高数下册知识点
高等数学（下）知识点
高等数学下册知识点
第八章 空间解析几何与向量代数
（一） 向量及其线性运算
1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面； 2、 线性运算：加减法、数乘；
3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；
4、 利用坐标做向量的运算：设a =(a x , a y , a z ) ，b =(b x , b y , b z ) ，
则 a ±b =(a x ±b x , a y ±b y , a z ±b z ) , λa =(λa x , λa y , λa z ) ；
5、 向量的模、方向角、投影：
1） 2） 3）
向量的模：
r =x 2+y 2+z 2
；
两点间的距离公式：
A B =(x 2-x 1) 2+(y 2-y 1) 2+(z 2-z 1) 2
方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角α, β, γ
x y z , cos β=, cos γ=4） 方向余弦：cos α=r r r
cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1
5） 投影：Pr j u a =a cos ϕ，其中ϕ
（二） 数量积，向量积 1、
a 为向量与u 的夹角。
b cos θ数量积：a ⋅b =a
2
1）a ⋅a =a
2）a ⊥b ⇔a ⋅b =0
a ⋅b =a x b x +a y b y +a z b z
2、 向量积：c =a ⨯b
b sin θ，方向：a , b , c 符合右手规则 大小：a
1）a ⨯a =0
a ⨯b =0
j k a y a z
b y b z
运算律：反交换律 b ⨯a =-a ⨯b 2）a //b ⇔
i
a ⨯b =a x
b x
（三） 曲面及其方程 1、 2、
曲面方程的概念：
高等数学（下）知识点
S :f (x , y , z ) =0
旋转曲面：（旋转后方程如何写）
yoz 面上曲线C :f (y , z ) =0，
22y f (y , ±x +z ) =0 绕轴旋转一周：
绕
z 轴旋转一周：
f (±x 2+y 2, z ) =0
3、 柱面：（特点）
⎧⎪F (x , y ) =0F (x , y ) =0表示母线平行于z 轴，准线为⎨的柱面
⎪⎩z =0
4、
二次曲面（会画简图）
1）
x 2y 22
+=z 22椭圆锥面： a b
x 2y 2z 2
+2+2=1 2椭球面：a b c
2）
x 2y 2z 2
+2+2=1 2旋转椭球面：a a c
3）
x y z
+2-2=1 2*单叶双曲面：a b c
222
4）
x y z
-2-2=1 2*双叶双曲面：a b c
222
5）
x 2y 2
+2=z 2椭圆抛物面：a b
6）
x 2y 2
-2=z 2*双曲抛物面（马鞍面）：a b x y
+2=1 2椭圆柱面：a b x 2y 2
-2=1 2双曲柱面：a b 2x =ay 抛物柱面：
⎧⎪F (x , y , z ) =0
一般方程：⎨
⎪⎩G (x , y , z ) =0
⎧x =x (t ) ⎧x =a cos t ⎪⎪⎪⎪y =y (t ) ⎨参数方程：，如螺旋线：⎨y =a sin t ⎪⎪⎪⎪⎩z =z (t ) ⎩z =bt
空间曲线在坐标面上的投影
22
7）
8）
9）
（四） 空间曲线及其方程
1、
2、
3、
⎧⎪F (x , y , z ) =0⎨，消去z ⎪⎩G (x , y , z ) =0
⎧⎪H (x , y ) =0
，得到曲线在面xoy 上的投影⎨
⎪⎩z =0
（五） 平面及其方程（法向量） 1、
点法式方程：
A (x -x 0) +B (y -y 0) +C (z -z 0) =0
法向量：n =(A , B , C ) ，过点(x 0, y 0, z 0)
2、 一般式方程：
Ax +By +Cz +D =0（某个系数为零时的特点）
x y z
++=1
截距式方程：
a b c
3、
n =(A , B , C ) n 两平面的夹角：1111，2=(A 2, B 2, C 2) ，
A 1A 2+B 1B 2+C 1C 2
A +B +C ⋅A +B +C
2
1
21
21
22
22
2 2
cos θ=
∏1⊥∏2⇔ A 1A 2+B 1B 2+C 1C 2=0
A 1B 1C 1
=∏1//∏2⇔ =
A 2B 2C 2
4、
点
P 0(x 0, y 0, z 0) 到平面Ax +By +Cz +D =0的距离：
A +B +C
2
2
2
d =
Ax 0+By 0+Cz 0+D
（六） 空间直线及其方程（方向向量）
1、
⎧⎪A 1x +B 1y +C 1z +D 1=0一般式方程：⎨
⎪⎩A 2x +B 2y +C 2z +D 2=0
x -x 0y -y 0z -z 0
==2、 对称式（点向式）方程：
m n p
方向向量：s =(m , n , p ) ，过点(x 0, y 0, z 0)
3、
4、
⎧x =x 0+mt ⎪⎪
y =y 0+nt
参数式方程：⎨
⎪⎪⎩z =z 0+pt s =(m , n , p ) s 两直线的夹角：1111，2=(m 2, n 2, p 2) ，
m 1m 2+n 1n 2+p 1p 2
222
m 12+n 12+p 12⋅m 2+n 2+p 2
cos ϕ=
L 1⊥L 2⇔ m 1m 2+n 1n 2+p 1p 2=0
m 1n 1p 1
==L 1//L 2⇔
m 2n 2p 2
5、
直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，
sin ϕ=
Am +Bn +Cp A +B +C ⋅m +n +p
2
2
2
2
2
2
L //∏⇔ Am +Bn +Cp =0
A B C
L ⊥∏⇔ ==
m n p
第九章 多元函数微分法及其应用
（一） 基本概念
1、 距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。 2、 3、 4、 5、
多元函数：z 极限：连续：
=f (x , y ) ，图形，定义域：
f (x , y ) =A
f (x , y ) =f (x 0, y 0)
(x , y ) →(x 0, y 0) (x , y ) →(x 0, y 0)
lim
lim
偏导数：
f ( x 0+∆x , y 0) -f ( x 0, y 0)
f x (x 0, y 0) =lim
∆x →0∆x
f (x 0, y 0+∆y ) -f (x 0, y 0)
f y (x 0, y 0) =lim ∆y →0∆y
6、
方向导数：
其中
∂f ∂f ∂f
=cos α+cos β∂l ∂x ∂y
7、
α, β
为
l
的方向角。
梯度：z =f (x , y ) ，则gradf (x 0, y 0) =f x (x 0, y 0) i +f y (x 0, y 0) j 。
8、
∂z ∂z d z =d x +d y
全微分：设z =f (x , y ) ，则
∂x ∂y
（二） 性质
1、 函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：
充分条件
2、 闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理） 3、 微分法
1） 定义： u x
2） 复合函数求导：链式法则
z
若
z =f (u , v ), u =u (x , y ), v =v (x , y ) ，则 v ∂z ∂z ∂u ∂z ∂z ∂z ∂u ∂∂x =∂u ⋅∂x +∂v ⋅∂v ∂x
，
∂y =∂u ⋅∂y +z ∂v ⋅∂v ∂y
3） 隐函数求导：a. 两边求偏导，然后解方程（组），b. 公式法 （三） 应用 1、 极值 1）
无条件极值：求函数z
=f (x , y ) 的极值
⎧⎪f x =0解方程组 ⎨⎪⎩f 求出所有驻点，对于每一个驻点(x y
=00, y 0) ，令 A =f xx (x 0, y 0) ，B =f xy (x 0, y 0) ，C =f yy (x 0, y 0) ，
① 若AC -B 2>0，A >0，函数有极小值，
若
AC -B 2>0，A
2）
条件极值：求函数z
=f (x , y ) 在条件ϕ(x , y ) =0下的极值
令：
L (x , y ) =f (x , y ) +λϕ(x , y ) ——— Lagrange函数
⎧L x =0⎪⎪
L =0
解方程组 ⎨y
⎪⎪⎩ϕ(x , y ) =0
2、
1）
几何应用
曲线的切线与法平面
⎧x =x (t ) ⎪⎪Γ:⎨y =y (t ) ，则Γ上一点M (x 0, y 0, z 0) （对应参数为t 0）处的 曲线
⎪⎪⎩z =z (t )
x -x 0y -y 0z -z 0
==切线方程为：
x '(t 0) y '(t 0) z '(t 0)
法平面方程为：2）
曲面的切平面与法线
x '(t 0)(x -x 0) +y '(t 0)(y -y 0) +z '(t 0)(z -z 0) =0
曲面∑
:F (x , y , z ) =0，则∑上一点M (x 0, y 0, z 0) 处的切平面方程为：
F x (x 0, y 0, z 0)(x -x 0) +F y (x 0, y 0, z 0)(y -y 0) +F z (x 0, y 0, z 0)(z -z 0) =0
x -x 0y -y 0z -z 0
== 法线方程为：
F x (x 0, y 0, z 0) F y (x 0, y 0, z 0) F z (x 0, y 0, z 0)
第十章 重积分 （一） 二重积分
1、 2、 3、 4、 1）
定义：
∑f (ξ⎰⎰f (x , y ) d σ=lim λ
D
→0
k =1
n
k
, ηk ) ∆σk
性质：（6条）
几何意义：曲顶柱体的体积。 计算： 直角坐标
⎧ϕ1(x ) ≤y ≤ϕ2(x ) ⎫
⎬， X 型区域：D =⎨(x , y ) a ≤x ≤b ⎩⎭
⎰⎰f (x , y )d x d y =⎰
D
b
a
d x ⎰
φ2(x )
φ1(x )
f (x , y )d y
⎧φ1(y ) ≤x ≤φ2(y ) ⎫
⎬， Y 型区域：D =⎨(x , y ) c ≤y ≤d ⎩⎭
⎰⎰f (x , y )d x d y =⎰
D
d
c
d y ⎰
ϕ2(y )
ϕ1(y )
f (x , y )d x
*交换积分次序（课后题）
2） 极坐标
⎧ρ1(θ) ≤ρ≤ρ2(θ) ⎫D =⎨(ρ, θ) ⎬
α≤θ≤β⎩⎭
⎰⎰f (x , y )d x d y =⎰αd θ⎰ρθ
D
1(
β
ρ2(θ)
)
f (ρcos θ, ρsin θ) ρd ρ
n
（二） 三重积分 1、 2、
3、 1）
定义：
⎰⎰⎰
Ω
f (x , y , z ) d v =lim ∑f (ξk , ηk , ζk ) ∆v k
λ→0
k =1
性质： 计算： 直角坐标
⎰⎰⎰
2）
Ω
f (x , y , z ) d v =⎰⎰d x d y ⎰
D
z 2(x , y ) z 1(x , y )
f (x , y , z ) d z -----------投影法“先一后二”
⎰⎰⎰
Ω
f (x , y , z ) d v =⎰d z ⎰⎰
a
b
D Z
f (x , y , z ) d x d y -----------截面法“先二后一”
柱面坐标
⎧x =ρcos θ⎪⎪
⎨y =ρsin θ⎪⎪⎩z =z
3）
*球面坐标*
，
⎰⎰⎰
Ω
f (x , y , z )d v =⎰⎰⎰f (ρcos θ, ρsin θ, z ) ρd ρd θd z
Ω
⎧x =r sin ϕcos θ⎪⎪
⎨y =r sin ϕsin θ⎪⎪⎩z =r cos ϕ
⎰⎰⎰
曲面
Ω
f (x , y , z )d v =⎰⎰⎰f (r sin φcos θ, r sin φsin θ, r cos φ) r 2sin φd r d φd θ
Ω
（三） 应用
S :z =f (x , y ) , (x , y ) ∈D 的面积：
∂z 2∂z 2
1+() +() d x d y
∂x ∂y
A =⎰⎰
D
第十一章 曲线积分与曲面积分 （一） 对弧长的曲线积分 1、 2、
定义：性质：
⎰
L
f (x , y )d s =lim ∑f (ξi , ηi ) ⋅∆s i
λ→0
i =1
n
1） L [
⎰αf (x , y ) +β(x , y )]ds =α⎰f (x , y )d s +β⎰g (x , y )d s .
L
L
L 1
L 2
2）
⎰
L
f (x , y )d s =⎰f (x , y )d s +⎰f (x , y )d s . (L =L 1+L 2).
3）在L 上，若
f (x , y ) ≤g (x , y ) ，则⎰L f (x , y )d s ≤⎰L g (x , y )d s .
( l 为曲线弧 L 的长度)
4）L 3、
⎰d s =l
计算：
设
f (x , y ) 在曲线弧L
上有定义且连续，
⎧⎪x =ϕ(t ),
(α≤t ≤β) L 的参数方程为⎨
⎪⎩y =ψ(t ),
，其中
ϕ(t ), ψ(t ) 在[α, β]上具有一阶连续导数，且ϕ'2(t ) +ψ'2(t ) ≠0，则
⎰
L
f (x , y )d s =⎰f [φ(t ), ψ(t t ,(α
α
β
（二） 对坐标的曲线积分
1、 定义：设 L 为
xoy 面内从 A 到B 的一条有向光滑弧，函数P (x , y )
n
，Q (x , y ) 在 L 上有界，
定义L
⎰
P (x , y ) d x =lim ∑P (ξk , ηk ) ∆x k
λ→0
k =1n
k
，
Q (ξ∑⎰Q (x , y ) d y =lim λ
L
→0
k =1
, ηk ) ∆y k
.
向量形式：2、
⎰
L
F ⋅d =⎰P (x , y ) d x +Q (x , y ) d y
L
用L 表示L 的反向弧 , 则⎰-F (x , y ) ⋅d =-⎰F (x , y ) ⋅d
L L
-
性质：
3、 计算：
设P (x , y ) , Q (x , y ) 在有向光滑弧L 上有定义且连续, L 的参数方程为
⎧⎪x =ϕ(t ),
(t :α→β) ⎨
⎪⎩y =ψ(t ),
，其中
ϕ(t ), ψ(t )
在
[α, β]
上具有一阶连续导数，且
ϕ'2(t ) +ψ'2(t ) ≠0，则
⎰
L
P (x , y )d x +Q (x , y )d y =⎰{P [φ(t ), ψ(t )]φ'(t ) +Q [φ(t ), ψ(t )]ψ'(t )}d t
α
β
4、 两类曲线积分之间的关系：
设平面有向曲线弧为
⎧⎪x =ϕ(t )
L ： ⎨⎪⎩y =ψ(t )
，
L
上点
(x , y )
处的切向量的方向角为：
α, β
，
ψ'(t ) ϕ'(t )
cos α=，cos β=22
'2(t ) +ψ'2(t ) '(t ) +ψ'(t )
则L P d x +Q d y
（三） 格林公式
，
⎰=⎰(P cos α+Q cos β)d s .
L
1、格林公式：设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成，函数P (x , y ) , Q (x , y ) 在
⎛∂Q ∂P ⎫ ⎪-d x d y =P d x +Q d y
D 上具有连续一阶偏导数, 则有⎰⎰ ⎪∂x ∂y ⎭D ⎝L
2、
G 为一个单连通区域，函数P (x , y ) , Q (x , y ) 在G 上具有连续一阶偏导数，则
∂Q ∂x =∂P
∂y ⇔曲线积分 ⎰P d x +Q d y 在G 内与路径无关 L
⇔曲线积分 ⎰P d x +Q d y =0
L
⇔ P (x , y ) d x +Q (x , y ) d y 在G 内为某一个函数u (x , y ) 的全微分
（四） 对面积的曲面积分 1、 定义： 设∑为光滑曲面，函数
f (x , y , z ) 是定义在∑上的一个有界函数，
n
定义 ⎰⎰
∑
f (x , y , z ) d S =lim λ→0
∑f (ξi , ηi , ζi ) ∆S i
i =1
2、
计算：———“一单值显函数、二投影、三代入”
∑:z =z (x , y ) ，(x , y ) ∈D xy ，则
⎰⎰
∑
f (x , y , z ) d S =⎰⎰
2D f [x , y , z (x , y )]1+z +z 2
x y
x (x , y ) y (x , y ) d x d y
（五） 对坐标的曲面积分
1、 预备知识：曲面的侧，曲面在平面上的投影，流量 2、 定义：
设
∑
为有向光滑曲面，函数
P (x , y , z ), Q (x , y , z ), R (x , y , z ) 是定义在∑
上的有界函数，⎰⎰
n
∑
R (x , y , z )d x d y =lim λ→0
∑R (ξi , ηi , ζi )(∆S i ) xy
i =1
n
同理，
⎰⎰
∑
P (x , y , z )d y d z =lim λ→0
∑P (ξi , ηi , ζi )(∆S i ) yz
i =1
⎰⎰
n
∑
Q (x , y , z )d z d x =lim λ→0
∑R (ξi , ηi , ζi )(∆S i ) zx
i =1
3、 性质：
1）∑
=∑1+∑2，则
⎰⎰∑P d y d z +Q d z d x +R d x d y
=⎰⎰∑P d y d z +Q d z d x +R d x d y +⎰⎰
P d y d z +Q d z d x +R d x d y
1
∑2
定义
2）∑表示与∑取相反侧的有向曲面 , 则4、
计算：——“一投二代三定号”
-
⎰⎰
∑
-
R d x d y =-⎰⎰R d x d y
∑
∑:z =z (x , y ) ，(x , y ) ∈D xy ，z =z (x , y ) 在D xy 上具有一阶连续偏导数，R (x , y , z ) 在∑上连续，
则
⎰⎰
∑
R (x , y , z )d x d y =±⎰⎰
D x y
R [x , y , z (x , y )]dx d y , ∑为上侧取“ + ”， ∑为下侧取“ - ”.
5、 两类曲面积分之间的关系：
⎰⎰
∑
P d y d z +Q d z d x +R d x d y =⎰⎰(P cos α+Q cos β+R cos γ)d S
∑
其中
α, β, γ
为有向曲面∑在点(x , y , z ) 处的法向量的方向角。
（六） 高斯公式 1、
高斯公式：设空间闭区域Ω由分片光滑的闭曲面∑所围成, ∑的方向取外侧, 函数P , Q ,
R 在Ω上有
连续的一阶偏导数, 则有
⎛∂P ∂Q ∂R ⎫
⎰⎰⎰Ω ∂x +∂y +∂z ⎪⎪d x d y d z =∑P d y d z +Q d z d x +R d x d y
⎝⎭
⎛∂P ∂Q ∂R ⎫ ⎪++d x d y d z =(P cos α+Q cos β+R cos γ)d S
或⎰⎰⎰Ω ⎪
⎝∂x ∂y ∂z ⎭∑
2、
*通量与散度*
通量：向量场A =(P , Q , R ) 通过曲面∑指定侧的通量为：Φ=⎰⎰P d y d z +Q d z d x +R d x d y
∑ ∂P ∂Q ∂R
++散度：div A =
∂x ∂y ∂z
（七） *斯托克斯公式*
1、 斯托克斯公式：设光滑曲面 ∑ 的边界 Γ是分段光滑曲线, ∑ 的侧与 Γ 的正向符合右手法则,
P (x , y , z ), Q (x , y , z ), R (x , y , z ) 在包含∑ 在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数, 则有
⎛∂R ∂Q ⎫⎛∂P ∂R ⎫⎛∂Q ∂P ⎫ ⎰⎰ ∂y -∂z ⎪⎪d y d z + ∂z -∂x ⎪⎪d z d x + ∂x -∂y ⎪⎪d x d y =ΓP d x +Q d y +R d z
⎭⎝⎭⎝⎭∑⎝
为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:
⎰⎰
∑
d y d z d z d x d x d y ∂∂∂
=P d x +Q d y +R d z Γ ∂x ∂y ∂z
P Q R
*环流量与旋度*
2、
环流量：向量场A =(P , Q , R ) 沿着有向闭曲线Γ的环流量为P d x +Q d y +R d z
Γ ⎛∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P ⎫
旋度：rot A = ∂y -∂z , ∂z -∂x , ∂x -∂y ⎪⎪
⎝⎭
第十二章 无穷级数 （一） 常数项级数 1、 定义：
1）无穷级数：
∑u
n =1
n k =1
∞
n
=u 1+u 2+u 3+ +u n +
部分和：S n
=∑u k =u 1+u 2+u 3+ +u n ，
∞
n
正项级数：
∑u
n =1∞n =1
，u n
≥0
n (-1) u n ，u n ≥0 交错级数：∑
∞
∞
2）级数收敛：若lim S n
n →∞
=S
存在，则称级数
∞
∑u
n =1
n
收敛，否则称级数
∑u
n =1
n
发散
3）条件收敛：
∞
∑u
n =1n
∞
n
收敛，而
∑u
n =1
n
发散；
绝对收敛：2、
1）
∑u
n =1
收敛。
性质：
改变有限项不影响级数的收敛性；
2） 级数
∑a ，∑b
n n =1
n =1
∞∞
n
收敛，则
∑(a
n =1
∞
n
±b n ) 收敛；
3） 级数
∑a
n =1
∞
n
收敛，则任意加括号后仍然收敛；
∞
4） 3、
必要条件：级数审敛法
∑u
n =1
n
收敛
⇒lim u
n →∞
n
=0. （注意：不是充分条件！）
正项级数：
∑u
n =1
∞
n
，u n
≥0
存在；
1）
定义：lim S n
n →∞
=S
2）
∑u
n =1
∞
n
收敛
⇔{S }有界；
n
3） 比较审敛法：
∑u ，∑v
n n =1
n =1
∞∞
n
为正项级数，且u n ≤v n (n =1, 2, 3, )
n
若
∑v
n =1∞n =1
∞
n
收敛，则
∞
∑u
n =1
∞
n
收敛；若
∑u
n =1
∞
发散，则
∑v
n =1
∞
n
发散.
∞
4） 比较法的推论：
∞
∑u ，∑v
n
n =1
n
为正项级数，若存在正整数
m ，当n >m 时，u n ≤kv n ，而∑v n
n =1
∞
∞
n =1
n =1
收敛，则
∑u
n =1
n
收敛；若存在正整数
∞
m ，当n >m 时，u n ≥kv n ，而∑v n 发散，则∑u n 发散.
∞
5）
∞
∞u n
=l (0≤l
比较法的极限形式：∑u n ，∑v n 为正项级数，若lim n →∞v n =1n =1n =1n
收敛，
∞∞u n u n
>0或lim =+∞，而∑v n 发散，则∑u n 发散. 则∑u n 收敛；若lim n →∞v n →∞v n =1n =1n =1n n
∞u n +1
=l ，则当l 1时，级比值法：∑u n 为正项级数，设lim n →∞u n =1n =1n
∞
6）
∞
数
∑u
n =1
n
发散；当l
∞
=1时，级数∑u n 可能收敛也可能发散.
n =1
n
∞
7）
∞
*根值法：
∑u
n =1
为正项级数，设lim
n →∞
∞
n =l ，则当l 1时，级
n =1
∞
数
∑u
n =1
n
发散；当l
=1时，级数∑u n 可能收敛也可能发散.
n =1
8） 极限审敛法：
∑u
n =1
∞
n
为正项级数，若lim n ⋅u n
n →∞
>0或lim n ⋅u n =+∞，则级数∑u n 发散；若存
n →∞
n =1
∞
∞
在
n ⋅u n =l (0≤l 1，使得lim n →∞
p
n =1
∞
交错级数：
n (-1) u n ，u n ≥0满足：u n +1≤u n (n =1, 2, 3, ) ，莱布尼茨审敛法：交错级数：∑且lim u n =0，
n =1
n →∞
则级数
n
(-1) u n 收敛。 ∑n =1
∞
任意项级数：
∑u
n =1
∞
n 绝对收敛，则
∑u
n =1
∞
n 收敛。
⎧收敛， q
⎪n
aq ⎨常见典型级数：几何级数：∑ n =0 q ≥1⎪⎩发散，
∞
p >11⎧⎪收敛，
⎨p -级数：∑p n n =1⎪ p ≤1⎩发散，
∞
（二） 函数项级数 1、
定义：函数项级数
∞
∑u
n =1
∞
n
(x ) ，收敛域，收敛半径，和函数；
2、
n
a x 幂级数：∑n
n =0
a n +1
收敛半径的求法：lim n →∞a n
⎧1
⎪ρ, 0
R =⎨0, ρ=+∞
=ρ，则收敛半径 ⎪
⎪+∞, ρ=0⎪⎩
3、 泰勒级数
f (x ) =∑
n =0
∞
f (n ) (x 0) f (n +1) (ξ) n
(x -x 0) ⇔ lim R n (x ) =lim (x -x 0) n +1=0
n →∞n →∞(n +1) ! n !
展开步骤：（直接展开法） 1） 2）
求出求出
f (n ) (x ), n =1, 2, 3, ； f (n ) (x 0), n =0, 1, 2, ；
3） 写出
∑
n =0
∞
f (n ) (x 0)
(x -x 0) n ；
n !
4）
f (n +1) (ξ) n +1
lim R (x ) =lim (x -x ) =0是否成立。 0验证n →∞n n →∞(n +1) !
x
∞
间接展开法：（利用已知函数的展开式）
1n
x , x ∈(-∞, +∞) ； 1）e =∑n =0n !
2）
sin x =∑(-1)
n =0
∞
∞
n +1
1
x 2n +1, x ∈(-∞, +∞) ；
(2n +1) !
12n
x , x ∈(-∞, +∞) ；
(2n )!
3）
cos x =∑(-1)
n =0
n +1
∞
1n
=x , x ∈(-1, 1) ； ∑4）
1-x n =0
∞
1n n
=(-1) x , x ∈(-1, 1) ∑5）
1+x n =0
(-1) n n +1
1+x ) =∑x , x ∈(-1, 1] 6）ln(
n =0n +1
∞
∞
1n 2n
=(-1) x , x ∈(-1, 1) ∑7）2
1+x n =0
∞
m (m -1) (m -n +1) n m
x , x ∈(-1, 1) 8）(1+x ) =1+∑n ! n =1
4、 1） *傅里叶级数* 定义：
正交系：1, sin 在区间[-
x , cos x , sin 2x , cos 2x , , sin nx , cos nx 函数系中任何不同的两个函数的乘积
π, π]上积分为零。
a 0∞
f (x ) =+∑(a n cos nx +b n sin nx )
2n =1
傅里叶级数：
1π⎧
⎪a n =π⎰-πf (x ) cos nx d x (n =0, 1, 2, ) ⎪系数：⎨
π1⎪
b n =⎰f (x ) sin nx d x (n =1, 2, 3, ) ⎪π-π⎩
2） 收敛定理：(展开定理)
设 f (x ) 是周期为2π的周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件: 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点; 2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x ) 的傅里叶级数收敛 , 且有
x 为连续点⎧f (x ),
a 0⎪+∑(a n cos nx +b n sin nx )=⎨+-
f (x ) +f (x ) 2n =1
⎪, x 为间断点
2⎩
∞
3） 傅里叶展开：
1π⎧
⎪a n =π⎰-πf (x ) cos nx d x (n =0, 1, 2, ) ⎪
①求出系数：⎨；
1π⎪
b n =⎰f (x ) sin nx d x (n =1, 2, 3, ) ⎪π-π⎩
②写出傅里叶级数
a 0∞
f (x ) =+∑(a n cos nx +b n sin nx ) ；
2n =1
③根据收敛定理判定收敛性。