条件不完备时如何用均值不等式求最值
不具备条件时如何用均值不等式求最值
王俊
重庆市云阳高级中学校 404500
选修4-5《不等式选讲》中的均值不等式，是高中数学的一个重要不等式，应用广泛，特别是求解某些函数的最值问题，它是最有效的工具之一。运用均值不等式求最值时，必须要满足三个条件：“一正、二定、三相等”。但求最值的问题往往不完全具备这些条件，因此需要我们有技巧性地进行变形来补足条件。以下通过实例介绍一些常见的变形技巧，供大家参考。
一、不正时，化负为正
用均值不等式求最值的首要前提是各项要为正数，当各项的值不为正数时，只需要将所求项添上负号，化负为正，求出最值后，再去掉负号。 例1 知0
4log 2x
+2的最大值；
分析：本题满足log 2x 4
log 2x
，但log 2x
4log 2x
号，将其化为正数后再用均值不等式。 解：因为0
4log 2x
4
4log 2x
，0则-l o 2g x >
40l o 2g x
>，0所以有
：
(-log 2x ) +(-) ≥=
4，即有log 2x +
≤-=-4，所以得：y ≤-2。
当且仅当-log 2x =-
4log 2x
即x =
14
时，等号成立，些时，y 取得最大值-2。
二、不定时，配凑为定
用均值不等式求最值又一前提是要求代数式的和或者积为定值，而题目条件往往无法满足，因此需要我们运用配凑的方法去补足定值的条件。根据题目不同，配凑又分以下几种情况： （1）配凑系数 例2 已知0
12
，求函数y =x (1-2x ) 的最大值。
分析：虽x >0,1-2x >0，但x +(1-2x ) 不为定值，由于所求式为积形式，可以通过乘除2配凑系数，来满足定值条件。 解： y =x (1-2x ) =此时y 取得最大值
+
12
(2x )(1-2x ) ≤
12
(
2x +1-2x
2
) =
2
18
，当且仅当2x =1-2x 即x =
14
时等号成立，
18
。
2
2
例3 知a , b ∈R ，且有2a +3b =
5，求函数y =a
分析：
虽a >>0，
但(a +与(a +(1+b )) 都不为定值，由已知条件，考虑平方相加，
2
2
来满足定值条件。
解：
因为y =a =
2
≤
12a +(3+3b )
2
22
) =
3
，当且仅当
=
2a +3b =5即a =
2
b =
3
y
取得最大值
3
。
（2）配凑项数
例4 已知a >b >0, 求函数y =a +
8b (a -b )
的最小值。
分析： 虽a >0,
8
不为定值，但注意到a =(a -b ) +b ，所以可通过配凑项来>0，但a b (a -b ) b (a -b )
8
满足积为定值。 解：因
为y =a +
8b (a -b )
=(a -b ) +b +
8b (a -b )
≥=6，当且仅当a -b =b =
8b (a -b )
即
a =4, b =2时等号成立，此时y 取得最小值6
2
例5 若a >b >0, 求y =a +
16b (a -b )
的最小值。
分析： 虽a 2>0,
162
不为定值，但有>0，但a b (a -b ) b (a -b )
16
，所以把原式可配凑成积是定值。 a b
16
a =a (a -)b +a ，b 又
2
16b (a -b )
=
16
(a
-a
)
+
b
解 ： 因为y =a 2+
16b (a -b )
=a (a -b )+ab +
16a (a -b )
+
16
≥=16ab
2时等号成立，此时y 取得最小值16。
当且仅当a (a -b ) =（3）配凑次数
16a (a -b )
且ab =
16ab
时，即a =22, b =
+
例6 x ∈R ，求函数y =x +
4
2
x
44x x
分析： 虽x >0, 2>0，但x 2不为定值，由于分母次数高，所以可将x 平均分拆成+，从而使
x x 22
的最小值；
乘积为定值。 解
因为y =x +
π
2
4x
2
=
x 2
+
x 2
+
4x
2
2
≥=3，当且仅当x =2时等号成立，此时y 取得最小值3。 例7知x ∈(0,) ，求y =sin x cos x 的最大值。
分析： sin 2x >, cos x >0，但sin 2x +cos x 不为定值，联想到sin 2x +cos 2x =1，可将原式两边平方，再配凑系数，从而得和式为定值。
解： 因为y =sin 2x cos x ，所以y 2=sin 4x cos 2x =sin 2x sin 2x cos 2x ，即有
1sin x +sin x +2cos x 34
当且仅当sin 2x =
2cos 2x 即y =(sinx sin x 2cos x ) ≤() =
22327
2
2
2
1
222
tan x =时等号成立，此时，y
的最大值为
9
。
（4）配凑结构 例8 知x >-1，求y =
x +x +4x +1
2
的最小值。
分析： 原式为分式，既不是和的形式，也不是积的形式，不能直接应用均值不等式，但注意到分子可以配凑成(x +1) 2-(x +1) +4，再将分式变形成和的形式，可用均值不等式了。
x +x +4x +1
2
解：
因为y =
4x +1
=
(x +1) -(x +1) +4
x +1
2
=(x +1) +
4x +1
-1≥-1=3，当且仅当
x +1=即x =1时等号成立，此时y 的最小值为3。
1x +
41-x
1
例9 x ∈(0,1)，求y =分析： 虽
1x >0,
41-x
的最小值。
>0，可
4
不为定值，但注意到分母相加为定值1，但若用两次均值不等式x 1-x
后，等号不能成立，所以可以联想到将分式的1配凑成x +(1-x ) ，再变形后则可用均值不等式。
1x
41-x
13
解：
因为y =
1-x x
4x 1-x
+=
x +1-x
x
+
4(x +1-x ) 1-x
=5+
1-x x 4x ≥5+1-x =9，当且仅当=即x =时等号成立，此时y 的最小值为9。
三、不等时，配等或不用
用均值不等式求最值时，最后一个必须满足的条件是等号能成。但在解题的过程中，有时往往出现凑出了‘常数’却取不到‘等号’，此时，就回顾解题过程是否合理，或减少放缩环节，或者改用函数单调性或三角换元等策略
例10 设a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，求证：(a ＋
1a
1b
1a
1b
)(b ＋) 的最小值
254
．
分析：若(a ＋)(b ＋)
≥4，则等号成立的条件与a ＋b ＝1不能同时成立，故取不
12
到最小值4．本题可利用等号成立的条件来配凑，观察最小值恰好在a ＝b ＝时取到，故可以合理配凑
出等号恰好在“a ＝b ＝
1a
1b
12
”取得．
1ab
a b
b a
116ab
1516ab
解1：(a ＋
1516ab
52
)(b ＋
154
) ＝ab ＋++ ≥ab ＋
12
+＋2≥
1a
1516ab
＋2 ＝
52
＋
≥＋
1a
＝
1b
254
．当且仅当a ＝b ＝
⎛⎝
14a
14a
1
时取等号．所以 (a ＋)(b ＋
1b
) 的最小值
254
．
解2：(a ＋)(b ＋
) ＝ a +
++
4a
+
1⎫⎛1111⎫
b ++++⎪ ⎪ 4a ⎭⎝4b 4b 4b 4b ⎭
≥5∙
5∙
=25∙
1a
由0＜ab ≤
1b
14
) ≥25
．
＝
254
．
当且仅当a ＝b ＝
12
时取等号．所以 (a ＋
4sin x
)(b ＋) 的最小值
254
例11 知x ∈(0,π) ，求函数y =sin x +分析： 虽sin x 4
的最小值．
4sin x
sin x
=4为定值，但sin x =不成立，所以等号不成立，则可以考虑拆项来满足等
号，或者利用函数的单调性来求最值。 解1：
因为y =sin x +当且仅当sin x =
1sin x
4sin x
=sin x +
1sin x
+
33
≥=2+≥5 sin x sin x sin x
3
=1时即x =4sin x
π
2
，两次等号都成立，所以y 取得最小值为5。
x ，因为x ∈(0,π) ，所以t ∈(0,1]，易得函数y =t +
4t
解2： 由y =sin x +n i ，令t =s 在区间(0,1]
上为减函数，所以当t =1，y 取得最小值为5，此时，x =
π
2
。