高中数学函数知识点梳理及其综合题练习
高中数学函数知识点梳理
① . 函数的单调性
(1)设x 1⋅x 2∈[a , b ], x 1≠x 2那么
f (x 1) -f (x 2)
>0⇔f (x ) 在[a , b ]上是增函数;
x 1-x 2
f (x 1) -f (x 2)
x 1-x 2
(2)设函数y =f (x ) 在某个区间内可导,如果f '(x ) >0,则f (x ) 为增函数;如果f '(x )
注:如果函数f (x ) 和g (x ) 都是减函数, 则在公共定义域内, 和函数f (x ) +g (x ) 也是减函数; 如果函数y =f (u ) 和u =g (x ) 在其对应的定义域上都是减函数, 则复合函数y =f [g (x )]是增函数.
(x 1-x 2) [f (x 1) -f (x 2) ]>0⇔
② 奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称; 反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于y 轴对称,那么这个函数是偶函数.
注:若函数y =f (x ) 是偶函数,则f (x +a ) =f (-x -a ) ;若函数y =f (x +a ) 是偶函数,则f (x +a ) =f (-x +a ) .
注:对于函数y =f (x ) (x ∈R ), f (x +a ) =f (b -x ) 恒成立, 则函数f (x ) 的对称轴是函数x =
a +b a +b
; 两个函数y =f (x +a ) 与y =f (b -x ) 的图象关于直线x =对称. 22
a
注:若f (x ) =-f (-x +a ) , 则函数y =f (x ) 的图象关于点(, 0) 对称; 若
2
f (x ) =-f (x +a ) , 则函数y =f (x ) 为周期为2a 的周期函数.
③ 多项式函数P (x ) =a n x n +a n -1x n -1+ +a 0的奇偶性
多项式函数P (x ) 是奇函数⇔P (x ) 的偶次项(即奇数项) 的系数全为零. 多项式函数P (x ) 是偶函数⇔P (x ) 的奇次项(即偶数项) 的系数全为零. 23. 函数y =f (x ) 的图象的对称性
(1)函数y =f (x ) 的图象关于直线x =a 对称⇔f (a +x ) =f (a -x )
⇔f (2a -x ) =f (x ) .
(2)函数y =f (x ) 的图象关于直线x =
a +b
对称⇔f (a +mx ) =f (b -mx ) 2
⇔f (a +b -mx ) =f (mx ) .
④ 两个函数图象的对称性
(1)函数y =f (x ) 与函数y =f (-x ) 的图象关于直线x =0(即y 轴) 对称. (2)函数y =f (mx -a ) 与函数y =f (b -mx ) 的图象关于直线x =
a +b
对称. 2m
(3)函数y =f (x ) 和y =f -1(x ) 的图象关于直线y=x对称.
25. 若将函数y =f (x ) 的图象右移a 、上移b 个单位,得到函数y =f (x -a ) +b 的图象;若将曲线f (x , y ) =0的图象右移a 、上移b 个单位,得到曲线f (x -a , y -b ) =0的图象.
⑤ 互为反函数的两个函数的关系
f (a ) =b ⇔f -1(b ) =a .
27. 若函数y =f (kx +b ) 存在反函数, 则其反函数为y =
1
[f k
-1
(x ) -b ], 并不是
y =[f -1(kx +b ) , 而函数y =[f -1(kx +b ) 是y =
⑥ 几个常见的函数方程
1
[f (x ) -b ]的反函数. k
(1)正比例函数f (x ) =cx , f (x +y ) =f (x ) +f (y ), f (1)=c . (2)指数函数f (x ) =a x , f (x +y ) =f (x ) f (y ), f (1)=a ≠0.
(3)对数函数f (x ) =log a x , f (xy ) =f (x ) +f (y ), f (a ) =1(a >0, a ≠1) .
(4)幂函数f (x ) =x α, f (xy ) =f (x ) f (y ), f ' (1)=α.
(5)余弦函数f (x ) =cos x , 正弦函数g (x ) =sin x ,f (x -y ) =f (x ) f (y ) +g (x ) g (y ) ,
f (0)=1,lim
x →0
g (x )
=1. x
⑦ 几个函数方程的周期(约定a>0)
(1)f (x ) =f (x +a ) ,则f (x ) 的周期T=a; (2)f (x ) =f (x +a ) =0,
1
(f (x ) ≠0) , f (x ) 1
或f (x +a ) =-(f (x ) ≠0) ,
f (x )
1或+=f (x +a ),(f (x ) ∈[0,1]) , 则f (x ) 的周期T=2a; 2
1
(f (x ) ≠0) ,则f (x ) 的周期T=3a; (3)f (x ) =1-
f (x +a )
f (x 1) +f (x 2)
(4)f (x 1+x 2) =且f (a ) =1(f (x 1) ⋅f (x 2) ≠1,0
1-f (x 1) f (x 2)
f (x ) 的周期T=4a;
(5)f (x ) +f (x +a ) +f (x +2a ) f (x +3a ) +f (x +4a )
=f (x ) f (x +a ) f (x +2a ) f (x +3a ) f (x +4a ) , 则f (x ) 的周期T=5a; (6)f (x +a ) =f (x ) -f (x +a ) ,则f (x ) 的周期T=6a.
或f (x +a ) =⑧ 分数指数幂
(1)a (2)a
m
n
=
=
-
m n
1
m n
(a >0, m , n ∈N ,且n >1). (a >0, m , n ∈N ,且n >1).
*
*
a
(2)当n
=a ; 当n =|a |=⎨⑩ 有理指数幂的运算性质
(1)a r ⋅a s =a r +s (a >0, r , s ∈Q ) . (2)(a r ) s =a rs (a >0, r , s ∈Q ) .
(3)(ab ) r =a r b r (a >0, b >0, r ∈Q ) .
p
注:若a >0,p 是一个无理数,则a 表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运算性质,对于无理数指数幂都适用.
33. 指数式与对数式的互化式
⎧a , a ≥0
.
-a , a
log a N =b ⇔a b =N (a >0, a ≠1, N >0) .
34. 对数的换底公式
log m N
(a >0, 且a ≠1, m >0, 且m ≠1, N >0).
log m a
n n
推论 log a m b =log a b (a >0, 且a >1, m , n >0, 且m ≠1, n ≠1, N >0).
m log a N =
⑪ 对数的四则运算法则
若a >0,a ≠1,M >0,N >0,则
(1)log a (MN ) =log a M +log a N ;
M
=log a M -log a N ; N
(3)log a M n =n log a M (n ∈R ) .
(2)log a
注:设函数f (x ) =log m (ax 2+bx +c )(a ≠0) , 记∆=b -4ac . 若f (x ) 的定义域为
2
R , 则a >0,且∆0,且∆≥0. 对于a =0的情形, 需要
单独检验.
⑫ 对数换底不等式及其推论
1
, 则函数y =log ax (bx ) a 11
(1)当a >b 时, 在(0,和(, +∞) 上y =log ax (bx ) 为增函数.
a a 11
(2)(2)当a
a a
若a >0, b >0, x >0, x ≠
推论:设n >m >1,p >0,a >0,且a ≠1,则 (1)log m +p (n +p )
2
m +n
. 2
导数知识点
知识要点
1. 导数的几何意义:
函数y =f (x ) 在点x 0处的导数的几何意义就是曲线y =f (x ) 在点(x 0, f (x )) 处的切线的斜率,也就是说,曲线y =f (x ) 在点P (x 0, f (x )) 处的切线的斜率是f ' (x 0) ,切线方程为y -y 0=f ' (x )(x -x 0).
2. 导数的四则运算法则:
(u ±v ) ' =u ' ±v ' ⇒y =f 1(x ) +f 2(x ) +... +f n (x ) ⇒y ' =f 1' (x ) +f 2' (x ) +... +f n ' (x )
(uv ) ' =vu ' +v ' u ⇒(cv ) ' =c ' v +cv ' =cv ' (c 为常数)
vu ' -v ' u ⎛u ⎫
(v ≠0) ⎪=2v v ⎝⎭
'
3. 函数单调性:
⑪函数单调性的判定方法:设函数y =f (x ) 在某个区间内可导, 如果f ' (x ) >0,则y =f (x ) 为增函数; 如果f ' (x ) <0,则y =f (x ) 为减函数. ⑫常数的判定方法;
如果函数y =f (x ) 在区间I 内恒有f ' (x ) =0,则y =f (x ) 为常数.
4. 极值的判别方法:(极值是在x 0附近所有的点,都有f (x ) <f (x 0) ,则f (x 0) 是函数f (x )
的极大值,极小值同理) 当函数f (x ) 在点x 0处连续时,
①如果在x 0附近的左侧f ' (x ) >0,右侧f ' (x ) <0,那么f (x 0) 是极大值; ②如果在x 0附近的左侧f ' (x ) <0,右侧f ' (x ) >0,那么f (x 0) 是极小值.
也就是说x 0是极值点的充分条件是x 0点两侧导数异号,而不是f ' (x ) =0. 此外,函数不
①
可导的点也可能是函数的极值点. 当然,极值是一个局部概念,极值点的大小关系是不确
②
定的,即有可能极大值比极小值小(函数在某一点附近的点不同).
注①: 若点x 0是可导函数f (x ) 的极值点,则f ' (x ) =0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数,其一点x 0是极值点的必要条件是若函数在该点可导,则导数值为零. 例如:函数y =f (x ) =x 3,x =0使f ' (x ) =0,但x =0不是极值点.
②例如:函数y =f (x ) =|x |,在点x =0处不可导,但点x =0是函数的极小值点.
5. 极值与最值区别:极值是在局部对函数值进行比较,最值是在整体区间上对函数值进行比较.
6. 几种常见的函数导数:
I. C ' =0(C 为常数) (sinx ) =cos x
'
(x n ) ' =nx n -1(n ∈R ) (cosx ) ' =-sin x
II. (lnx ) ' =
11
(loga x ) ' =log a e x x
(e x ) ' =e x (a x ) ' =a x ln a
函数练习试题
1) 与f (x -1) 都是奇函数,1. (2010全国卷Ⅰ理)函数f (x ) 的定义域为R ,若f (x +则( )
A. f (x ) 是偶函数 B. f (x ) 是奇函数 C. f (x ) =f (x +2) D. f (x +3) 是奇函数 2. (2010浙江文)若函数f (x ) =x +
2
a
(a ∈R ) ,则下列结论正确的是( ) x
A. ∀a ∈R ,f (x ) 在(0,+∞) 上是增函数 B. ∀a ∈R ,f (x ) 在(0,+∞) 上是减函数 C. ∃a ∈R ,f (x ) 是偶函数 D. ∃a ∈R ,f (x ) 是奇函数
e x +e -x
3. (2010山东卷理) 函数y =x 的图像大致为 ( ). -x
e -e
2
( )
4. (2009安徽卷理)设a <b, 函数y =(x -a ) (x -b ) 的图像可能是
5. (2009山东卷文) 已知定义在R 上的奇函数f (x ) ,满足f (x -4) =-f (x ) , 且在区间[0,2]上是增函数, 则
( ).
A. f (-25)
C. f (11)
6. (2009陕西卷文)定义在R 上的偶函数f (x ) 满足:对任意的x 1, x 2∈[0,+∞)(x 1≠x 2) ,有
f (x 2) -f (x 1)
x 2-x 1
( )
(A)f (3)
7. (2009辽宁卷文)已知偶函数f (x ) 在区间[0, +∞) 单调增加,则满足f (2x -1) <f () 的
x 取值范围是( ) (A )(
1
3
12121212,) B.[,) C.(,) D.[,) 33332323
⎧x 2+4x ,
8. (2009天津卷理)已知函数f (x ) =⎨2
⎩4x -x ,
的取值范围是( )
x ≥0x
若f (2-a ) >f (a ), 则实数a
2
A (-∞, -1) ⋃(2,+∞) B (-1,2) C (-2,1) D (-∞, -2) ⋃(1,+∞) 9. (2009
全国卷Ⅱ文)设a =lg e , b =(lge ) 2, c = )
(A )a >b >c (B )a >c >b (C )c >a >b (D )c >b >a
10. (2009四川卷文)已知函数f (x ) 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数,且对任意实数x 都有xf (x +1) =(1+x ) f (x ) ,则f (的值是( ) A. 0 B.
2
52
15 C. 1 D. 22
11. 与抛物线E :y =ax 相切于坐标原点的最大的圆的方程为 (A )x +(y -a ) =a
2
2
2
222
(B )x +(y -
2
121
) =(2 a a
12121⎫⎛1⎫⎛2
x +(y -=( (C )x + y - (D )=⎪ ⎪4a 4a 2a ⎭⎝2a ⎭⎝
12. (2009重庆卷文)把函数f (x ) =x -3x 的图像C 1向右平移u 个单位长度,再向下平移
3
v 个单位长度后得到图像C 2.若对任意的u >0,曲线C 1与C 2至多只有一个交点,则v
的最小值为( )
A .2 B .4
C .6
D .8
13. (2009重庆卷理)若f (x ) =
1
+a 是奇函数,则a = . x
2-1
14. (2009山东卷理) 已知定义在R 上的奇函数f (x ) ,满足f (x -4) =-f (x ) , 且在区间[0,2]上是增函数, 若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8, 8]上有四个不同的根x 1, x 2, x 3, x 4, 则
x 1+x 2+x 3+x 4=_________.
15. (2009四川卷)设V 是已知平面M 上所有向量的集合,对于映射f :V →V , a ∈V ,记
a 的象为f (a ) 。若映射f :V →V 满足:对所有a 、b ∈V 及任意实数λ, μ都有
f 称为平面M 上的线性变换。现有下列命题: f (λa +μb ) =λf (a ) +μf (b ,则)
①设f 是平面M 上的线性变换,a 、b ∈V ,则f (a +b ) =f (a ) +f (b )
②若e 是平面M 上的单位向量,对a ∈V , 设f (a ) =a +e ,则f 是平面M 上的线性变换;
③对a ∈V , 设f (a ) =-a ,则f 是平面M 上的线性变换;
④设f 是平面M 上的线性变换,a ∈V ,则对任意实数k 均有f (ka ) =kf (a ) 。 其中的真命题是 (写出所有真命题的编号) 16.已知函数f (x ) 的定义域为[-15,],部分对应值如下表,
f (x ) 的导函数y =f '(x ) 的图象如图所示.
下列关于函数f (x ) 的命题: ① 函数y =f (x ) 是周期函数; ② 函数f (x ) 在[0,2]是减函数;
第16题图
③ 如果当x ∈[-1, t ]时,f (x ) 的最大值是2,那么t 的最大值为4; ④ 当1
17.已知f (x ) 是定义在[-1,1]上的奇函数且f (1) =1,当x 1、[-1,1],且x 1+x 2≠0x 2∈时,有
f (x 1) +f (x 2)
>0,若f (x ) ≤m 2-2am +1对所有x ∈[-1, 1]、a ∈[-1, 1]恒成立,
x 1+x 2
则实数m 的取值范围是
.
18.(本小题满分12分) 设f (x ) =ae +
x
1
+b (a >0) x ae
(I )求f (x ) 在[0,+∞) 上的最小值;
(II )设曲线y =f (x ) 在点(2,f (2))的切线方程为y =
3
x ;求a , b 的值。 2
19. (本小题满分12分)设f (x ) 是定义在实数集R 上的奇函数,当x >0时,f (x ) =-x 2+4x . (Ⅰ)求f (x ) 的解析式,并解不等式f (x ) ≥x ;
4],总存在x 2∈[2,5],使f (x 1) =g (x 2) ,求实(Ⅱ)设g (x ) =2x -1+m ,若对任意x 1∈[-1,
数m 的取值范围.
20.(本小题满分12分)
已知二次函数f (x ) =x 2+2bx +c (b , c ∈R) 满足f (1) =0, 且关于x 的方程
f (x ) +x +b =0的
两个实数根分别在区间(-3, -2), (0, 1) 内.
(Ⅰ) 求实数b 的取值范围;
(Ⅱ) 若函数F (x ) =log b f (x ) 在区间(-1-c , 1-c ) 上具有单调性, 求实数c 的取值范围.
2014届高考数学专题复习 导数及其应用
1、若函数y =e +3x (x , a ∈R ) 有大于零的极值点;则a ∈( ) (A ) (-3, +∞ ) (B ) (-∞, -3 ) (C ) (-
2
ax
11, +∞) (D ) (-∞, ) 33
x
2、已知函数f (x ) =ax +2ax ,g (x ) =2,若在[0,2]上至少存在点x 0, x 1,使得
f (x 0) -g (x 1)
20.(本小题满分12分)已知x =3是函数f (x ) =a ln(1+x ) +x 2-10x 的一个极值点 ⑪求a ;
⑫求函数f (x ) 的单调区间;
⑬若直线y =b 与函数y =f (x ) 的图像有3个交点,求b 的取值范围 20.(本小题满分12分)
已知f (x ) 是二次函数,f '(x ) 是它的导函数,且对任意的x ∈R ,f '(x ) =f (x +1) +x 2恒成立.
(Ⅰ) 求f (x ) 的解析表达式;
(Ⅱ) 设t >0,曲线C :y =f (x ) 在点P (t , f (t )) 处的切线为l ,l 与坐标轴围成的三角形面积为S (t ) .求S (t ) 的最小值.
3
21. (本大题满分12分)已知函数f (x ) =x +3ax -1,g (x ) =f (x ) '-ax -5,其中f '(x )
是的导函数
⑪对满足-1≤a ≤1的一切a 的值,都有g (x )
⑫设a =-m ,当实数m 在什么范围内变化时,函数y =f (x ) 的图象与直线y =3只有一个公共点
2
20.(本小题满分12分)已知函数f (x ) =x 3+2bx 2+cx -2的图象在与x 轴交点处的切线方程是y =5x -10 ⑪求函数f (x ) 的解析式; ⑫设函数g (x ) =f (x ) +
1
mx ,若g (x ) 的极值存在,求实数m 的取值范围以及函数3
g (x ) 取得极值时对应的自变量x 的值
2
21.(本小题满分12分)已知函数f (x ) =x -4,设曲线y =f (x ) 在点(x n , f (x n ) )处的
切线与x 轴的交点为(x n +1, 0)(n ∈N ),其中x 1为正实数
*
⑪用x n 表示x n +1
⑫证明:对一切正整数n ,x n +1≤x n 的充要条件是x 1≥2 ⑬若x 1=4,记a n =lg
21、已知函数f (x )=4x -3x cos θ+
3
2
x n +2
,证明数列{a n }成等比数列,并求数列{x n }的通项公式 x n -2
3
cos θ,其中x ∈R , θ为 16
参数,且0≤θ≤2π;
(1)当cos θ=0时,判断函数f (x )是否有极值;
(2)要使函数f (x )的极小值大于零,求参数θ的取值范围; (3)若对(2)中所求的取值范围内的任意参数θ,函数f (x )
在区间(2a -1, a )内都是增函数,求实数a 的取值范围。
20.(本小题满分12分) 设f (x ) =x -
3
3
(a +1) x 2+3ax +1. 2
(I )若函数f (x ) 在区间(1,4)内单调递减,求a 的取值范围;
(II )若函数f (x ) 在x =a 处取得极小值是1,求a 的值,并说明在区间(1,4)内函数f (x ) 的单调性.
20(本小題满分12分) 已知定义在R 上的奇函数极小值
(I )求,
且时,取得
.
的解析式; 的单调区间;
时,函数图像上是否存在两点,使得过此两点处的切线互相垂直?
(I I ) 求
(I I I )
当
证明你的结论.
22.(本小题满分14分) 已知函数f (x ) =x ln x .
(Ⅰ) 求函数f (x ) 的单调区间和最小值;
11
(Ⅱ) 当b >0时, 求证:b ≥(e (其中e =2.71828…是自然对数的底数);
e
(Ⅲ) 若a >0, b >0, 求证:f (a ) +(a +b ) ln 2≥f (a +b ) -f (b ) .
b
21.(本小題满分14分) 已知函数.
都有
;
的值;
,利用
21、函数f (x ) =x 3+ax 2-a 2x +1, g (x ) =ax 2-2x +1, 实数a ≠0. (1)若a >0,求函数f (x ) 的单调区间;
(2)当函数y =f (x ) 与y =g (x ) 的图象只有一个公共点且g (x )
存在最小值时,记g (x ) 的最小值为h (a ) ,求h (a ) 的值域; (3)若f (x ) 与g (x ) 在区间(a , a +2) 内均为增函数,求a 的取值范围。
20、已知函数f (x ) =
,证明
:
(I ) 求证:对任意的
(I I )
求. 设
(I I I )
131
x +(p -1) x 2+qx (p , q 为常数) 32
(1)若f (x ) 在在(x 1, x 2) 上单调递减, 在(-∞, x 1) 和(x 2, +∞) 上单调递增,且
x 2-x 1>1,求证:p 2>2(p +2q );
(2)若f (x ) 在x =1和x =3处取得极值,且在x ∈[-6,6]时,函数y =f (x ) 的图象在
直线l :15x -y +c =0的下方,求c 的取值范围?
21.(本小题满分14分)
已知函数f (x ) =3
x 3+ax 2
-bx +1(x ∈R , a ,b 为实数)有极值,且在x =1处的切线与直
线x -y +1=0平行.
(Ⅰ)求实数a 的取值范围;
(Ⅱ)是否存在实数a ,使得函数f (x ) 的极小值为1,若存在,求出实数a 的值;若不
存在,请说明理由;
(Ⅲ)设函数g (x ) =
f '(x ) -2ax +b -1
x -2ln x ,试判断函数g (x ) 在(1, +∞) 上的符号,
并证明: ln n +1(1+1n
1
n ) ≤∑(n ∈N *2) 。
i =1i
21、已知f (x ) =ax 3+bx 2+cx +d 是定义在R 上的函数, 其x 轴于A , B , C 三点, 若点B
的坐标为(2,0) , 且 f (x ) 在[-1,0]和[4,5]上有相同的单调性, 在[0,2]和[4,5]上有相反的单调性.
(1)求
b
的取值范围; a
(2)在函数f (x ) 的图象上是否存在一点M (x 0, y 0) , 使得
f (x ) 在点M 的切线斜率为3b ? 若存在, 求出点M
的坐标;若不存在, 说明理由;
(3)求AC 的取值范围。
22、(本小题满分14分) 已知函数f (x ) =ax 2+bx +c 和函数g (x ) =ln(1+x 2) +ax (a
(Ⅱ)已知关于x 的方程f (x ) =x 没有实数根,求证方程f (f (x )) =x 也没有实数根; (Ⅲ)证明:(1+
22、已知函数f (x )=x +
2
1111+)(1+⋅⋅⋅(1+
2
+a ln x x
(x >0),f (x )的导函数
是f ' (x ),对任意两个不相等的正数x 1, x 2,证明: (1)当a ≤0时,
f (x 1)+f (x 2)
>
2
⎛x +x ⎫f 12⎪ ⎝2⎭
' '
(2)当a ≤4时,f (x 1)-f (x 2)>x 1-x 2
x 1+; 241
(1)证明:存在唯一x 0∈(0,,使f (x 0) =x 0成立;
21*
(2)设x 1=0, x n +1=f (x n ), y 1=, y n +1=f (y n )(n ∈N ) ;
2
21、已知函数f (x ) =x -x +
3
2
证明:x n
21、已知函数f (x ) =-x 3+ax 2+b (a , b ∈R ) . (1)当a >0时,求函数y =f (x ) 的极值;
(2)函数y =f (x ) 的图象上任意不同的两点连线的斜率都小于2,
求证:-
y n +1-x n +11
y n -x n 2
6;
(3)对任意x 0∈[0, 1],y =f (x ) 的图像在x =x 0处的切线的斜率
为k ,求证:1≤a ≤
是|k |≤1成立的充要条件.
21. (本小题满分14分)已知函数f (x ) =2ln x -x 2+ax (a ∈R ). (Ⅰ)当a =2时,求f (x ) 的图象在x =1处的切线方程;
1
(Ⅱ)若函数g (x ) =f (x ) -ax +m 在[, e]上有两个零点,求实数m 的取值范围;
e
0) ,B (x 2,0) ,且0
x +x
. f '12
2
1+a x
22.(本小题满分14分)设f (x ) =(a >0且a ≠1),g (x ) 是f (x ) 的反函数.
1-a x
⑪设关于x 的方程log a
围;
⑫当a =e (e 为自然对数的底数)时,证明:
t
=g (x ) 在区间[2, 6]上有实数解,求t 的取值范
x 2-17-x ∑g (k ) >
k =2
n
2-n -n 22n n +1;
n
1
⑬当0
2k =1
22. (本小题共14分)已知函数f (x ) =
21
x +,h (x ) =x 32
⑪设函数F (x ) =f (x ) -h (x ) ,求F (x ) 的单调区间与极值;
⑫设a ∈R ,解关于x 的方程log 4⎢
100
3⎤⎡3
f (x -1) -⎥=log 2h (a -x ) -log 2h (4-x )
4⎦⎣2
⑬试比较f (100) h (100) -
22、(本小题满分14分)
∑h (k ) 与6的大小
k =1
1
a n
已知a 为正实数,抛物线y =-x +与x 轴正半轴相交于点A ,设f (n ) n 为自然数,
2
为该抛物线在点A 处的切线在y 轴上的截距。
2
(Ⅰ)用a 和n 表示f (n ) ;
f (n ) -1n 3
≥3成立的a 的最小值; (Ⅱ)求对所有n 都有
f (n ) +1n +1
(Ⅲ)当0
∑
k =1
n
27f (1)-f (n ) 1
与的大小,并说明理由。 4f (0)-f (1)f (k ) -f (2k )
⎧x 2+2x +a , x
21.(本小题满分14分) 已知函数f (x ) =⎨,其中a 是实数.设A (x 1, f (x 1)) ,
ln x , x >0⎩
B (x 2, f (x 2)) 为该函数图象上的两点,且x 1
(Ⅰ)指出函数f (x ) 的单调区间;
(Ⅱ)若函数f (x ) 的图象在点A , B 处的切线互相垂直,且x 2
21. (本小题满分12分)
已知a >0, 且a ≠1函数f (x ) =log a (1-a x ) 。 (I )求函数f (x ) 的定义域,并判断f (x ) 的单调性;
a f (n )
; (II )若n ∈N , 求lim n
n →+∞a +a
*
(III )当a =e (e 为自然对数的底数)时,设h (x ) =(1-e 的极值存在,求实数m 的取值范围以及函数h (x ) 的极值。
f (x )
)(x 2-m +1) ,若函数h (x )
22.(本小题满分13分)
已知函数f (x ) =e ax -x ,其中a ≠0.
(Ⅰ)若对一切x ∈R ,f (x ) ≥1恒成立,求a 的取值集合.
(Ⅱ)在函数f (x ) 的图像上取定两点A (x 1, f (x 1)), B (x 2, f (x 2))(x 1
斜率为k . 问:是否存在x 0∈(x 1, x 2) ,使f '(x ) >k 成立?若存在,求x 0的取值范围;若不存在,请说明理由.
21.(本小题满分14分)
已知函数f (x ) =ln x -x ,h (x ) =(1)求h (x ) 的最大值;
(2)若关于x 的不等式xf (x ) ≥-2x +ax -12对一切x ∈(0, +∞)恒成立,求实数a 的
2
ln x
. x
取值范围;
(3)若关于x 的方程f (x )-x +2ex -bx =0恰有一解,其中e 为自然对数的底数,
3
2
求实数b 的值.
22.(本小题满分14分)
设a >0,函数f (x ) =
1
. 2
x +a
(1)求证:关于x 的方程f (x ) =(2)求函数g (x ) =
1
没有实数根; x -1
131
的单调区间; ax +ax +
3f (x )
a=2
且
(3)设数列{x n }满足x 1=0, x n +1=f (x n )(n ∈N *) ,当
0
11
(k =2,3, 4, ) ,证明:对任意m ∈N *都有|x m +k -x k |
21. (本小题满分14分) 已知函数
(I)若a = 1,求函数h(x)的极值; (II )若函数Y =H (x)在
上单调递增,求实数A 的取值范围;
,使线段AB
?若存在,求出x 0; 若不存在,
(III ) 在函数:y=f(x)的图象上是否存在不同的两点的中点的横坐标请说明理由.
与直线AB 的斜率k 之间满足