正弦,余弦定理(学生)
正弦、余弦定理
一.三角形基本公式:
(1)内角和定理:A+B+C=180°,sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC, CABCAB=sin, sin=cos 2222
111(2)面积公式:S=absinC=bcsinA=casinB 222
abc2.正弦定理:2R外 sinAsinBsinC
b2c2a2
2223.余弦定理:a=b+c-2bccosA, cosA; 2bccos
二.经典例题
1.基本运算
00例1. 在△ABC中,已知a8,B=60,C=75,则b等于 22 3
例2. 在△ABC中,a、b、c分别是三内角A、B、C的对边, A75,C45,b=2,则此三角形的最小边长A.46 B.45 C.4 D.为( )
222662 B. C. D. 3344
1例3. 在ABC中, 若a3,cosA,则ABC的外接圆的半径为( ) 2
1A. B.23 C. D.22 A.
例4.在△ABC中,若cabab,则∠C=( )
A. 60° B. 90° C. 150° D. 120°
例5. 在ABC中,B30,AB23,AC2,那么ABC的面积是 ( ) A.2 B. C.23或4 D.3或2 222
a2b2c2
例6. 已知三角形ABC的面积S,则角C的大小为 4
0000A. 30 B.45 C.60 D.75
例7. 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b, c,若b2c2a2bc,且4,则△ABC的面积等于 .
例8. 在ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若ab,则ABC的形状一定是 ( ) cosBcosA
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形
例9.在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a
(A)3 (B)bsinA,则sinB 66 (C) (D) 333
22例10. 在ABC中,a、b、c分别是三内角A、B、C的对边,且sinAsinC(sinAsinB)sinB,则角C等
于( )
A.5 B. C. 663D.2 3
例11. 在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c ,若
3bccosAacosC,则cosA
例12. 在ABC中,若cosBb cosC2ac
(1)求角B的大小
(2
)若b,ac4,求ABC的面积
例13. 在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,cosB=
( I)求△ABC的面积;
( II)若a=7,求角 C。
3,且ABBC=—21. 5
练习:
1. 在ABC中,B=30,C=45,c=1,则最短边长为( )
A
B
C.1
2 D
ABCB60
2. 在中,已知a8,,C75,则b的值为( )
A.
B.
C.D.32
3
3. 在ABC中,a2c2b2ab,则C( )
A.60 B.45或135 C.120 D.30
4. 边长为5,7,8的三角形的最大角的余弦是( ).
A.1
7 B. 1
7 C.11
14 D. 1
14
5.若ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且a2b2c2bc,则角A的大小为 (
A.22
6 B.3 C.
3 D.3或3
6. 在ΔABC中, 角A、B、C的对边分别为a、b、c, 已知A=
3, a, b1,则c( ) A. 1 B. 2 C. 3-1 D. 3
7. 在ABC中,a2,A30, C120,则ABC的面积为( ) A.2 B. 22 C. 3 D.31
2
8.在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且absinA,则sinB
(A)3 (B)3 (C)6
3 (D)6
3
9. ABC中,若sin2Asin2Bsin2CsinAsinC那么角B=___________
10.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c ,若bccosAacosC,则cosA
11. 已知:在ABC中,A120,a7,bc8.
(1)求b,c的值;(2)求sinB的值.
)
12. 已知ABC的周长为4(21),且sinBsinC
(1)求边长a的值;
(2)若SABC3sinA,求cosA的值.
2sinA.