二次函数与直角三角形

1. （2011年青海西宁）在平面直角坐标中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，

斜靠在两坐标轴上，点C 为（-1,0）. 如图所示，B 点在抛物线图像上，过点B 作BD ⊥

x 轴，垂足为D ，且B 点横坐标-3. （1）求证：△BDC ≌△COA ；（2）求BC 所在直线的函数关系式；（3）抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

2. （2011河南）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线

交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的横坐标为－8．（1）求该抛物线的解析式；（2）点P 是直线AB 上方的抛物线上一动点（不与点A 、B 重合），过点P 作x 轴的垂线，垂足为C ，交直线AB 于点D ，作PE ⊥AB 于点E ．①设△PDE 的周长为，点P 的横坐标为x ，求关于的函数关系式，并求出的最大值；②连接

PA ，以PA 为边作图示一侧的正方形APFG ．随着点P 的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点F 或G 恰好落在y 轴上时，直接写出对应的点P 的坐标．

3. （2011浙江绍兴）抛物线与y 轴交于点A ，顶点为B ，对称轴BC 与x 轴交于点C ．（1）

如图

1，求点A 的坐标及线段OC 的长；（2）点P 在抛物线上，直线PQ//BC交x 轴于点Q ，连结BQ ．①若含45°角的直角三角板如图2所示放置，其中，一个顶点与点C 重合，直角顶点D 在BQ 上，另一个顶点E 在PQ 上，求直线BQ 的函数解析式；②若含30°角的直角三角板一个顶点与点C 重合，直角顶点D 在直线BQ 上，另一个顶点E 在PQ 上，求点P 的坐标．

图1 图2

4. （2012温州）如图，经过原点的抛物线过点P （1,m ）作直线与x 轴的另一个交点为A. 轴于点M ，交抛物线于点B. 记点B 关于抛物线对称轴的对称点为C （B 、C 不重合）. 连结CB,CP. （1）当m=3时，求点

A 的坐标及BC 的长；（2）当m ＞1时，连结CA ，问m 为何值时CA ⊥CP ？（3）过点P 作且PE=PC，问是否存在m ，使得点E 落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的m 的值，并定出相对应的点E 坐标；若不存在，请说明理由.

答案：1. 解：（1）∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠CAO=90°，∴∠BCD=∠CAO ．

∵△ABC 是等腰直角三角形，∴BC=AC．又∵∠BDC=∠COA ，∴△BCD ≌△CAO(AAS) （2）∵C 点坐标为（-1,0），∴BD=CO=1

．∴B 点坐标为（-3,1）． 设直线BC 的解析式为：y=kx+b， 则：

(3)存在． ，解得 ∴直线BC 的解析式是：y=x ．

抛物线解析式为：y==．∴抛物线的对称轴为：． 若以AC 为直角边，点C 为直角顶点，对称轴上有一点P 1，使CP 1 ⊥AC ，

∵BC ⊥AC ，∴点P 1是直线BC 与对称轴直线的交点．

，解得 ∴点P 1为（，）．

若以AC 为直角边，点A 为直角顶点，对称轴上有一点P 2，使AP 2⊥AC ，则过点A 作AP 2∥BC ，交对称轴直线于点P 2．∵CD=AO，∴点A(0,2)，又∵直线BC 的斜率为：k=,

∴直线AP 2的解析式为：y=x+2．，解得∴点P 2为（，） ∴点P 的坐标分别为：（，）、（，）．

2. 解：（1）对于

y=x-，当y=0，x=2．当x=-8时，y=-．

∴A 点坐标为（2，0），B 点坐标为(-8，-) ．由抛物线y=-x 2+bx+c经过A 、B 两点， 得 解得b=，c=．∴y=-x 2x+．

（2）①设直线

y=x-与y 轴交于点M

，

当x=0时，y=-．∴OM=．∵点A 的坐标为（2，0），∴OA=2． ∴AM==．∵OM ：OA ：AM=3：4：5． 由题意得，∠PDE=∠OMA ，∠AOM=∠PED=90°，∴△AOM ∽△PED ．

∴DE ：PE ：PD=3：4：5．∵点P 是直线AB 上方的抛物线上一动点，

∵PD ⊥x 轴，∴P 、D 两点横坐标相同，

∴PD=yP -y D

=x 2x+-

（x-）=x 2x+4 ∴l=（x 2x+4）=x 2x+．∴l=(x+3)2+15．∴x=-3时，l 最大=15． ②满足题意的点

P 有三个，分别是P 1(，2) ，P 2(，2) ，P 3(，

) ．

3. 解：（1）把x=0代入抛物线得：y=，∴点A(0，) 抛物线对称轴为：x=1，∴

OC=1．

（2）①点B 为（1,3），分别过点D 作DM ⊥x 轴于M ，DN ⊥PQ 于点N ．

∵PQ ∥BC ，∴∠DMQ=∠DNQ=∠MQN=90°，∴DMQN 为矩形．∵△CDE 是等腰直角三角形，∴DC=DE,∠

CDM=∠EDN ，又∵∠CMD=∠END, ∴△CDM ≌△EDN, ∴DM=DN, ∴DMQN

是正方形，∠BQC=45°．∴CQ=CB=3，Q 为（4,0）设直线BQ 为：y=kx+b,则：

，解得．∴直线BQ 的解析式为：y=-x+4．

②当点P 在对称轴右侧时，如图：

过点D 作DM ⊥x 轴于M ，DN ⊥PQ 于N ，∵∠CDE=90°，∴∠CDM=∠EDN ．

∴△CDM ∽△EDN ．当∠DCE=30°时，．∵DN=MQ，∴． ∵△DMQ ∽△BCQ ，∴，BC=3，∴CQ=．∴Q 点为（，0），P 1点为（

，）．当∠DCE=60°时，，CQ=．Q 点为（1+，0），P 2点为（1+

，）．当点P 在对称轴左边时，由对称性知：P 3点为（，），P 4点为（1－

，）．综上所述：P 1（，），P 2（1+，），P 3（，），

P 4（1－，）． 4. 解：（1）当m=3时，y=-x2+6x．令y=0得：-x

2+6x=0，∴x 1=0，x 2=6，∴A （6，0）． 当x=1时，y=5,∴B （1，5）∵抛物线y=-x2+6x的对称轴为直线x=3,B，C 关于对称轴x=3对称, ∴BC=4．

（2）过点C 作CH ⊥x 轴于点H （如图1）

由已知得∠ACP=∠BCH=90°∴∠ACH=∠PCB 又∵∠AHC=∠PBC=90°∴△ACH ∽△PCB ， ∴，∵抛物线y=-x2+2mx的对称轴为直线x=m，其中m ＞1，B ，C 关于对称轴对称，∴BC=2（m-1），∵B （1，2m-1），P （1，m ），∴BP=m-1，又∵A （2m ，0），C （2m-1，2m-1），∴H （2m-1，0）．∴AH=1，CH=2m-1，∴，∴m=． （3）∵B ，C 不重合，∴m≠1，（I ）当m ＞1时，BC=2（m-1），PM=m，BP=m-1，

（i ）若点E 在x 轴上（如图1），∵∠CPE=90°，∴∠MPE+∠BPC=∠MPE+∠MEP=90°， ∴∠BPC=∠MEP ．∵PC=EP，∠CBP=∠PME=90°，∴△BPC ≌△MEP ，∴BC=PM， ∴2（m-1）=m，∴m=2，ME=BP=m-1=1,此时点E 的坐标是（2，0）；

（ii ）若点E 在y 轴上（如图2），过点P 作PN ⊥y 轴于点N ，易证△BPC ≌△NPE ，

∴BP=NP=OM=1，∴m-1=1，∴m=2，NE=BC=2(m-1)=2,ON=m=2,OE=4，

此时点E 的坐标是（0，4）；

（II ）当0＜m ＜1时，

BC=2（1-m ），PM=m，BP=1-m，（i ）若点E 在x 轴上（如图3）， 易证△

BPC ≌△MEP ，∴BC=PM，∴2（1-m ）=m，∴m=，ME=BP=1-m=, 此时点E 的坐标是（，0）； （ii ）若点E 在y 轴上（如图4），过点P 作PN ⊥y 轴于点N ，易证△BPC ≌△NPE ， ∴BP=NP=OM=1，∴1-m=1，∴m=0（舍去）， 综上所述，当m=2时，点E 的坐标是（0，2）或（0，4），当m=

0）．

时，点E 的坐标是（，