高二数学选修1-2推理与证明测试题及答案

推理与证明

本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 满分150分. 测试时间120分钟. 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面, 则平行于平面内所有直线；已知直线b ⊆/平面α，

≠

直线a ⊂平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的，这是因为（ ） A. 大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误

2. 下面使用类比推理，得到正确结论的是（ ） A. “若a ⋅3=b ⋅3, 则a =b ”类推出“若a ⋅0=b ⋅0, 则a =b ” B. “若(a +b ) c =ac +bc ”类推出“(a ⋅b ) c =ac ⋅bc ”

a +b a b

=+ （c ≠0）” c c c

n n

（a b ）=a n b n ” 类推出“（a +b ）=a n +b n ” D. “

C. “若(a +b ) c =ac +bc ” 类推出“

3. 在十进制中2004=4⨯10+0⨯10+0⨯10+2⨯10，那么在5进制中数码2004折合成十进制为( ) A.29 B. 254 C. 602 D. 2004

1

2

3

'''

4. 设f 0(x ) =sin x ，f 1(x ) =f 0(x ) ，f 2(x ) =f 1(x ) ，„，f n +1(x ) =f n (x ) ，n ∈N ，则f 2010(x )

＝（ ）

A. cos x B ．－cos x C ．sin x D －sin x

5. 有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为（ ） A. 大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 6. 下面几种推理是类比推理的是（ ）

A . 两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 和∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A +∠

B =1800

B . 由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质

C . 某校高二级有20个班，1班有51位团员，2班有53位团员，3班有52位团员，由此可以推

测各班都超过50位团员.

D . 一切偶数都能被2整除，2100是偶数，所以2100能被2整除.

7. 黑白两种颜色的正六形地面砖块按如图的规律拼成若干个图案，则第五个图案中有白色地面砖（ ）块.

A.21 B.22 C.20 D.23

8. 用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0) 有有理根，那么a , b , c 中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（ ）

（A ）假设a , b , c 不都是偶数 （B ）假设a , b , c 都不是偶数 （C ）假设a , b , c 至多有一个是偶数 （D ）假设a , b , c 至多有两个是偶数

9．如果f (a +b ) =f (a ) f (b ) 且f (1) =2, 则

A ．

12 5

f (2) f (4) f (6)

++=( ) ． f (1) f (3) f (5)

B ．

37 5

C ．6 D ．8

⎧x (x ≥y ) 31

10、定义运算:x ∙y =⎨例如3∙4=4, 则(-) ∙(cos2α+sin α-) 的最大值为(

24⎩y (x

)

A .4 B .3 C .2 D .1

11. 下面的四个不等式：①a +b +c ≥ab +bc +ca ；②a (1-a )≤

2

2

2

1a b

；③+≥2 ；④4b a

(a

2

+b 2∙c 2+d 2≥(ac +bd ). 其中不成立的有

2

)()

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 12. 已知f (x +1) =

2f (x )

（x ∈N *）, f (1)=1 ，猜想f (x ）的表达式为( )

f (x ) +2

A. f (x ) =

4212

f (x ) =f (x ) =f (x ) = B. C. D.

2x +2x +1x +12x +1

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

13. 已知一列数1，－5，9，－13，17，„„，根据其规律，下一个数应为． 14. 下列表述正确的是

①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理。

15. 在数列{a n }中，a 1=1, a n +1=

2a n

n ∈N *), 猜想这个数列的通项公式是 ． (a n +2

16. 平面内2条相交直线最多有1个交点；3条相交直线最多有3个交点；试猜想：n 条相交直线最

多把有____________个交点

2+3+4=3，3+4+5+6+7=5中，可得到一般规律为 (用数学表17. 从1=1，

达式表示) 。

222

18．将全体正整数排成一个三角形数阵：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ． ． ． ． ． ． ．

按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3个数为 ． 三、解答题（本大题共3小题，共60分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程） 19．（本题共3小题，每题10分，共30分） （1）求证：当a 、b 、c 为正数时，(a +b +c )(

111

++) ≥9. a b c

（2）已知n ≥0, 试用分析法证明+2-n +1

2

（3）已知x ∈R ，a =x -1，b =2x +2。求证a , b 中至少有一个不少于0。

20．（15分）

在∆ABC 中，三个内角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列，求证：∆ABC 为等边三角形。 21．（15分）

已知：0b

a

推理与证明测试题参考答案

二、13. －21 14) ①③⑤ 15)

2n (n -1) 16) n +12

2

n 2-n +6

17. n +(n +1) +(n +2) +...... +(3n -2) =(2n -1) 18.

2

三、解答题（本大题共3小题，共60分） 19（本大题30分） （1）证明：左边=3+

⎛a b ⎫⎛c b ⎫⎛a c ⎫

+⎪+ +⎪+ +⎪ …………5分 b a ⎭⎝b c ⎭⎝c a ⎭⎝

因为：a 、b 、c 为正数 所以：左边≥3+2

a b c b a c

⋅+2⋅+2⋅ b a b c c a

=3+2+2+2=9 …………8分

⎛111⎫

…………10分 ∴(a +b +c ) ++⎪≥9

⎝a b c ⎭

（2）证明：要证上式成立，需证n +2+>2n +1 …………2分 需证(n +2+n ) 2>(2n +1) 2 需证n +1>

2

n 2+2n …………6分

2

需证(n +1) >n +2n 需证n +2n +1>n +2n ，

只需证1>0 …………8分

因为1>0显然成立，所以原命题成立 …………10分

2

2

（3）证明：假设a , b 中没有一个不少于0，即a

又a +b =x 2-1+2x +2=x 2+2x +1=(x +1) 2≥0 …………8分 这与假设所得结论矛盾，故假设不成立

所以a , b 中至少有一个不少于0 …………10分 20（15分）

证明：A 、B 、C 成等差数列

∴A+C=2B 由A+B+C=1800得：B=600 ∴C O S B

=12

即：

a 2+c 2-b 22ac =1

2 b 2=a 2+b 2

-a c ① 又

a 、b 、c 成等比数列 ∴b 2=ac ② 由①②得：ac =a 2+b 2

-ac

即：(a -c ) 2

=0 ∴a =c

∴∆ABC 是等腰三角形 又

B=600

∴∆ABC 是等边三角形 21．（15分）

解：（1）取a =2, b =1可知：a b

>b a

，

又当a =1, b =

12

时，a b >b a

由此猜测a b

>b a

对一切0要证a b

>b a

对一切0需证ln a b

>ln b a

需证b ln a >a ln b

需证

ln a a >ln b

b

设函数f (x ) =ln x

x

x ∈(0,e )

…………4分

…………8分

…………10分

………13分

…………15分 „„„„5分

„„„„10分

1-ln x

，当x ∈(0, e ) 时，f '(x ) >0恒成立 x 2ln x

∴f (x ) =在(0, e ) 上单调递增 „„„„13分

x

ln a ln b

∴f (a ) >f (b ) 即>

a b

f '(x ) =

∴a b >b a

„„„„15分