发散型思维解决圆与直线问题

发散型思维解决圆与直线问题

单位：扬中市第二高级中学 邮编：212220 姓名：刘向阳

摘要：借助例题、解析及变题，试图使学生从“形”和“数”两个角度进行分析。充分利用圆心到直线的距离与半径的大小关系研究直线和圆的位置关系，利用韦达定理解决数和型的联系，圆系方程的研究与思考

关键词： 数型转换 圆系方程 韦达定理 弦心距 半径 相切 圆心

先来看直线和圆

1.直线和圆位置关系的判定方法一是方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系.

①Δ＞0，直线和圆相交. ②Δ=0，直线和圆相切. ③Δ＜0，直线和圆相离.

方法二是几何的观点，即把圆心到直线的距离d和半径R的大小加以比较.

①d＜R，直线和圆相交. ②d=R，直线和圆相切. ③d＞R，直线和圆相离.

2.直线和圆相切，这类问题主要是求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为已知斜率k或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况.

3.直线和圆相交，这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题. 直线和圆的基础知识只是解决问题的基本元素。怎样把这些基本元素紧密的结合起来，去解决更深奥的问题，这才是学习数学的根本目

的；另外，解决一个问题的根本所在是怎样用发散性的思维去处理各条件的因果关系，各条件之间的逻辑关系。执果索因是常用的解题技巧，通过结论寻找已知；执因索果，需要有很强的逻辑思维能力，这种方法更容易被读者所接受。教学过程中应本着因题而论，努力的培养学生探求知识的能力，激发学生的学习兴趣。

下面通过这样的一个例题阐述发散性思维在教学中的重要性;

例题：圆c的半径为3，圆心c在直线2xy0上，且在x轴的下方，x轴被圆c

截得的弦长为（1）求圆c的方程。（2）是否存在

斜率为1的直线l被圆c截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程；不存在说明理由？

分析：（1）第一问是求方程，用一般式，还是标准式来求呢？由已知可以很快发现是截弦的问题，选择标准式用勾股建立起半径与弦长的关系式，问题迎韧而解。

解（1）因为圆心在直线2xy0上，且在x轴的下方

所以可设圆心为(a,2a)，(a0)

r由半弦长，弦心距，半径的勾股定理可得：

2

d(

2

MN2

)

2

（其中d是弦心距,MN是截得的弦长）

即：95

2a

2

，a1,a0a1，圆心(1,2)

2

2

圆方程为(x1)(y2)9 即：x2

y2x4y40

2

分析：（2）的解法可灵活多变，可以研究直线和圆的相交问题转化为圆系方程求待定系数解决问题；可以利用圆圆相交利用公共弦求解；因为问题中的圆过原点可借助于直径所对圆周角900，转会成

直角三角形借助韦达定理实现数与型的转化；还可以利用直角三角形中斜边中线是斜边的一半利用勾股定理解决问题。

下面通过以上的提示分析利用数与型的转化，来探究数学的奥妙：

【1】 解：利用圆系方程：

设l为：xyb0 ，AB的中点为M， 则圆M的方程为：x2即：x

2

2

2

y2x4y4(xyb)0 0

y(2)x(4)yb4

圆过原点

b40①

24

,)在AB:xyb0又M(22



22



4

2

b0

②

由①②得：b1或b4

检验：当b1或b4时，圆心C(1,2)到l的距离均小于半径3，

l的方程为xy10或xy40 所以l与圆c相交于A,B两点。

（注意:检验根能否满足题意。） 【2】 利用公共弦解决问题：

解：设以AB为直径的圆M，圆心M（a,b）

圆

M过原点

圆M的半径rr

2

所以圆M为(xa)2(yb)2即：x2

y2ax2by0①

2

又由于圆C：x2

y2x4y40

2

②

所以①②得(22a)x(42b)y40即AB的方程

AB

的斜率为1

设AB：xym0

又(a,b)在l上



mba

AB：xyba0

所以：

22a42b41

1

ab

解得a1,b0或a

32

,b

52

m

1或m4

l的方程为xy10或xy40

【3】 利用韦达定理解决问题 解：因为l的斜率为1

可设l：yxb交点A(x1,y1),B(x2,y2)

圆

C：x2

y2

2x4y40

x2

(xb)2

4(xb)2x40

即：2x2(22b)xb24b40⑴

x1x2(b1)

韦达定理可得b24b★

x4

1x22

以AB为直径的圆过原点

y1y2x1即：x1x2y1y20

1x2



x1x2b(x1x2)b2

0

把★代入可得：即：b23b40从而b1或b4

b24b4b(b1)b20

经检验：当b1或b4时均能使（1）式中的判别式大于0成立，所以b1，b4都是解。

所以l的方程为xy10或xy40

【4】 利用圆中的勾股定理（半径，半弦长，弦心距）解决问题 解：设以AB为直径的圆M，圆心M（a,b） 因为l的斜率为1 所以在圆C中有kMC



1,

C(1,2)

a1

1，即：ba1★



b2

以AB为直径的圆过原点

AM

BM

OM2

由AM2MC2得：a

2

AC

b

2

9

32

把★代入上式得2a2a30从而a1或a

3

aa12或

b0b5

2



又(a,b)在直线l上



mba

m1或m4

y10或xy40

l的方程为x

通过以上的分析，我们不难看出数形结合是解析几何问题的重要手段，只有在不断的探索，学习中才能找出解决问题的突破口，把知识融入到实践中。教学中更应该注重学生发散性思维的培养，通过教

师的提示，请学生独立解决问题，你就会发现学生们的思维方式各不相同，你就会让他们领略到探究无处不在。

参考文献：1、《新课程教学要求》 2、苏教版高中数学必修②