全等三角形证明
全等三角形证明
1、（2011•玉溪）将两个等边△ABC和△DEF（DE＞AB）如图所示摆放，点D是BC上的一点（除B、C点外）．把△DEF绕顶点D顺时针旋转一定的角度，使得边DE、DF与△ABC的边（除BC边外）分别相交于点M、N．
（1）∠BMD和∠CDN相等吗？
（2）画出使∠BMD和∠CDN相等的所有情况的图形；
（3）在（2）题中任选一种图形说明∠BMD和∠CDN相等的理由．
考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质。
专题：证明题。
分析：（1）当M在AB上时，两角相等；当M在AC上时，两角不相等；
（2）根据（1）分类画出图形，即可解答；
（3）根据三角形的内角和和平角的定义，即可得出；
解答：解：（1）可能相等，也可能不相等；
（2）有四种情况，如下：
（3）选④证明：
∵△ABC和△DEF均为等边三角形，
∴∠B=∠EDF=60°，
∴∠ADB+∠BMD=∠ADB+∠CDN=120°，
∴∠BMD=∠CDN．
点评：本题主要考查了等边三角形的性质和旋转的性质，体现了分类讨论思想．
2、（2011•玉溪）如图，点B、C、D、E在同一条直线上，已知AB=FC，AD=FE，BC=DE，探索AB与FC的位置关系？并说明理由．
考点：全等三角形的判定与性质。
专题：证明题。
分析：AB与CF的位置关系为平行，理由：由BC=DE，根据等式性质在等号两边同时加上CD，得到BD=CE，又AB=FC，AD=FE，根据SSS可得三角形ABD与三角形FCE全等，由全等三角形的对应角相等可得一对同位角相等，根据同位角相等，两直线平行即可得证． 解答：解：AB与FC位置关系是：AB∥FC，理由为：
∵BC=DE（已知），
∴BC+CD=DE+CD（等式的基本性质），即BD=CE，
在△ABD和△FCE中，
，
∴△ABD≌△FCE（SSS），
∴∠B=∠FCE（全等三角形的对应角相等），
∴AB∥FC（同位角相等，两直线平行）．
点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，以及平行线的判定，判定两三角形全等的方法有：SSS；SAS；ASA；AAS及HL（直角三角形），证明三角形全等，不仅要注意文字条件，还需从图形中捕捉公共角、公共边等图形条件，本题不是直接求证三角形全等，而是探究两直线的位置关系，此时要联系三角形全等的性质，分析出先证哪两个三角形全等，再进一步推出对应角的相等，然后由平行线的判定方法即可得证．
3．（2013 沈阳）如图，三角形ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，角BAD=45,AD。与BE交于点F，连接CE，
（1）求证：BF=2AE
（2）若CD=2，求AD的长。
4．（2013 武汉）如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．
求证：∠A＝∠D．
证明：∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE．
在△ABF和△DCE中，
BE＝CF，∴BF=CE
AB＝DC，∠B＝∠C（已知）
∴△ABF≌△DCE(SAS)， ∴∠A＝∠D．
5、．(10分)(2014·宜宾)如图，在△AFD和△CEB中，点A，E，F，C在同一直线上，AE＝CF，∠B＝∠D，AD∥BC.求证：AD＝
BC.
解：∵AD∥BC，∴∠A＝∠C（两直线平行，内错角相等），
∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE，
∵在△ADF和△CBE中，
∠A＝∠C，AF＝CE，∠B＝∠D
∴△ADF≌△CBE(AAS)，
∴AD＝BC