2016届高三高考数学易错题精选

失分点1 忽视空集致误

例1 已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若A ∪B ＝A . 求实数m 的取值范围．

正解 ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A . ∵A ＝{x |x 2－3x －10≤0}＝{x |2≤x ≤5}．

①若B ＝∅，则m ＋1>2m －1，即m

②若B ≠∅，如图所示，则m ＋1≤2m －1，即m ≥2. ⎧⎪－2≤m ＋1，

由B ⊆A 得⎨解得－3≤m ≤3. ⎪2m －1≤5. ⎩又∵m ≥2，∴2≤m ≤3. 由①②知，当m ≤3时，A ∪B ＝A .

补救训练1 已知集合A ＝{x |x 2＋(p ＋2) x ＋1＝0，p ∈R}，若A ∩R *＝∅，则实数p 的取值范围为____________． Δ＝(p ＋2) 2－4≥0，⎧⎧⎪p ≥0或p ≤－4，

即⎨解得p ≤－4. ⎨p ＋2⎪p

失分点2 忽视集合元素的特征致误

例2 设全集U ＝{2,3，a 2＋2a －3}，A ＝{|2a －1|,2}，∁U A ＝{5}，则实数a ＝________. 正解 由∁U A ＝{5}，得5∈U 且5∈A ，a 2＋2a －3＝5且|2a －1|≠5，解得a ＝2，或a ＝－4. 当a ＝－4时，集合A ＝{9,2}，U ＝{2,3,5}，显然不符合题意．故a ＝2. ⎧⎪|2a －1|＝3，

另解 由题意得⎨解得a ＝2. 2⎪⎩a ＋2a －3＝5，2补救训练2 若A ＝{1,3，x }，B ＝{x ,1}，且A ∪B ＝{1,3，x }，则这样的x 为________． 解析 由已知得B ⊆A ，∴x 2∈A 且x 2≠1.

(1)x 2＝3，得x ＝3，都符合．

(2)x 2＝x ，得x ＝0或x ＝1，而x ≠1，∴x ＝0. 综合(1)(2)，共有3个值．

失分点3 对命题的否定不当致误

ax ＋10例3 已知M 是不等式≤0的解集且5∈M ，则a 的取值范围是________． ax －255a ＋10正解 方法一 ∵5∈M ，∴>0或5a －25＝0，∴a 5或a ＝5，故填a ≥55a －25

或a

5a ＋10方法二 若5∈M ，则≤0，∴(a ＋2)(a －5) ≤0且a ≠5，∴－2≤a

－2或a ≥5.

a 2x ＋2a －12补救训练3 已知集合M ＝{x |

失分点4 函数概念不清致误

x 2

例4 已知函数f (x －3) ＝lg f (x ) 的定义域． x －42t ＋3x x 2222正解 由f (x －3) ＝lg 2，设x －3＝t ，则x ＝t ＋3，因此f (t ) ＝lg ∵2>0，即x 2>4，x －4t －1x －4

∴t ＋3>4，即t >1.∴f (x ) 的定义域为{x |x >1}．

1－x 2

补救训练4 已知g (x ) ＝1－2x ，f [g (x )]＝(x ≠0) ，那么f (2)1的值为________． x 1－411解析 令g (x ) ＝1－2x ＝2，∴x ∴f (2)＝f [g (－＝＝3. 2214 失分点5 忽视函数的定义域致误2

例5 函数y ＝log (x 2－5x ＋6) 的单调递增区间为__________．

正解 由x 2－5x ＋6>0知{x |x >3或x

补救训练5 函数f (x ) ＝log 4(7＋6x －x 2) 的单调递增区间是_______．

解析 设y ＝log 4u ，u ＝－x 2＋6x ＋7，则二次函数u ＝－x 2＋6x ＋7在(－∞，3]上为增函数， 在[3，＋∞) 上为减函数．又y ＝log 4u 是增函数，函数f (x ) ＝log 4(7＋6x －x 2) 的定义域是(－1,7) ， 故由复合函数的单调性知，所求函数的单调递增区间为(－1，3]．

失分点7 极值点概念不清致误

例7 已知f (x ) ＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值为10，则a ＋b ＝________.

正解 f ′(x ) ＝3x 2＋2ax ＋b ，由x ＝1时，函数取得极值10，得 ⎧⎪f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0， ①⎨ 2＝4a ，a ＝－3，②＋＋＝10， ⎧⎪f (1)＝1＋a ⎧⎩⎪a b ⎪ 联立①②得⎨或⎨ ⎪⎪⎩b ＝－11，⎩b ＝3. 当a ＝4，b ＝－11时，f ′(x ) ＝3x 2＋8x －11＝(3x ＋11)(x －1) 在x ＝1两侧的符号相反，符合 题意．当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x ) ＝3(x －1) 2在x ＝1两侧的符号相同，所以a ＝－3，b ＝3不符合题意，舍去．综上可知a ＝4，b ＝－11，∴a ＋b ＝－7.

补救训练7 求函数f (x ) ＝x 4－x 3的极值，并说明是极小值还是极大值．

解 由f ′(x ) ＝4x 3－3x 2，当f ′(x ) ＝0，

3即4x 3－3x 2＝0时，解得x 1＝0，x 2＝4

f (x )

0，上还是减函数，于是，x ＝0由上表可知函数f (x ) 在区间(－∞，0) 上是减函数，在区间⎛⎝4

330上是减函数，在区间⎛∞⎫上是增函数，因不是函数的极值点．而函数f (x ) 在区间⎛⎝4⎝4⎭327此在x 4256

失分点8 导数与单调性的关系理解不准致误

例8 函数f (x ) ＝ax 3－x 2＋x －5在R 上是增函数，则a 的取值范围是__________． 正解 f (x ) ＝ax 3－x 2＋x －5的导数f ′(x ) ＝3ax 2－2x ＋1， ⎧⎪a >0，1由f ′(x ) ≥0，得⎨解得a ≥. 330，⎪Δ＝4－12a ≤⎩x 补救训练8 已知函数f (x ) ＝－(4m －1) x 2＋(15m 2－2m －7) x ＋2在实数集R 上是增函数，3

求实数m 的取值范围．

x 3解 ∵f (x ) ＝(4m －1) x 2＋(15m 2－2m －7) x ＋2，∴f ′(x ) ＝x 2－2(4m －1) x ＋15m 2－2m －7. 3

又f (x ) 在R 上是增函数，∴f ′(x ) ≥0在R 上恒成立．

即x 2－2(4m －1) x ＋15m 2－2m －7≥0在R 上恒成立．∴Δ＝4(m 2－6m ＋8) ≤0，得2≤m ≤4.

失分点9 忽视基本不等式的应用条件致误

2例9 函数y ＝x ＋______． x －1222正解 当x >1时，y ＝x ＋＝x －1＋1≥(x －x －1x －1x －11＋1＝＋1，当且仅当x －1＝x ＝2 x －1222当x

∴原函数的值域为(－∞，1－2]∪[1＋2，＋∞) ．

x 2＋5补救训练9 函数y ＝________． 2x ＋511解析 y x 2＋4＋令t x 2＋4≥2，∴y ＝t ＋ (t ≥2) ． t x 2＋4x 2＋415由于y ＝t 在(1，＋∞) t ＝2即x ＝0时，y 最小＝2 t 22

失分点10 图象变换方向或变换量把握不准致误

2例10 要得到y ＝sin(－3x ) 的图象，需将y (cos 3x －sin 3x ) 的图象向___________个单位2

(写出其中的一种特例即可) ．

ππ2－3x ⎫＝sin ⎡－3⎛x －⎤， 正解 y (cos 3x －sin 3x ) ＝sin ⎛⎝4⎭⎣⎝12⎦22⎛x －π⎫⎤到y ＝sin(－3x ) 只需对x 加上π即可，要由y ＝sin ⎡－3因而是对y (cos 3x －sin 3x ) ⎣⎝12⎭⎦122π 12π补救训练10 将函数y ＝f (x ) 的图象向左平移2倍(纵坐3

标不变) ，得到函数y ＝sin x 的图象，则函数f (x ) 的解析式为f (x ) ＝____________.

1解析 将y ＝sin x 的图象横坐标缩短为原来的纵坐标不变) ，得到y ＝sin 2x 的图象，再将y 2ππx －的图象． ＝sin 2x 个单位，得到y ＝sin 2⎛⎝33

2π2x －. 故f (x ) ＝sin ⎛3⎝

失分点11 忽视三角函数值对角的范围的限制致误

13ππ例11 已知cos αsin(α＋β) ，0

失分点12 解三角形时，忽视分类讨论而致误

例12 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 且a ＝1，c ＝3.

ππ(1)若C ＝，求A ；(2)若A ＝b . 36a c a sin C 1正解 (1)由正弦定理得，即sin A ＝sin A sin C c 2ππ又a 补救训练12 在△ABC 中，B ＝30°，AB ＝，AC ＝2，求△ABC 的面积．

AB ·sin B 3解 由正弦定理得sin C ＝又因为AB >AC ，所以C ＝60°或C ＝120°. AC 211当C ＝60°时，A ＝90°，于是S △ABC ＝AB ·AC 23×2＝3. 22111当C ＝120°时，A ＝30°，于是S △ABC ＝·AC ·sin A ×2×2×222

故△ABC 的面积是33.

失分点13 忽视向量共线致误

例13 已知a ＝(2,1)，b ＝(λ，1) ，λ∈R ，a 与b 的夹角为θ. 若θ为锐角，则λ的取值范围是

2λ＋12λ＋1a·b 正解 因θ为锐角，有00，⎪λ>－2，1λ＋1⎧1⎨λ|λ>－且≠. ∴⎨，解得⎨∴λ2⎩⎭2⎪⎪⎩2λ＋1≠λ＋1⎩λ≠2. π补救训练13e 1，e 2，满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1与e 2的夹角为若向量2te 1＋7e 23

与e 1＋te 2的夹角为钝角，求实数t 的范围．

解 ∵2te 1＋7e 2与e 1＋te 2的夹角为钝角，∴(2te 1＋7e 2)·(e 1＋te 2)

1te 2)(λ

若2te 1＋7e 2＝λ(e 1＋te 2)(λ

⎧2t －λ＝0⎪11414∴⎨，即t ＝－t 的取值范围为－7

失分点14 数列概念理解不透致误

例14 已知数列{a n }的前n 项之和为S n ＝n 2＋n ＋1，则数列{a n }的通项公式为__________． 正解 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，a n ＝n 2＋n ＋1－(n －1) 2－(n －1) －1＝2n ， ⎧⎪3，n ＝1，

∴a n ＝⎨ ⎪2n ，n ≥2. ⎩补救训练14 已知数列{a n }的首项为a 1＝3，通项a n 与前n 项和S n 之间满足2a n ＝S n ·S n －

1

1(n ≥2) ．(1)求证：{}是等差数列，并求其公差；(2)求数列{a n }的通项公式． S n 111解 (1)当n ≥2时，2(S n －S n －1) ＝S n ·S n －1，两端同除以S n ·S n －1S n S n －1211数列的定义，知{是等差数列，且公差为－. S n 21116(2)由第(1)问的结果可得＋(n －1) ×(，即S n ＝S n 325－3n 18当n ＝1时，a ＝3；当n ≥2时，a ＝S －S ＝－1n n n 13 (n ＝1) ，(3n －5)(3n －8) ⎧所以a ＝⎨ 18 (n ≥2). n －8) 15 忽视对等比数列中公比的分类讨论致误 ⎩(3n －5)(3失分点n

例15 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝S 9，则数列的公比q 是________． 正解 ①当q ＝1时，S 3＋S 6＝9a 1，S 9＝9a 1，∴S 3＋S 6＝S 9成立．

a 1(1－q 3) a 1(1－q 6) a 1(1－q 9) ②当q ≠1时，由S 3＋S 6＝S 9得1－q 1－q 1－q

∴q 9－q 6－q 3＋1＝0，即(q 3－1)(q 6－1) ＝0. ∵q ≠1，∴q 3－1≠0，∴q 6＝1，∴q ＝－1.

补救训练15 已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为q ，则q 的取值范围是_______．

152解析 设三角形的一边长为a ，①当q ≥1时，由a ＋aq >aq ，解得1≤q a ，解得

失分点16 忽视等比数列中的隐含条件致误

例16 各项均为实数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝10，S 30＝70，则S 40＝______. 正解 记b 1＝S 10，b 2＝S 20－S 10，b 3＝S 30－S 20，b 4＝S 40－S 30，

b 1，b 2，b 3，b 4是以公比为r ＝q 10>0的等比数列．∴b 1＋b 2＋b 3＝10＋10r ＋10r 2＝S 30＝70，

10(1－24) 2∴r ＋r －6＝0，∴r ＝2，r ＝－3(舍去) ，∴S 10＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＝＝150. 1－2*补救训练16 已知x ，y ∈N ，若x, 42，y 成等比数列，则x ＋y 的最小值是________．

解析 xy ＝2) 2＝32＝1×32＝2×16＝4×8 (x 、y ∈N *) ．

∴x ＋y 的最小值为12.

失分点17 对数列的递推关系转化不当致误

2x 2a 例17 已知函数f (x ) ＝，数列{a n }满足a 1＝a n ＋1＝f (a n ), b n ＝，n ∈N *，求数列{b n }3x ＋11－a n

的通项公式．

2x 2a 111111正解 ∵f (x ) ＝∴a n ＋1＝f (a n ) ＝，∴＋. ∴－1(1) ，又b n ＝2a n x ＋1a n ＋1a n ＋122a n a n ＋1a 11111a ∴＝－1，∴＝，∴b n ＋1＝2b n ，又b 1＝＝2， b n a n 1－a n b n ＋12b n 1－a 1

∴{b n }是以2为首项，公比为2的等比数列，∴b n ＝2n .

1补救训练17 已知函数f (x ) 满足：对任意的x ∈R ，x ≠0，恒有f () ＝x 成立，数列{a n }、{b n }x a f (a ) 1满足a 1＝1，b 1＝1，且对任意n ∈N *，均有a n ＋1b n ＋1－b n ＝a n f (a n ) ＋2

(1)求函数f (x ) 的解析式；(2)求数列{a n }、{b n }的通项公式；

(3)对于λ∈[0,1]，是否存在k ∈N *，使得当n ≥k 时，b n ≥(1－λ) f (a n ) 恒成立？若存在，试求k 的最小值；若不存在，请说明理由．

1111解 (1)令t ＝，则t ≠0，∵f (＝x ，∴f (t ) ＝(t ≠0) ，即f (x ) x ≠0) ． x x t x 1a f (a ) 1a 1111(2)∵f (a n ) ＝∴a n ＋122， a n f (a n ) ＋2122a n ＋1a n ＋1a n a n ＋1a n 111a n ∴{}是以1为首项，公差为2的等差数列，∴1＋2(n －1) ＝2n －1，∴a n ＝a n a n 2n －11又b n ＋1－b n ＝＝2n －1，∴b n －b n －1＝2n －3，b n －1－b n －2＝2n －5，b n －2－b n －3＝2n －7， a n

„ „b 3－b 2＝3，b 2－b 1＝1，

(1＋2n －3)·(n －1) 把以上各式累加得，b n －b 1＝1＋3＋5＋„＋(2n －3) ＝＝n 2－2n ＋1，∴b n 2

＝n 2－2n ＋2.(3)对于λ∈[0,1]时，b n ≥(1－λ) f (a n ) 恒成立，等价于λ∈[0,1]时，n 2－2n ＋2≥(1－λ)·(2n －1) 恒成立，等价于λ∈[0,1]时，(2n －1)·λ＋n 2－4n ＋3≥0恒成立，设g (λ) ＝(2n －1) λ⎧⎪g (0)≥0，22＋n －4n ＋3≥0，对于λ∈[0,1]，(2n －1)·λ＋n －4n ＋3≥0恒成立，则有⎨解得n ≥3⎪g (1)≥0，⎩*或n ≤1. 由此可见存在k ∈N ，使得当n ≥k 时，b n ≥(1－λ) f (a n ) 恒成立，其最小值为3.

失分点18 对线面关系定理条件把握不准致误

例18 已知m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面．给出下列命题：

(1)若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊥m ，则n ⊥α，或n ⊥β；(2)若α∥β，α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，则m ∥n ；

(3)若m 不垂直于α，则m 不可能垂直于α内的无数条直线；

(4)若α∩β＝m ，n ∥m ，且n ⊄α，n ⊄β，则n ∥α，且n ∥β；(5)若m 、n 为异面直线，则存在平面α过m 且使n ⊥α. 其中正确的命题序号是________．

正解 (1)是错误的．如正方体中面ABB ′A ′⊥面ADD ′A ′，交线为AA ′.

直线AC ⊥AA ′，但AC 不垂直面ABB ′A ′，同时AC 也不垂直面ADD ′A ′.

(2)正确．实质上是两平面平行的性质定理．(3)是错误的．在上面的正方体中，A ′C 不垂直于平面A ′B ′C ′D ′，但与B ′D ′垂直．这样A ′C 就垂直于平面A ′B ′C ′D ′内与直线B ′D ′平行的无数条直线．(4)正确．利用线面平行的判定定理即可．

(5)错误．从结论考虑，若n ⊥α且m ⊂α，

则必有m ⊥n ，事实上，条件并不能保证m ⊥n . 故错误．

补救训练18 已知α、β、γ是三个互不重合的平面，l 是一条直线，给出下列四个命题： ①若α⊥β，l ⊥β，则l ∥α；②若l ⊥α，l ∥β，则α⊥β；③若l 上有两个点到α的距离相等，则l ∥α；④若α⊥β，α∥γ，则γ⊥β. 其中正确命题的序号是________．

解析①有直线l ⊂α的可能；②正确；③中包含两个点在平面两侧的情况；④正确．故填②④.

失分点21 忽视对直线斜率为零或, 斜率不存在等特殊情况的讨论致误

例21 与抛物线y 2＝2x 有且仅有一个交点，并且过点(0,1)的直线方程为_______． 解析 ①当所求直线斜率不存在时，即直线垂直x 轴时．

因为过点(0,1)，所以x ＝0，即y 轴，它正好与抛物线y 2＝2x 相切．

②当所求直线斜率为零时，直线为y ＝1，平行x 轴，它正好与抛物线y 2＝2x 只有一个交点． ③当直线与x 轴不平行也不垂直时，设所求的过点(0,1)的直线为y ＝kx ＋1 (k ≠0) ，则⎧⎪y ＝kx ＋1，⎨2故有k 2x 2＋(2k －2) x ＋1＝0. ⎪⎩y ＝2x . 1令Δ＝0，解得k ＝，所以，所求直线为x －2y ＋2＝0. 2

综上，满足条件的直线为：y ＝1、x ＝0和x －2y ＋2＝0.

失分点22 忽视曲线存在的条件致误

例22 已知圆C 的方程为x 2＋y 2＋ax ＋2y ＋a 2＝0，一定点为A (1,2)，且过定点A (1,2)作圆的切线有两条，求a 的取值范围． 24－3a a 2正解 将圆C 的方程配方有(x ＋) ＋(y ＋1) 2＝ 2424－3a 4－3a 2a ∴， ①∴圆心C 的坐标为(－1) ，半径r ＝当点A 在圆外时，过点A 424－3a a 22可作圆的两条切线，∴AC >r ，即 (1＋(2＋1) >，化简得a 2＋a ＋9>0. 2223233 ②由①②

补救训练22 已知方程＋＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围5－2m |m |－1

是_______．

解析 因为焦点在y 轴上，所以其标准方程应为

y 2x 2551(a >b >0)，故|m |－1>5－2m >0，解得2

失分点23 考虑不周全忽视特殊情况致误

x 2y 2

例23 双曲线－＝1 (a >0，b >0)的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且PF 1＝2PF 2，a b

则双曲线离心率的取值范围为________．

正解 设PF 2＝m ，∠F 1PF 2＝θ (0

由条件，得PF 22m ) 2－4m 2cos θ，且|PF 1－PF 2|＝m ＝2a .

m 2＋(2m ) 2－4m 2cos θ2c 所以e ＝5－4cos θ. 2a m

又－1≤cos θ

x 2y 2

补救训练23 已知双曲线－＝1 (b >a >0)，直线l 过点A (a, 0) 和B (0，b ) ，且原点到直线l a b 3c (c 为半焦距) ，则双曲线的离心率为________． 4x y 解析 因为直线l 过点A (a, 0) 和B (0，b ) ，所以其方程为1，即bx ＋ay －ab ＝0. a b 3ab 3又原点到直线l 的距离为. 4422a ＋b 又a 2＋b 2＝c 2，所以4ab c 2，即a 2(c 2－a 2) ＝3c 4.

4所以3e 4－16e 2＋16＝0，解得e 2＝4或e 2322222a ＋b a ＋a c 又b >a >0，e 2＝＝2. 所以e 2＝4，故e ＝2. a a a

失分点24 忽视“判别式”致误

y 2

例24 已知双曲线x ＝1，过点B (1,1)能否作直线m ，使m 与已知双曲线交于Q 1，Q 222

两点，且B 是线段Q 1Q 2的中点？这样的直线m 如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由． ①⎧2正解 设Q (x ，y ) ，Q (x ，y ) ，代入双曲线方程得⎨ y x －＝1. ②y －y 12的中点，∴k ＝①－②得(x ＋x )(x －x ) y ＋y )(y －y ) ．∵B (1,1)⎩为Q Q ＝2. [***********]22y x 1－＝1，

12⎧y ＝2x －1，x 1－x 2⎪

2∴直线方程为y －1＝2(x －1) ，即2x －y －1＝0. 联立⎨消去y 得2x 2－4x ＋3＝0. y x 2－1⎪2⎩Δ＝(－4) 2－4×2×3＝－8

失分点25 忽视限制条件致误

例25 已知圆C 1：(x ＋3) 2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3) 2＋y 2＝9，

动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________．

正解 如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .

根据两圆外切的条件，得MC 1－AC 1＝MA ，MC 2－BC 2＝MB . 因为MA ＝MB ，

所以MC 1－AC 1＝MC 2－BC 2，即MC 2－MC 1＝BC 2－AC 1＝2. 所以点M 到两定点C 1、C 2的距离的差是常数．又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离

222y 大，与C 1的距离小) ，其中a ＝1，c ＝3，则b ＝8. 故点M 的轨迹方程为x －＝1(x

补救训练25 如图所示，过点P (0，－2) 的

直线l 交抛物线y 2＝4x 于A ，B 两点，求以OA , OB 为邻边的平行四边形OAMB 的顶点M 的轨迹方程．

解 设A (x 1，y 1) ，B (x 2，y 2) ，M (x ，y ) ，设直线l 的方程为y ＝kx －2

(k ≠0) ．与抛物线方程y 2＝4x 联立消去y ，得k 2x 2－4(k ＋1) x ＋4＝0

4(k ＋1) 4由根与系数的关系有x 1＋x 2＝x 1x 2＝∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2

) k k 4－4＝， k

4(k ＋1) 4又在平行四边形OAMB 中，AB 中点即为OM 中点．∴x 1＋x 2＝x ＝y 1＋y 2＝y ＝， k k

消去k 即得(y ＋2) 2＝4(x ＋1) ．又直线l 与抛物线y 2＝4x 交于不同两点，

1422故Δ＝[－4(k ＋1)]－16k ＝32k ＋16>0，解得k >代入y y 0.故M 点的轨2k

2迹方程为(y ＋2) ＝4(x ＋1) (y 0)．

失分点26对样本容量概念不清致误

例26某工厂生产A ，B ，C ，D 四种不同型号的产品，产品数量之比依次为2∶3∶5∶1，现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 型号有16件，那么此样本容量n 的值是________．

正解 在分层抽样中，每一层所抽的个体数的比例与总体中各层个体数的比例是一致的，

2＋3＋5＋1所以，样本容量为n ＝×16＝88. 2

失分点27对互斥事件概率加法公式理解不透致误

例27抛掷一均匀的正方体玩具(各面分别标有数字1、2、

3、4、5、6) ，事件A 表示“朝上一面的数是奇数”，事件B 表示“朝上一面的数不超过3”，求P (A+B) ．

正解 将A ＋B 分成出现“1、2、3”与“5”这两个事件，记出现“1、2、3”为事件C ，

31出现“5”为事件D ，则C 与D 两事件互斥，所以P (A ＋B ) ＝P (C ＋D ) ＝P (C ) ＋P (D ) ＝＋6623

补救训练30 (原创题) 某班共有学生54人，其中男生30人，女生24人．第一组男生3人，女生6人．现随机抽一名学生帮助老师整理档案, 求抽到男生或第一组学生的概率． 解 设“抽到男生”记事件A ，“抽到第一组学生”记事件B .

则A +B ＝{抽到男生或第一组学生}．

30＋62∴P (A +B ) ＝543