全等三角形与轴对称图形教案

1.3 探索三角形全等的条件（6）

知识与技能

1、掌握“边边边”定理，且能灵活运用此定理判定两个三角形全等．理解三角形的稳定性和它在生产、生活中的应用。

2. 在交流中，感受数学思考的合理性和严密性. 数学思考

1．渗透辨证唯物注意思想。 问题解决

教会学生如何利用尺规来完成“已知三边画三角形”，如何添加辅助线构造全等三角形． 情感态度与价值观

培养学生观察、操作、分析、综合、抽象、概括和发散思维的能力；感悟转化的数学思想方法.

重点: 探究三角形全等的方法及运用“边边边”条件证明两个三角形全等． 难点: “边边边”定理的应用和转化意识的形成及辅助线的添加．

教学突破：掌握“边边边”定理，且能灵活运用此定理判定两个三角形全等．理解三角形的稳定性和它在生产、生活中的应用；教会学生如何利用尺规来完成“已知三边画三角形”，如何添加辅助线构造全等三角形． 【教学过程】

二次备课

一、问题情境

小明家的衣橱上镶有两块全等的三角形玻璃装饰物，其中一块被打碎了，妈妈让小明到玻璃店配一块回来，小明该怎么办呢？

学生思考并回答，可以根据前面所学过的“SAS ”“ASA ”“AAS ”判定来得到两个三角形全等，老师提出“能否利用三角形三边对应相等来判断两个三角形全等呢”，让学生思考并引出课题．

二、自主探究

实践探索一：

已知三条线段a 、b 、c ，以这三条线段为边画一个三角形，并把你画好的三角形剪下，和其他同学进行比较，看剪下的三角形是否能完全重合．

通过以上的操作你发现了什么？

学生模仿画图，并将画好的三角形剪下与其他同学进行比较，得出它们是全等的，并概括出“三边分别相等的两个三角形全等”的结论．

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二次备课

实践探索二： 教师出示三角形、四边形木架，让学生动手拉动木架的两边．教师提出问题： （1）演示实验说明了什么？

教师总结：三角形的这个性质叫做三角形的稳定性． （2）你能举出生活中利用三角形稳定性的例子吗？

学生思考并回答，如果一个三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定，并举例说明三角形的稳定性在日常生产、生活和工程建筑等方面的应用．

三、知识应用

1．下列图形中，哪两个三角形全等？ 6

74

2．如图，C 点是线段BF 的中点，AB

＝

DF ，AC ＝DC ．△ABC 和△DFC 全等吗？

变式1

若将上题中的△DFC 向左移动（如图），若AB ＝DF ，AC ＝DE ，BE ＝CF ，问：△ABC ≌△DFE 吗 ？

变式2

若继续将上题中的△DFC 向左移动（如图），若AB ＝DC ，AC ＝DB ，问：△ABC ≌ △DCB 吗 ？

3．已知：如图, 在△ABC 中，AB ＝AC , 求证：∠B ＝∠C ．

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学生独立分析，学会运用“SSS ”判断三角形全等，并加强对“SSS ”条件运用的熟练程度．

学生独立分析，老师板书，写出证明过程．

变式1：学生在上题的基础上很容易将条件BE ＝CF 转化为BC ＝EF ，要求学生在课堂作业纸上完成，并请一名学生上黑板板演并关注证明过程是否规范．

二次备课

通过变形让学生掌握基本图形，为后面解题作铺垫．

这题需要学生通过添加辅助线解决问题，教师引导学生得出添加辅助线常用的方法．

四、尝试练习

1．已知：如图，AB ＝CD ，AD ＝CB ，求证：∠B ＝∠D ．

2．如图，AC 、BD 相交于点O ，且AB ＝DC ，AC ＝DB ．求证：∠A ＝∠D ．

学生独立分析并完成，教师点评．教师应关注不同层次的学生对知识的理解程度，有针对性地给予指导，对学生在练习中存在的问题，有针对性地讲解．

五、课堂小结

通过这节课的学习与探索，你有哪些收获？

学生自我小结，相互补充，教师点评．

六、课后作业

课本P24练习第1、2、3题．

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1.3 探索三角形全等的条件（7）

二次备课

知识与技能

1．会作一个角的角平分线，能证明作法的正确性，并在经历“观察——操作——证明”的活动过程中养成善于分析、乐于探究和理性思考的良好习惯。

2. 会过一点作已知直线的垂线，能证明作法的正确性，体会与“作一个角的角平分线”作法的联系，在比较中探究作法． 数学思考

渗透辨证唯物注意思想。 问题解决

能在不同的作图题中感悟相同的知识背景，在同一问题中探求不同的作法，从而进一步把握知识本质，逐步形成抽象概括能力和发散思维． 情感态度与价值观

培养学生观察、操作、分析、综合、抽象、概括和发散思维的能力；感悟转化的数学思想方法.

重点: 会“作已知角的角平分线”和“过一点作已知直线的垂线”． 难点: 几何图形信息转化为尺规操作．

教学突破：会作一个角的角平分线，能证明作法的正确性，并在经历“观察——操作——证明”的活动过程中养成善于分析、乐于探究和理性思考的良好习惯．会过一点作已知直线的垂线，能证明作法的正确性，体会与“作一个角的角平分线”作法的联系，在比较中探究作法．能在不同的作图题中感悟相同的知识背景，在同一问题中探求不同的作法，从而进一步把握知识本质，逐步形成抽象概括能力和发散思维． 【教学过程】

一）情境创设

工人师傅常常利用角尺平分一个角．如图（1），在∠AOB 的两边OA 、OB 上分别任取OC ＝OD ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C 、D 重合，这时过角尺顶点M 的射线OM 就是∠AOB 的平分线． 请同学们说明这样画角平分线的道理．

提取信息，利用“SSS ” 说明画角平分线的道理．

（二）探索活动一

1．说 请按序说出木工师傅的“操作”过程． ．．2．作与写 用直尺和圆规在图（2）中按序将．．木工师傅的“操作”过程作出来，并写出作法．

3．证 请证明你的作法是正确的． 4．用 用直尺和圆规完成以下作图： （1）在图（3）中把∠MON 四等分．

图（2）

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M

O N 图（3）

（2）在图（4）中作出平角∠AOB 的平分线．

说明：过直线上一点作这条直线的垂线就是作以这点为顶点的平角的角平分线． 图（4）

积极思考，回答问题，整理成下列形式：

证明：在△MOC 和△MOD 中，

OC ＝OD ， OM ＝OM ， CM ＝DM ，

∴△MOC ≌△MOD （SSS ）， ∴∠COM ＝∠DOM ， 即OM 平分∠AOB ．

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二次备课

（三）探索活动二

1．观察思考．在图（2）作图的基础上，作过C 、D 的直线l （如图（5）），观察图中射线OM 与直线l 的位置关系，并说明理由．

二次备课

A

l

O

B

图（5）

2．问题变式．

你能用圆规和直尺过已知直线外一点作这条直线的垂线吗？（如图（6），经过直线AB 外一点P 作AB 的垂线PQ ）．

P

A B

图（6）

3．比较分析．

引导学生比较新旧两个问题之间的联系，寻求解决新问题的策略． 4．作图与证明． （1）作法

步骤1 以点P 为圆心，适当的长为半径作弧，使它与AB 交于C 、D ．

1步骤2 分别以点C 、D 为圆心，大于CD

2的长为半径作弧，两弧交于点Q ．

B

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（图7）

步骤3 作直线PQ ．

∴直线PQ 就是经过直线AB 外一点P 的AB 的垂线（如图（7））． （2）证明略． 5．归纳总结．

根据活动一中的4（2）与活动二可知：

经过一点可用直尺和与圆规作一条直线与已知直线垂直．

先独立思考，再互相讨论，踊跃回答： 1．OM ⊥l ，说明理由略． 2．（1）比较

二次备课

（2）分析

作图的关键是在直线AB 上确定C 、D 两点，使得PC ＝PD ；确定点Q ，使得CQ ＝DQ ．

3．学生尝试作图（如图（7））并书写作法： （1）作图； （2）书写作法； （3）证明．

（四）知识运用

用直尺和圆规作一个直角三角形，使它的两条直角边分别等于a 、b （如图（8））．

1．学生尝试作图； 2．交流作法；

3．总结作两条相互垂直直线的方法．

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a b 图（8）

二次备课

作图痕迹，不写作法和证明过程）．

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图（10）

2．查询资料：能利用直尺和圆规将一个角三等分吗？

1．作业1由学生独立完成；

2．作业2根据学生的实际情况完成，搜集材料后进行全班交流．

二次备课

1.3 探索三角形全等的条件（8）

知识与技能

1．利用尺规作图，掌握已知斜边、直角边画直角三角形的画图方法。 2. 经历操作、实验、观察、归纳，证明斜边、直角边（HL ）定理．

3. 运用HL 定理及其他三角形全等的判定方法进行证明和计算，发展演绎推理的能力． 数学思考

渗透辨证唯物注意思想。 问题解决

能在不同的作图题中感悟相同的知识背景，在同一问题中探求不同的作法，从而进一步把握知识本质，逐步形成抽象概括能力和发散思维． 情感态度与价值观

培养学生观察、操作、分析、综合、抽象、概括和发散思维的能力；感悟转化的数学思想方法.

重点: “斜边、直角边”定理的证明和应用． 难点: “斜边、直角边”定理的证明．

教学突破：利用尺规作图，掌握已知斜边、直角边画直角三角形的画图方法。经历操作、实验、观察、归纳，证明斜边、直角边（HL ）定理．运用HL 定理及其他三角形全等的判定方法进行证明和计算，发展演绎推理的能力。 【教学过程】

一、课前热身

1．判定两个三角形全等的方法： 、 、 ．

2．如图，在Rt △ABC 中，直角边是 、 ， 斜边是___ _．

3．如何将一个等腰三角形变成两个全等的直角三角形？ 4．如图，在Rt △ABC 、Rt △DEF 中，∠B ＝∠E ＝90°， （1）若∠A ＝∠D ，AB ＝DE ，

则△ABC ≌△DEF （ ）．

（2）若∠A ＝∠D ，BC ＝EF ，

则△ABC ≌△DEF （ ）．

（3）若AB ＝DE ，BC ＝EF ，则△ABC ≌△DEF （ ）．

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上面的每一小题，都只添加了两个条件，就使两个直角三角形全等，你还能添加哪两个不同的条件使这两个直角三角形全等？

二次备课

二、展示•探究

1．讨论、展示．

对于两个直角三角形来说除直角相等外，每个三角形的边与角还有五个元素：两个锐角和三条边，判定两个直角三角形全等，还需要几个条件？可以是哪些条件？

直角三角形是特殊的三角形，判定两个三角形全等，有没有特殊的方法？你有怎样的猜想？

2．探索活动一． （1）交流、操作．

用直尺和圆规作Rt △ABC ，使∠C ＝90°，CB ＝a ，AB ＝c ．

（2）思考、交流．

①△ABC 就是所求作的三角形吗？

②你作的直角三角形和其他同学所作的三角形能完全重合吗？ ③交流之后，你发现了什么？

④想一想，在画图时是根据什么条件？它们重合的条件是什么？ （3）讨论、证明．

在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠C ＝∠C ′＝90°， AB ＝A ′B ′，AC ＝A ′C ′．

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如何证明△ABC ≌△A ′B ′C ′．

你有何经验？用前面的判定两个三角形全等的基本事实，还缺少什么条件？怎样构造？

（4）归纳、整理．

请你用文字语言归纳你证明的结论？

斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等． 用几何语言表述你的结论．

4．探索活动三．

已知：如图，在△ABC 和△DEF 中，AP 、DQ 分别是高，并且AB ＝DE ，AP ＝DQ ，∠BAC ＝∠EDF ，图中有全等三角形吗？若有，请写出所有的全等三角形并写出判断过程；若没有，请说明理由．

二次备课

E Q

F

变式1 若把∠BAC ＝∠EDF ，改为BC ＝EF ，△ABC 与△DEF 全等吗？请说明思路．

变式2 若把∠BAC ＝∠EDF ，改为AC ＝DF ，△ABC 与△DEF 全等吗？请说明思路．

变式3 请你把原题中的∠BAC ＝∠EDF 改为另一个适当条件，使△ABC 与△DEF 仍能全等．试证明．

变式4 如果将原题中的如图二字去掉，对结果是否有影响？

三、检测·反馈

1．已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是高，则

______≌______．依据是______，BD ＝______，∠BAD ＝______．

B

B

E

A

D

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（第1题） （第2题） （第3题）

二次备课

2．如图，∠C ＝∠D ＝90°，请你再添加一个条件，使△ABD ≌△BAC ，并在添加的条件后的（ ）内写出判定全等的依据． （1） _______（ ） （2） （ ） （3） （ ） （4） （ ）

3．如图，AB ＝AE ，BC ＝ED ，∠B ＝∠E ，AF ⊥CD ，F 为垂足，求证：CF ＝DF ．

四、体会·交流

这节课你有什么收获，还有什么疑惑？与你的同伴进行交流． 写好个人成长数学日记．

五、课后作业 略．

第11章 图形的全等（小结与思考）

知识与技能

1．回顾、整理本章所学知识内容和作图方法，构建知识结构框架，使所学知识系统化。 2、熟悉掌握三角形全等的条件，学会多角度、多方位的观察图形和思考问题，会进行逆向思维，能解决开放性问题。 数学思考

渗透辨证唯物注意思想。 问题解决

能在不同的作图题中感悟相同的知识背景，在同一问题中探求不同的作法，从而进一步把握知识本质，逐步形成抽象概括能力和发散思维． 情感态度与价值观

培养学生观察、操作、分析、综合、抽象、概括和发散思维的能力；感悟转化的数学思想方法.

重点: “进一步学习有条理的思考、清晰地表达自己的意见，能用“因为„„根据„„所以„„”的形式来说理。

难点: 进一步感受全等三角形与生活的密切联系，体会数学的价值，增强用数学的意识。 教学突破：回顾、整理本章所学知识内容和作图方法，构建知识结构框架，使所学知识系统化。熟悉掌握三角形全等的条件，学会多角度、多方位的观察图形和思考问题，会进行逆向思维，能解决开放性问题。

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【教学过程】

1、 通过投影片展示引导学生再现本章重要知识，特别是对两个三角形

全等的条件进行交流，在此基础上，鼓励学生运用自己的语言叙述自己对知识的

2、

动手画一画，你有什么发现？

实践1

师：请同学们在纸上各画一个三个内角分别为400，600，800的锐角三角形，

画好后，同桌之间比比看，你会发现什么？

生：不一样大

师：由此看来，判定两个三角形全等仅有角等，行吗？

生：不行，判定两个三角形全等至少有一条边对应相等（如：SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，HL 中都至少有一条边相等）（板书1） 师：这位同学真棒，回答很好，谢谢你，请坐！

那么，是不是只要有“边相等”，就一定能判定两个三角形全等呢？ 下面再请同学们在纸上画两边长分别为4cm 和6cm ，且长度为4cm 的边所对应的角为300的三角形，你发现什么？由此你发现了什么？（学生操作、思考片刻）

生：SSA 不能判定两个三角形全等（如图必要时教师辅助投影演示）

H

G

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二次备课

师：咱班的同学真聪明，接下来，老师再考考你，请大家先做学案第（1）到第（3）小题。

二次备课

A

D

3、挖掘“隐含条件”判全等

（1）如图1，AB=CD，AC=BD，则与∠ACB 相等的角是________，为什么？

B

图1

C

（2）如图2，点D 在AB 上，点E 在AC 上，CD 与BE 相交于点O ，且AD=AE，AB=AC。若∠B=20，CD=5cm，则∠C=______，BE=_______.

（3）如图3，若OB=OD，∠A=∠C ，若AB=3cm,则CD=______。 师：由此，当证明全等的已知条件不足时，此时我们应仔细观察所给图形，我们就会发现什么？

生：图中会隐含某些公共边、公共角、对顶角相等等条件。 （板书2）仔细观察图形，挖掘“隐含条件”（公共边、公共角、对顶角等）

师：我们继续看学案上第（4）到第（6）小题。 4、熟练转化“间接条件”判全等

（4）如图4，AE=CF，∠AFD=∠CEB ，DF=BE，△AFD 与△CEB 全等吗？为什么？

A

F

B D

C

B

D C A

B

C

A

E

图2

D

图3

B

E C

A

B

A

D

图5

C

图4

图6

（5）如图5，∠CAE=∠BAD ，∠B=∠D ，AC=AE，△ABC 与△ADE 全等吗？为什么？

（6） “三月三，放风筝。”如图6是小东同学自己动手制作的风筝，他根据AB=AD，BC=DC，不用度量，就知道∠ABC=∠ADC 。请你用所学的知识给

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E

予说明。

师：由此，当所给条件不是直接条件时，此时我们需要做何工作？ 生：将“间接条件”转化为“直接条件”

（板书3）熟练转化“间接条件”（边的和差、角的和差等） 5、体验开放题-----感受条件开放题

（7）填空：如图（7），请你选择合适的条件填入空格中，使两个三角形全等。

①因为DF=DF，________,_______, 根据_______，可知△DEF ≌△DGF 。

B

D

E

C

二次备课

图7

②因为DF=DF，________,_______,根据_______，可知△DEF ≌△DGF 。 ③因为DF=DF，________,_______,根据_______，可知△DEF ≌△DGF 。 ④因为DF=DF，________,_______,根据_______，可知△DEF ≌△DGF 。 ------感受结论开放题

（8）如图（8），△ABE ≌△ACD ，由此你能得到什么结论？（越多越好） 6、探究与合作

（9）两个大小不同的等边三角形如图9（1）所示位置摆放（使点B 、O 、D 在同一

A

图8

B

O D B

O

B

O

C 图9（3）

C 图9（4

图9（1） 图9（2）

条直线上），连结AD 、BC 。

Step1：AD 与BC 有何关系吗？说明你的理由。

Step2：说明图9（1）的哪一个三角形可以通过怎样的变换得到另一个三角形。

Step3：将△COD 绕O 点逆时针旋转，使OC 落在OA 上，如图9（2），“Step1”的结论仍然成立吗？试加以说明。

Step4：继续将△COD 绕O 点逆时针旋转，使OC 落在△AOB 的内部，如图9（3），“Step1”的结论仍然成立吗？

Step5：在将△COD 绕O 点逆时针旋转的过场中，当A 、D 、C 三点共线时，如图9（4），你又会有何新的发现，与同伴交流。

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7、操作与创新

师：有道是“学好几何，必过三关：语言关，符号关，作图关”，可见，准

二次备课

确作图是学好几何的基础，而准确画出一个（板书4）角的角平分线（作法新探）是我们接触到的几何基本作图之一。从教材上，同学们知道了“工人师傅利用角尺”和“尺规”作一个角的平分线。作为我们同学，没有“角尺”，可能还有一大部分同学没有圆规。此时，较准确地画出一个角的平分线可能就有困难了。难道我们不用“角尺”不用“圆规”就没有办法作一个角的平分线了吗？请同学们拿出你现有的作图工具，有刻度尺吗？（三角板也行）我们看学案第（10）与第（11）题：

中画） （10）仅用刻度尺，能否画出∠AOB 的平分线（若能，请在图A

（11）仅用直尺（没有刻度），能否画出∠AOB 的平分线（若能，请在图11中画）

8、数学与生活

（12）举例说明（板书5）全等三角形与生活的密切联系，与同学交流

9、复习小结

（1） 学会用自己的方法梳理本章知识，使所学知识系统化。

（2） 会解决条件、结论开放性问题。 （3） 角平分线的画法

图10

A

B

（4） 能用“因为„„根据„„所以”的形式，有条理地思考、清晰地表达自己的意见

10、作业：P152 15，16，17

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图11

2.1 轴对称与轴对称图形

知识与技能

1．在丰富的现实情境中，经历观察生活中的轴对称图案，探索轴对称及轴对称图形的共同特点等活动，进一步发展空间观点．

2. 通过丰富的生活实例认识轴对称，能够识别简单的轴对称图形及轴对称． 数学思考

渗透辨证唯物注意思想。 问题解决

能在不同的作图题中感悟相同的知识背景，在同一问题中探求不同的作法，从而进一步把握知识本质，逐步形成抽象概括能力和发散思维． 情感态度与价值观

培养学生观察、操作、分析、综合、抽象、概括和发散思维的能力；感悟转化的数学思想方法.

重点: 了解轴对称图形和轴对称的概念，并能简单识别、体会轴对称在现实生活中的广泛应用和它的丰富文化价值．

难点: 能正确地区分轴对称图形和轴对称，进一步发展空间观念．

教学突破：了解轴对称图形和轴对称的概念，并能简单识别、体会轴对称在现实生活中的广泛应用和它的丰富文化价值．能正确地区分轴对称图形和轴对称，进一步发展空间观念． 【教学过程】

二次备课

创设情境

教师先展示纸折的飞机、剪纸作品（蝴蝶、五角星等）、照片、实物，并用多媒体展示各种漂亮的轴对称图案等，然后让学生交流、展示各自收集的相关图片．

教师应关注以下几点：

（1）学生参与活动是否积极主动，全神贯注； （2）学生自带的图片是否具有代表性； （3）审美意识和情感是否在感知中有所增强；

（4）鼓励学生举出符合对称特征的物体：如风筝、知了、蜻蜓等．

探索活动

活动一：折纸印墨迹．

在纸的一侧滴一滴墨水后，对折，压平．

问题 1：你发现折痕两边的墨迹形状一样吗？为什么？ 问题 2：两边墨迹的位置与折痕有什么关系？

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问题3：联系实际，你能举出一些生活中图形成轴对称的实例吗？

二次备课

学生动手、操作、观察、思考．组内同学讨论、交流，并尝试着表述这些图形的共同特征．

教师归纳学生的表述，引导出轴对称图形及对称轴的概念，并板书概念． 学生举例，独立完成练习

活动二：剪图案．

把一张长方形纸片对折，从折叠处剪出一个图案，然后再打开（学生自由发挥）．

问题1：按照老师所示的方法剪纸，你得到了什么图案？它是轴对称图形吗？说出对称轴．

问题2：联系实际，你能举出一个轴对称图形的实例吗？ 问题3：你能正确地完成课本P41页第1题的练习吗？

归纳总结：

问题 1： 根据课本图形2-1和2-4进行比较，轴对称与轴对称图形之间有什么区别吗？

问题 2： 如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称吗？如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，它是一个轴对称图形吗？

学生根据两组图比较观察、思考、讨论、交流，教师引导学生得出其区别．

教师提出问题，学生思考，讨论交流，进一步明确轴对称与轴对称图形的区别和联系．

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归纳总结：

问题 1： 根据课本图形2-1和2-4进行比较，轴对称与轴对称图形之间有什么区别吗？

问题 2： 如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴二次备课

对称吗？如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，它是一个轴对称图形吗？

学生根据两组图比较观察、思考、讨论、交流，教师引导学生得出其区别．

教师提出问题，学生思考，讨论交流，进一步明确轴对称与轴对称图形的区别和联系．

课堂小结： 这节课你学到了什么？

课后作业：

1．课本P42习题2.1第1～4题．

2．（选做题）你能用2张正方形的纸，剪出下面的2个图案吗？

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2.2 轴对称的性质(1)

二次备课

知识与技能 1．知道线段垂直平分线的概念，知道成轴对称的两个图形全等，且成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分．

2. 经历探索轴对称性质的活动过程，积累数学活动经验，进一步发展空间观念和有条理的思考和表达能力． 数学思考

渗透辨证唯物注意思想。 问题解决

能在不同的作图题中感悟相同的知识背景，在同一问题中探求不同的作法，从而进一步把握知识本质，逐步形成抽象概括能力和发散思维． 情感态度与价值观

培养学生观察、操作、分析、综合、抽象、概括和发散思维的能力；感悟转化的数学思想方法.

重点: 理解“成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分，对应线段相等、对应角相等”．

难点: 轴对称性质的运用．

教学突破：理解“成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分，对应线段相等、对应角相等”， 轴对称性质的运用． 【教学过程】

开场白

同学们，你们喜欢照镜子吗？

你知道“你与镜中的你”有什么关系吗？

引入

一些图形也想照镜子看看自己美不美，一位数学老师就让同学们记录下圆、正方形、长方形、平行四边形照镜子的状况，你对这四位的记录有什么意见吗（投影图片）？

同学们的看法到底对不对？通过这一节课的学习我们就有答案了（对学生的回答不予评价，探索完轴对称的性质后，让学生自评或互评）．

积极思考，回答问题.

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（ 1） （2）

（活动说明：最好用透明纸，这样更方便观察现象）．

实践探索一

1．指导学生完成下边的活动（投影要求）

． 活动一：

如图所示，把一张纸折叠后，用针扎一个孔；再把纸展开，两针孔分别记为点A 、点A '，折痕记为l ；连接AA '，AA '与l 相交于点O ．

2．探究：你有什么发现？

（1）通过活动一的操作，你小组探索的结果是什么？你们是怎样发现的？给直线l 起个名字．

（2）线段的垂直平分线需满足几个条件？ 你觉得线段的垂直平分线我们怎样定义？ 线段的垂直平分线的特征是什么？

1．小组活动．

取一张长方形的纸片，按下面步骤做一做． 活动一：

如图所示，把一张纸折叠后，用针扎一个孔；再把纸展开，两针孔分别记为点A 、点A '，折痕记为l ；连接AA '，AA '与l 相交于点O ．

2．（1）小组交流总结：对称轴直线l 垂直两点连线AA '； OA ＝OA '（即对称轴直线l 平分AA '）．

由以上两点得，直线l 叫做AA ′的垂直平分线．

（2）小组合作进行操作、探究．小组讨论，代表回答， 形成下面的认识：

①线段的垂直平分线概念：垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．

②线段垂直平分线的两个特征：平分、垂直．

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二次备课

二次备课

实践探索二

指导学生完成活动二（投影要求）． 仿照上面的操作，在对折后的纸上再扎一个孔，把纸展开后记这两个针孔为点B 、点B '，连接AB 、A 'B '、BB '．你有什么新的发现？

活动二．

仿照上面的操作，完成：

在对折后的纸上再扎一个孔，把纸展开后记这两个针孔为点B 、点B '，连接AB 、A 'B '、BB '．

小组交流得到：

（1）线段BB '被l 垂直平分． （2）线段AB 与A 'B '相等．

（3）连接AB 、A 'B '，线段AB 与A 'B '关于直线l 对称．

实践探索三（投影要求）

如图，并仿照上面进行操作，扎孔、展开、标记、连线． 你又有什么发现？ 引导学生观察，形成结论．

活动三．

如图，在纸上再画一点C ，找出点C 关于直线l 对称的点C '；仿照活动二探究的结果，小组合作通过观察、讨论，形成结论．能用自己的语言有条理地得出下列结论．

1．如果两点关于直线l 对称，那么得出对应点的连线与对称轴的关系； 2．如果两条线段关于直线l 对称，那么得出对应线段与对称轴的关系； 3．如果两个图形关于直线l 对称，那么得出成轴对称的两个图形之间的关系以及它们与对称轴的关系．

即轴对称的性质：

1．成轴对称的两个图形全等．

2．成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分．

返回情景导入题（投影图片）

开始同学们的回答对不对？先让学生自评，再由他评．

学生自评后，有意见的学生提出反驳．参考答案：（1）、（4）不符合成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分；（2）不符合成轴对称的两个图形全等．所以（1）、（2）、（4）都画错了；（3）符合轴对称的性质，所以（3）是正确的．

投影例题

例1 小明取一张纸，用小针在纸上扎出“4”，然后将纸放在镜子前．

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（1）你能画出镜子所在直线l 的位置吗？

（2）图中点A 、B 、C 、D 的在镜中的对应点分别是 ，线段AC 、AB 的在镜中的对应线段分别是 ，CD ＝ ， ∠CAB ＝ ，∠ACD ＝ .

（3）连接AE 、BG ， AE 与BG 平行吗？为什么？

（4）AE 与BG 平行，能说明轴对称图形对称点的连线一定互相平行吗？ （5）延长线段CA 、FE ，连接CB 、FG 并延长，作直线AB 、EG ，你有什么发现吗？

学生独立思考、独立完成、有条理的表述．

（1）找一组对应点，画出它的垂直平分线，或对应点连线的中点所在的直线．

（2）找出对应点、对应线段、对应角．

（3）平行．因为 A 和E ，B 和G 是关于直线 l 的对称点， 所以 l ⊥AE ，l ⊥BG ．所以 AE ∥BG ．

（4）不一定．如图，对称点的连线DH 、CF 就不互相平行，而是在同一条直线上，从而说明轴对称图形对称点的连线互相平行或在同一条直线上．

（5）轴对称图形中的对称线段所在直线的交点在对称轴上或对称线段所在

二次备课

总结

轴对称在我们的生活中无处不在，通过这节课的学习，你有什么感受呢，说出来告诉大家．

讨论后共同小结、交流本节课的收获． 1．线段垂直平分线的概念． 2．轴对称的性质．

课后作业

课本P44练习1、2

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2.2 轴对称的性质(2)

二次备课

知识与技能

1．会画已知点关于已知直线l 的对称点，会画已知线段的对称线段，会画已知三角形的对称三角形．让学生先从“做数学”中体会“获取知识”的快乐．

2．让学生们感受分类讨论的思想，体会方法的多样性和知识的丰富性． 数学思考

渗透辨证唯物注意思想。 问题解决

能在不同的作图题中感悟相同的知识背景，在同一问题中探求不同的作法，从而进一步把握知识本质，逐步形成抽象概括能力和发散思维． 情感态度与价值观

培养学生观察、操作、分析、综合、抽象、概括和发散思维的能力；感悟转化的数学思想方法.

重点: 作已知图形的轴对称图形的一般步骤．

难点: 怎样确定已知图形的关键点并根据这些点作出对称图形．

教学突破：作已知图形的轴对称图形的一般步骤．怎样确定已知图形的关键点并根据这些点作出对称图形． 【教学过程】

创设情境，感悟新知

思考：如图，A 、B 、C 3点都在方格纸的格

点位置上．请你再找一个格点D ，使图中的4点组成一个轴对称图形．

本题尽量让学生独立思考，教师不要提醒．

对于学生的每一种方法教师都要给予及时的评点，并充分鼓励．

小组讨论，学生都能找到1～2个符合条件的点，但找不全，让学生在合作中学习，发挥小组的集体力量．

实践探索一

以其中的个别对应点为例，去掉网格线，你能找出点C 关于直线AB 的对应点么？

点A 关于直线AB 的对应点有吗？

（分类讨论点在线上与点在线外作对应点的方法）． AC 关于直线AB 的对称图形呢？

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积极思考，回答问题．

问题1 去掉网格线，你能说说如何找出点C 关于直线AB 的对应点么？并说明其道理．

问题2 点A 关于直线AB 的对应点有么？ 问题3 AC 关于直线AB 的对称图形呢？

实践探索二

你能画出线段AB 关于直线l 的对称图形么？

如果直线l 外有线段AB ，那么怎样画出线段AB 关于直线l 的对称线段A 'B '？

要让学生不仅要会画，而且还要会说画法，

能根据轴对称的定义说理，并能通过折纸来验证，从而为后面探求线段的轴对称性作铺垫．

实践探索三

画出△ABC 关于直线MN 的对称图形．

M

二次备课

问题2 怎样画已知线段关于某直线对称的线段？怎样画已知三角形关于某直线对称的三角形？说说你的想法和根据，展开讨论，踊跃回答，并动手去做一做．

在操作过程中主要让学生作线段关于某直线的对称图形转化为找关键点关于该直线的对称点．

如何找关键点呢？

如果是四边形呢？多边形呢？

实践探索四

在图中，四边形ABCD 与四边形EFGH 关于直线l 对称．连接AC 、BD ．设它们相交于点P ．怎样找出点P 关于l 的对称点Q ？

提示：成轴对称的两个图形的对应点也成轴对称．

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二次备课

问题1 在图2-11中连接AC 、BD ，画出它们的交点P ，你能用折纸、扎孔的方法画出点P 关于直线l 的对称的点Q 吗？

问题2 你能用直尺和三角尺，根据“画点A 关于直线l 的对称的点A ”的方法画出点P 关于直线l 的对称的点Q ．

问题3 为什么EG 和FH 的交点就是与点P 对称的点Q ？

课堂小结，内化新知

请同学们用自己的语言再来复述一下画轴对称图形的方法．

讨论后共同小结画轴对称图形的方法．

（1） 先画对称轴，再画已知点关于对称轴的对称的点；

（2） 先画已知线段各端点的对称的点，再画出关于对称轴对称的线段； （3） 先画已知三角形的各顶点的对称的点，再画出关于对称轴对称的三角形；

成轴对称的两个图形的对应点（如图2-11画出的点P 与点Q ）也成轴对称．

课后作业

课本P47习题2.2第5题．

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2.3 设计轴对称图案

知识与技能

1．欣赏生活中的轴对称图案，感受数学丰富的文化价值．

2．经历“操作——猜想——验证”的实践过程，积累数学活动的经验． 数学思考

渗透辨证唯物注意思想。 问题解决

能利用轴对称的性质设计简单的轴对称图案． 情感态度与价值观

培养学生观察、操作、分析、综合、抽象、概括和发散思维的能力；感悟转化的数学思想方法.

重点: 利用对称轴掌握颜色对称与图形对称． 难点: 利用对称性质设计轴对称图形．

教学突破：利用对称轴掌握颜色对称与图形对称．利用对称性质设计轴对称图形． 【教学过程】

二次备课

一、情境创设

欣赏轴对称图案，思考这些图案是怎样形成的？你想学会制作这种图案的方法吗？

欣赏轴对称图案：

1．绿色食品标志、中国环境标志、国家免检产品标志等； 2．课本P48美丽的“盆花”图案．

二、探索活动

1．对称的美术图案，除图形对称外，有时颜色也“对称”．如果不包括色彩因素在内，下列图形有几条对称轴？请你画出图中（1）和（2）的对称轴．

动手实践、探究、交流，分别画出下列图形的对称轴． 要点：画全．

2．如果不考虑颜色的“对称”，图2-13中（1）和（2）中各有几条对称轴？考虑颜色的“对称”呢？

3．如果将图2-13（1）中左上方和右下方的小方格也涂上色，那么它有几条对称轴？

4．改变图2-13（2）哪些小方格的颜色，就能使它有4条对称轴？

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二次备课

学生动脑想、动手画，积极参与活动． 2. 答案：4条，4条；2条，1条．

3. 答案：4条． 4. 答案：涂色如图．

试一试：

1．如图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用二种方法分别在右图方格内填涂黑二个小正方形，使它们成为轴对称图形． 2．完成课本上练习2、3．

三、数学实验

（一）制作4张如图2-14的正方形纸片，将纸片拼合． 1．图2-15中的3个图案各有几条对称轴？

2．这些图案可以看成是由一个小正方形纸片经过怎样的变换得到的？ 3．你有不同于课本的拼法吗？拼出的图案是轴对称图形吗？如果是，有几条对称轴？

（二）人们在剪纸时，常常利用轴对称设计图案．欣赏剪纸作品，探讨它是怎么得到的？例如，按照图2-16（1）进行剪切，就能得到“庆丰灯笼”的剪纸作品（如图2-16（2））． 你来试试看呢？

画出图案的对称轴，并说出它的变换方式．

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展示学生拼合的图案，交流所拼图案的对称轴及图形变换方式． 讨论、交流剪纸的要点，动手操作，展示作品．

四、实践操作

利用轴对称，设计并剪出一幅奖杯图案， 班内展览，评选精品．

在准备的纸上设计图案，并通过折纸——剪纸来完成这一设计． 把自己满意的作品进行班内展览，民主评选出精品．

五、全课小结

1．能按要求完成某些轴对称图案． 2．会设计简单轴对称标志．

3．轴对称具有美感，轴对称在生活中无处不在． 六、课后作业

1．课本P49练习1和P50习题2.3习题1、2．

2．拓展：请用2块大小一样的三角尺（两锐角分别是60°和30°）拼出不同的轴对称图形，看看你能拼出几种．

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二次备课

2.4 线段、角的轴对称性（1）

二次备课

知识与技能

1．探索并证明线段垂直平分线的性质定理，能利用所学知识提出问题并解决生活中的实际问题。

2．能利用基本事实有条理的进行证明，做到每一步有根有据，渗透反证法的思想．

3．经历探索线段的轴对称的过程，在“操作——探究——归纳——证明”的过程中培养思考的严谨性和表达的条理性． 数学思考

渗透辨证唯物注意思想。 问题解决

经历探索线段的轴对称的过程，在“操作——探究——归纳——证明”的过程中培养思考的严谨性和表达的条理性． 情感态度与价值观

培养学生观察、操作、分析、综合、抽象、概括和发散思维的能力；感悟转化的数学思想方法.

重点: 利用线段的轴对称性探索线段垂直平分线的性质．

难点: 1．利用线段垂直平分线的性质解决生活中的实际问题；

2．运用所学知识说明线段的垂直平分线外的点到线段两端的距离不相等．

教学突破：利用线段的轴对称性探索线段垂直平分线的性质．利用线段垂直平分线的性质解决生活中的实际问题，运用所学知识说明线段的垂直平分线外的点到线段两端的距离不相等．

【教学过程】

开场白

同学们，纷繁源于简单，复杂图形都是由基本图形构成的．为了更好的研究轴对称图形，今天我们就先来研究最基本的图形——线段的轴对称性．

实践探索一

在一张薄纸上画一条线段AB ，操作并思考：线段是轴对称图形吗？如果是，对称轴在哪里？为什么？

实践探索二

如图2-17直线l 是线段AB 的垂直平分线，如果沿直线l 翻折，你

有什么发现？说说你的看法．

动手操作，验证猜想，描述发现．

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实践探索三

如图，线段AB 的垂直平分线l 交AB 于点O ，点P 是l 上任意一点，P A 与PB 相等吗？为什么？通过证明，你发现了什么？用语言描述你得到的结论．

学生独立思考、积极探究． 方法不一，具体如下：

1． 利用“SAS ”证明△OAP ≌△OBP 后， 说明P A 与PB 相等；

l 12A

O

B

2． 利用线段的轴对

称性和基本事实“两点确定一条直线”，说明P A 与PB 相等．

总结

线段垂直平分线上的点有什么特点？

讨论后共同小结．

线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．

实践探索四

试判断：线段的垂直平分线外的点到这条线段两端的距离相等吗？ 引导学生展开讨论：

1．你能读懂题目吗？题中已知哪些条件？要说明怎样一个结论？ 2．请你利用题中的已知条件和要说明的结论画出图形．

3．根据图形你能证明吗？试一试，让学生自己作图，讨论研究，并给出结论和证明．

教师点评，用幻灯片给出解答过程：

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二次备课

学生按老师的要求作图，猜想结论，探讨说理．

完成证明：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．

解：线段的垂直平分线外的点，到这条线段两端的距离不会相等． 如图，在线段AB 的垂直平分线l 外任取一点P ，l 连接P A 、PB ，设P A 交l 于点Q ，连接QB ．

根据“线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离P

Q 相等”，因为点Q 在AB 的垂直平分线上，所以QA ＝

QB ．

于是P A ＝PQ ＋QA ＝PQ ＋QB ．

B A

因为三角形的两边之和大于第三边，所以PQ ＋QB ＞PB ，即P A ＞PB ．

指导学生活动．

练习：课本P52练习1、2．

小结

1．线段垂直平分线有哪些性质？我们是怎么证明的？

2．线段垂直平分线有哪些应用？它主要可以用来解决什么样的问题？

学生讨论、小结

布置作业

课本P57习题2.4，分析第1～4的解法，任选2题写出过程．

学生根据自身实际情况，选题作业．

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二次备课

2.4 线段、角的轴对称性（2）

知识与技能

1．探索并证明线段垂直平分线的性质定理的逆定理，会用尺规作线段的垂直平分线； 2．能利用所学知识提出问题并解决实际问题；

3．经历探索线段的轴对称的过程，在“操作——探究——归纳——证明”的过程中培养思考的严谨性和表达的条理性． 数学思考

渗透辨证唯物注意思想。 问题解决

经历探索线段的轴对称的过程，在“操作——探究——归纳——证明”的过程中培养思考的严谨性和表达的条理性． 情感态度与价值观

培养学生观察、操作、分析、综合、抽象、概括和发散思维的能力；感悟转化的数学思想方法.

重点: 利用线段的轴对称性探索线段垂直平分线的性质定理的逆定理． 难点: 灵活运用线段垂直平分线的性质解决实际问题．

教学突破：利用线段的轴对称性探索线段垂直平分线的性质定理的逆定理．灵活运用线段垂直平分线的性质解决实际问题． 【教学过程】

二次备课

实践探索一

在一张薄纸上画一条线段AB ，你能找出与线段AB 的端点A 、B 距离相等的点吗？这样的点有多少个？

实践探索二

如果一个点在一条线段的垂直平分线上，那么这个点到这条线段两端的距离相等．反过来，如果一个点到一条线段的两端的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上吗？

如图2-21（1），若点Q 在线段AB 上，且QA ＝QB ，则Q 是线段AB 的中点，则点Q 在线段AB 的垂直平分线上

.

如图2-21（2），若点Q 是线段AB 外任意一点，且

QA ＝QB ，那么点Q 在线段AB 的垂直平分线上吗？为什么？

通过上述探索，你得到了什么结论？

教师利用几何画板验证线段垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合.

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二次备课

1．猜想线段垂直平分线性质定理的逆定理；

2．自学课本上点Q 在线段上的情形，思考点Q 不在线段上时的证明； 3．学生证明逆定理． （1）过点Q 作QM AB 于点M ，利用HL 证明三角形全等，继而得到QM 垂直平分AB ．

（2）过点Q 作∠AQB 的角平分线交AB 于点M ，利用SAS 证明三角形全等，继而得到QM 垂直平分AB ．

（3）过点Q 作AB 边上的中线交AB 于点M ，利用SSS 证明三角形全等，继而得到QM 垂直平分AB ．

4．学生讨论、归纳得到线段垂直平分线性质定理的逆定理，线段垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合．

实践探索三

你能运用实践探索二得到的结论，用尺规画出任一条线段的垂直平分线吗？如果能，说说你作图的依据.

课本上用尺规作线段的垂直平分线时，为什么要画“两弧A _ B _ 1的交点”，而且“半径要大于AB ”呢？

2

在线段AB 所在直线外取一点C ，连接AC ，用刚学的方法画出AC 的垂直平分线l 1，与AB 的垂直平分线l 2交于点O ，再连接BC ，并作出它的垂直平分线．你发现了什么？得到什么结论？这又是为什么呢？

1．学生尝试操作、小组交流；

2．小组代表汇报画法，并说明作图依据； 3．自学课本，与你的画法进行对比，判 断谁的画法更好？

4．说明作法中“两弧的交点”“半径要 1

大于AB ”的原因；

2

5. 进行延伸作图，观察现象，思考原因.

例1 已知：如图2-22，在△ABC 中，AB 、AC 的垂直平分线l 1、l 2相交于点O ．求证：点O 在BC 的垂直平分线上. 分析：要证明点O 在BC 的垂直平分线上，根据到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，只要证OB ＝OC ，连接OB 、OC ，要证OB ＝OC ，只要证OB ＝OA ，OC ＝OA ，因为AB 、

AC 的垂直平分线l 1、l 2相交于点O ， l 根据线段垂1

直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得l 2OB ＝OA ，OC ＝OA ，所以得证． 2-22

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1．学生结合实践探索三思考； 2．尝试证明；

3．验证得到结论：三角形的三边垂直平 分线相交于一点．

练习：课本P54练习1． 练习：（1）课本P54练习2．

（2）课本P52练习2的基础上作出公共汽车站的位置．

小结

（1）探索并证明了线段的垂直平分线的逆定理，会用直尺和圆规作线段的垂直平分线，知道了线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合.

（2）会应用性质定理和逆定理证明结论的正确性和解决问题．

（3）经历了“作图——猜想——证明”的过程，发展了空间观念和演绎推理的能力．

布置作业

课本P57-58习题2.4，分析第5、6题的解法，任选1题写出过程．

二次备课

2.4 线段、角的轴对称性（3）

知识与技能

1．探索并掌握角平分线的性质定理和逆定理；

2．能利用所学知识提出问题并能解决生活中的实际问题； 数学思考

能利用基本事实有条理的进行证明，做到每一步有根有据。 问题解决

经历探索线段的轴对称的过程，在“操作——探究——归纳——证明”的过程中培养思考的严谨性和表达的条理性． 情感态度与价值观

培养学生观察、操作、分析、综合、抽象、概括和发散思维的能力；感悟转化的数学思想方法.

重点: 利用角的轴对称性探索角平分线的性质． 难点: 理解“点在角平分线上”的证明方法．

教学突破：利用角的轴对称性探索角平分线的性质．理解“点在角平分线上”的证明方法． 【教学过程】

开场白

同学们，上节课我们充分研究了线段的轴对称性，那么另一个基本图形“角”的轴对称性又如何呢？与线段有什么异同和联系呢？下面，我们就进入今天愉快的数学探究之旅．

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二次备课

实践探索一：

在一张薄纸上画∠AOB ，它是轴对称图形吗？如果是，对称轴在哪里？为什么？

实践探索二

如图2-23，直线OC 是∠AOB 的角平分线，如果沿直线OC 翻折，你有什么发现？角平分线是线段的对称轴吗？

实践探索三

角平分线是否也有像线段垂直平分线一样的特殊性质呢？

如图，在∠AOB 的角平分线OC 任意取一点P ，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，PD 与PE 相等吗？为什么？

通过证明，你发现了什么？用语言描述你得到的结论． D A P C

B

2-24

学生独立思考、积极探究．方法不一，具体如下： 1．利用“AAS ”证明△ODP ≌ △OEP 后，说明PD 与PE 相等． 2．利用角的轴对称性和基本事

实“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，说明PD 与PE 相等．

总结

角平分线上的点有什么特点？

讨论后共同小结：

角平分线上的点到角两边的距离相等．

实践探索四

如果任意一个点在角平分线上，那么这个点到这个角的两边距离相等．反过来，结合上节课所学，你有什么猜想？

如图2-26，若点Q 在∠AOB 内部，QD ⊥OA ，QE ⊥OB ，且QD ＝QE ，点Q 在∠AOB 的角平分线上吗？

A 为什么？ Q 通过上述探索，你得到了什么结论？

教师利用几何画板验证． B

2-26

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1． 猜想角平分线性质定理的逆定理． 2．学生证明逆定理．

连接OQ ，利用HL 证明三角形全等，继而得到OQ 平分∠AOB ．

3．学生讨论、归纳得到角平分线性质定理的逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．

指导学生活动．

练习：课本P55练习．

延伸：在平面内确定一点M ，使它到AB 、AC 的距离相等且MB ＝MC ．

小结

1．经历了画图、折纸、猜想、归纳的活动过程，探索得到了角的轴对称性：角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线．

2．本节课我们还证明了角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等；反过来，角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上，从中我们可以发现图形的位置关系与数量关系的内在联系，你能举例说明这种内在的联系吗？

布置作业

课本P58习题2.4，分析第7、8题的思路，任选1题写出过程．

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二次备课