2013高考数学考点23_线性规划
考点23 线性规划 【高考再现】
热点一 求最值
⎧x -y +1≥0⎪⎪
2.(2012年高考全国卷理科13) 若x , y 满足约束条件⎨x +y -3≤0，则z =3x -y 的最小值为
.
⎪⎪⎩x +3y -3≥0
3. （2012年高考新课标全国卷文科
5）已知正三角形ABC 的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部，则z =－x+y的取值范围是 （A ）(13，2) （B ）(0，2) （C ）3－1，2) （D ）(0，3)
【方法总结】
1．最优解问题
如果可行域是一个多边形，那么目标函数一般在某顶点处取得最大值或最小值，最优解就是该点的坐标，到底哪个顶点为最优解，只要将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是．特别地，当表示线性目标函数的直线与可行域的某条边平行时(k ＝k 1) ，其最优解可能有无数个． 2．整数解问题
若实际问题要求的最优解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解(近似解) ，这时应作适当的调整，其方法是在线性目标函数的直线的附近寻求与此直线距离最近的整点，也可以在用图解法所得到的近似解附近寻找． 热点二 与其它知识交汇
⎧x +y -3≤0⎪x
4.(2012年高考福建卷理科9) 若直线y =2上存在点(x , y ) 满足约束条件⎨x -2y -3≤0，则实数m 的最大值为（ ）
⎪x ≥m ⎩
A ．
13
B ．1 C ． D ．2 22
5.(2012年高考上海卷文科10) 满足约束条件x +2y ≤2的目标函数z =y -x 的最小值是
.
【方法总结】常见的目标
函数有
(1)截距型：形如z ＝ax ＋by .
a z
求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式： y ＝－b ＋b 通过求直线的z
b 的最值间接求出z 的最值． (2)距离型：形如z ＝(x －a ) 2＋(y －b ) 2. y －b
(3)斜率型：形如z ＝.
x －a 注意转化的等价性及几何意义. 热点三 实际应用
6.(2012年高考江西卷理科8) 某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50计，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表
为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入 总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（ ） A ．50，0 B ．30，20 C ．20，30 D ．0，50
7.(2012年高考四川卷理科9) 某
公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，
每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料1千克。
B 原料都不超过12千克。通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）
A 、1800元 B 、2400元 C 、2800元 D 、3100元
【方法总结】解答线性规划应用题的一般步骤可归纳为：
(1)审题——仔细阅读，明确有哪些限制条件，目标函数是什么？ (2)转化——设元．写出约束条件和目标函数;
(3)求解——关键是明确目标函数所表示的直线与可行域边界直线斜率间的关系； (4)作答——就应用题提出的问题作出回答．
体现考纲中要求会从实际问题中抽象出二元线性规划. 来年需要注意简单的线性规划求最值问题.
【考点剖析】
一．明确要求
1. 会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．
2. 了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组． 3. 会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决. 二．命题方向
1. 求二元一次不等式(组) 表示的平面区域的面积、求目标函数的最值及简单的线性规划实际应用问题是命题的热点．
2. 题型多为选择、填空题，着重考查平面区域的画法及目标函数最值问题，注重考查等价转化、数形结合思想.
三．规律总结
一种方法
确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法． (1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直成实线．
(2)特殊点定域，即在直线Ax ＋By ＋C ＝0的某一式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点
侧取一个特殊点(x 0，y 0) 作为测试点代入不等的这一侧，否则就表示直线的另一侧．特别线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画
地，当C ≠0时，常把原点作为测试点；当C ＝0时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点． 一个步骤
利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是： (1)在平面直角坐标系内作出可行域；
(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；
(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解； (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值． 两个防范
(1)画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．
a z
(2)求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0) 的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－b x ＋b ，通过求直z z z
线的截距b 的最值间接求出z 的最值．要注意：当b ＞0时，截距b 取最大值时，z 也取最大值；截距b 取最小值z z
时，z 也取最小值；当b ＜0时，截距b z 取最小值；截距b 取最小值时，z 取最大值．
【基础练习】
1．(人教A 版教材习题改编) 如图所示的平面区域(阴影部分) ，用不等式表示为
( ) ．
A ．2x －y －3＜0 B ．2x －y －3＞0 C ．2x －y －3≤0 D ．2x －y －3≥
2.(教材习题改编) 已知实数x 、y 满
x ≥1，⎧⎪
足⎨y ≤2，则此不等式组表示的平面区域的面积是 ( ) ⎪⎩x －y ≤0，
11 A. B.
241
C ．1 D. 8
3.(经典习题) 变量x ，y 满足| x |＋|y |≤1，则x ＋2y 的最大值和最小值分别为
( ) ．
A ．1，－1 C ．1，－2
B ．2，－2 D ．2，－1
解析 法一 特殊值验证：当y ＝1，x ＝0时，x ＋2y ＝2，排除A ，C ；当y ＝－1，x ＝0时，x ＋2y ＝－2，排除D ，故选
B.
法二 直接求解：如图，先画出不等式|x |＋|y |≤1表示的平面区域，易知当直线x ＋2y ＝u 经过点B ，D 时分别对应u 的最大值和最小值，所以u max ＝2，u min ＝－2. 答案 B
⎧0≤x ≤
4.(经典习题) 已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎨y ≤2，
⎩x ≤ 2y
→·
点A 的坐标为2，1) 则z ＝OM O →A 的最大值为( ) ． A ．3 B ．4 C ．2 D ．2
2，
给定．若M (x ，y ) 为D 上的动点，
4．完成一项装修工程需要木
工和瓦工共同完成．请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x 人，瓦工y 人，请工人的约束条件是________．
【名校模拟】
一．基础扎实
ìïïïx -ïï
1．(2012北京海淀区高三年级第二学期期末练习理) 若整数x , y 满足ïíx +
ïïïïy £ïïî
y ? 1,
y ? 1, 则2x +y 的最大值是
3, 2
2. (北京市西城区2012届高三下学期二模试卷文) 设变量x ，y 满足⎨【答案】-2
【解析】画出可行域可知，当过点（-1,0）时2x +y 的最小值为-2.
⎧-1≤x +y ≤1,
则2x +y 的最小值是_____．
⎩-1≤x -y ≤1,
3． (唐山市2011—2012学年度高三年级第一次模拟考试文) 设变量x 、y 满足约束条件
⎧x -y +1≥0⎪
⎨x +2y -2≥0, ⎪2x +y -7≤0⎩
则z =x +y 的最大值
为
(A) 3 (B)2 (C) 1
(D) 5
4．(湖北省武汉外国语学校 钟祥
⎧3x -y -6≤0⎪
一中2012届高三4月联考文) 设x , y 满足⎨x -y +2≥0，若目标函数z =ax +y (a >0) 最大值为14，则a 为（ ）
⎪x +y ≥3⎩
A ．
53 9
B ．23 D ．1
C ．2
⎧x -y +1≤0,
5.(北京市朝阳区2012届高三年级第二次综合练习理) 若实数x , y 满足⎨则
x ≤0, ⎩
x 2+y 2的最小值是
6（湖北襄阳五中2012高三年级第二次适应性考试文）若变量x , y 满足约束条件
是________ 答案：2
⎧x ≥1
⎪
⎨y ≥x
⎪3x +2y ≤15⎩
，则
w =log 3(2x +y )
的最大值
解析：由题意得，画出实数x , y 满足条件所表示的可行域，当取可行域内点A (3,3)时，目标函数z =2x +y 取得最大值，此时最大值为9，所以w =log 3(2x +y ) 的最大值为2.
二．能力拔高
7.(江西省2012届十所重点中学第二次联考文) 实数x ，y 满足不等式组
⎧y ≥0, ⎪
⎨x -y ≥0, ⎪2x -y -2≥0, ⎩
ω=
则
y -1
x +1的取值范围是 （ ）
11[-, ]A ．23 1[-1, ]
3 B ．
C ．
[-1,1)
⎡1⎫
-,1⎪⎢
D ．⎣2⎭
8. （山东省济南市2012届高
三3月（二模）月考理）已知实数x , y 满足|2x +y +1|≤|x +2y +2|，且-1≤y ≤1，则z =2x +y 的最大值
A. 6 B. 5 C. 4
D. -3
9. （成都市2012届高中毕业班第
二次诊断性检测理）若实数x,y
满足(A)O (B)
(C)2 (D)4
，则的最小值为
10. (2012东城区普通高中示范校
高三综合练习（二）理)
⎧x -3y +4≥0, ⎪
已知约束条件⎨x +2y -1≥0, 若目标函数z =x +ay (a >0) 恰好在点(2,2)处取得最大值，则a 的取值范围为
⎪3x +y -8≤0, ⎩
( ) A. 0
1
3
B. a ≥
111 C. a > D . 0
11. (东城区普通高中示范校高三综
合练习(二) （文）)
如果直线y =kx +1与圆x +y +kx +my -4=0相交于P 、Q 两点，且点P 、Q 关于直线x +y =0对称，则 不等式组
2
2
⎧kx -y +1≥0,
⎪
⎨kx -my ≤0, 表示的平面区域的面积是 ⎪y ≥0. ⎩
A ．2
B ．1
C ．
1 2
D ．
14
⎧2x -y +2≥0⎪
12.(2012年石家庄市高中毕业班教学质量检测(二) 理) 已知点Q (5，4) ，动点P (x ，y ) 满足⎨x +y -2≤0，则|PQ |的
⎪y -1≥0⎩
最小值为 A ．5 B．
4
C．2 D．
7 3
13. （宁波四中2011学年第一学
⎧x -y +1≥0
5⎪
期期末考试理）已知实数x , y 满足⎨x +2y -8≤0，若(3, ) 是使得ax -y 取得最小值的可行解，则实数a 的取值范围为
2⎪x ≤3
⎩
▲ .
14. (山西省2012年高考考前适应性
⎧x +y -1≤0, ⎪
训练文) 不等式组⎨x -y +1≥0, 表示的平面区域内到直线y =2x -4的距离最远的点的坐标为 ．
⎪y ≥0, ⎩
【答案】 (-1,0)
【解析】 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线y =2x -4，结合图形不难得知，在该平面区域内所有的
点中，点(-1,0)到直线y =2x -4的距离最远.
ìx +y ? 0, ïïï
15.(湖北武汉2012适应性训练理) 设z =2x +y ，其中x , y 满足ï íx -y ? 0, 若z 的最大值为6，则（Ⅰ）k 的值为 ；
ïï铮ïî0y ? k .
（Ⅱ）z 的最小值为
16.(2012黄冈市模拟及答题适应
x ≥0, ⎧
⎪
y ≤1, 性试理) 已知实数x ，y 满足⎨若目标函数z=ax+y（a ≠0）取得最小值时的最优解有无数个，则实数a 的值为
⎪2x -2y +1≤0. ⎩
______________.
三．提升自我
17. （台州2012高三调研试卷理）
18. (2012年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试理) 已知实数x ，y 满足
A. 9 B. 17 C. 5
D. 15
则
的最大值为
⎧3cos θ≤x ≤cos θ
19.(浙江省2012届重点中学协作体高三第二学期高考仿真试题理) 点M (x , y ) 满足：⎨(θ∈R ) ，点N (x , y ) 满足：
3sin θ≤y ≤sin θ⎩
(x -3) 2+(y -3) 2=1
uuu r
则|MN |的最小值是
A ．32-3 B ．32-4 C ．5 D ．4
【原创预测】
1. 若不等式组
A ．-2
表示的平面区域是三角形，则实数k 的取值范围是
2 3
B ．k
2 3
C ．-2
22 D ．k
⎧2x -y ≤0⎪222
2. 已知实数x 、y 满足⎨x +y -5≥0，若不等式a (x +y ) ≥(x +y ) 恒成立，则实数a 的最小值是
⎪y -4≤0⎩
(A)
25 17
(B)
89
(C) (D) 2 55
x ≤1⎧
⎪
y ≤33.(襄阳五中高三年级第一次适应性考试理) 若不等式组⎨表示的平面区域经过四个象限，则实数λ的取值范
⎪λx -y +2λ-2≥0⎩
围是（ ）
A ．(-∞, 2) B ．[-1,1] C ．[-1, 2) D ．[1,+∞
)
值为a 的值是
A ．-2 B ．l
C ．1
D ．
2
⎧y 2-x ≤0
5. 已知实数x , y 满足⎨，则2x +y 的最小值为____，最大值为____.
x +y ≤2⎩
2
【答案】-,6，解：作出可行域，联立y -x =0和x +y =2解得两交点分别为A (1,1)，B (4,-2) ，平移直线2x +y =0，
18
当经过B (4,-2) 时，有(2x +y ) max =6；当平移至与抛物线y -x =0相切时，有(2x +y ) min =-为.
6.
2
1
。故最小值、最大值分别8