) g (a ) =0
l i g m x =(g ) a 。( 所以 f '(a ) =x →a
注:g (x ) 连续只能得到f (x ) 连续,得不到f (x ) 可导且g '(x ) 也不一定存
在,故不能直接计算f '(x ) =g (x ) +(x -a ) g '(x ) ,f '(a ) =g (a ) 。
2⎧⎪x 例4 设f (x ) =⎨⎪⎩ax +b , x ≤x 0
, x >x 0 在点x 0可导,求常数a 、b 的值。
解:f (x ) 在x 0可导故f (x ) 在x 0连续。
2=ax 0+b 所以 lim f (x ) =lim f (x ) ,即 x 0x →x 0-x →x 0+
又f (x ) 在x 0可导,故f +(x 0) =f -(x 0) ,即 ''
2f (x ) -f (x 0) ax +b -x 0f +(x 0) =lim +=lim +x →x 0x →x 0x -x 0x -x 0'
=lim +x →x 0
'ax +b -(ax 0+b ) =a x -x 0 2f (x ) -f (x 0) x 2-x 0f -(x 0) =lim -=lim -=lim -(x +x 0) =2x 0 x →x 0x →x 0x -x x →x 0x -x 00
从而 a =2x 0,b =-x 0。
3. 导数与切线方程
例5 求过(1,0) 与曲线y =x 2相切的切线方程。
2) , 斜率k =f '(x 0) =2x 0, 解:设切点为(x 0, x 02
2y -x 故切线方程为0=2x 0(x -x 0) ,
2=2x 0(1-x 0) , 因为(1,0) 在切线上,即-x 0
解得x 0=0或x 0=2,
切点为(0, 0) 或(2, 4) ,斜率k =0或4,
故切线方程为y =0或4x -y -4=0。
注:因点(1,0) 不在曲线y =x 2上,故不能直接计算k =f '(x 0) =2x |x =1=2,从而切线方程为2x -y -2=0。
4. 导数与不等式证明
2a ln b -ln a 例6 设0
) 证明: 令g (x ) =ln x , (x ≥a >0,
因g (x ) 在[a , b ]上连续,在(a , b ) 内可导,由Lagrange 中值
ln b -ln a 11'=(lnx ) =>, 定理,存在ξ∈(a , b ) ,使得|x =ξb -a ξb
12a 2a ln b -ln a >
5. 导数与单调性
例7 设函数f (x ) 在区间[0, a ] 上二次可微,且xf "(x ) -f '(x ) >0,判断f '(x ) 在区间(0, a ) 内的单调性。 x
'x ) xf "(x ) -f (f '(x ) f '(x ) '>0解:设y =,则y =,从而在区间(0, a ) 内的2x x x
单调增加。
例8
求函数f (x ) =(x -
解:f (x ) 在(-∞, +∞) 内连续,除x =-1外处处可导,
且f '(x ) =x 0=得驻点x =1; x =-1为f (x ) 的不可导点,令f '()在(-∞, -1) 内,f '(x ) >0,在(-1, 1) 内,f '(x ) 0,故驻点x =
1是一个极小值点,极小值为f (1)=-。