[认识三角形]教材说明及教学建议

《认识三角形》教材说明及教学建议

【教材说明】

这部分内容教学三角形的认识，包括三角形的基本特征、三角形的三边关系和三角形的内角和。这是在学生直观认识三角形、平行四边形，认识角、垂线和平行线的基础上教学的。主要通过观察、操作、比较等具体的活动，帮助学生进一步认识三角形的基本特征，三角形的三边关系，以及三角形的内角和。教材安排了4道例题，分别教学三角形的认识、三角形的底和高、三角形的三边关系和三角形的内角和。

例1教学三角形的认识。考虑到学生在第一学段已知直观认识了三角形，对三角形的特征已经有一些感性认识。教材首先呈现了一幅斜拉桥的图片，引导学生利用已有的经验，从现实背景中找到三角形，并联系生活实际说说在哪些地方还见到三角形；接着，引导学生自己画一个三角形，并说说三角形有什么特点。在此基础上，指出：“三条线段首尾相接围成的图形叫作三角形。”最后，引导学生通过观察和交流，明确三角形有3个顶点、3条边和3个角。这样，从学生已有的知识和经验出发，引导学生在找三角形的活动中再现已经形成的三角形表象，并获得丰富的对三角形特征的感知，在画三角形的操作中把头脑中三角形的表象外显出来，并逐步抽象出三角形的顶点、边和角的特征，进而形成三角形的概念。既为学生留出了足够的探索空间，又有利于学生初步体验从具体情境中抽象出图形特征的过程和方法，积累认识图形的经验，发展空间观念。随后的“试一试”在方格纸上给出了4个点，且有3个点是在一条直线上。要求学生尝试以其中任意3个点为顶点，看能不能画出三角形。通过练习，既可以帮助学生初步体会围成三角形的3条线段不能在一条直线上，进而加深对三角形特征的认识，又为下节课探索三角形的三边关系作一些铺垫。

例2教学三角形的底和高。教材继续从现实情境出发，引导学生通过测量“人字梁”的高度，感知三角形的底和高，并由此抽象出三角形高和底的概念。这样，让学生联系生活实例理解抽象的数学概念，获得正确而清晰的表象。随后的“试一试”要求学生画出三角形指定底边上的高，有利于学生进一步感知三角形高的特征，体会三角形底和高的对应关系，掌握画三角形高的方法。此外，“试一试”中的三角形更具有一般性，有利于学生正确建立三角形高的概念。

第76页的“练一练”安排了2道题。第1题要求学生从一组图形中找出哪些是三角形，哪些不是，在正例与反例的辨析中进一步明晰三角形概念的内涵与外延，掌握三角形的基本特征。第2题呈现了3个位置不同的三角形，要求学生分别测量三角形的底和高，以体会三角形底和高的对应关系，进一步巩固对三角形底和高的认识。

例3教学三角形的三边关系。“三角形任意两边长度的和大于第三边”是三角形边的重要性质。了解这一知识，不仅可以更好地理解和掌握三角形的特征，而且可以用它解决很多日常生活问题。教材主要引导学生通过摆小棒的操作，探索三角形的三边关系。例题首先呈现了长分别是8厘米、4厘米、5厘米和2厘

米的4根小棒，要求学生每次从中任选3根围三角形，同时呈现了学生中可能出现的三种结果。接着针对不同的操作结果，组织学生展开两个层次的讨论：（1）长8厘米、5厘米和2厘米的三根小棒为什么不能围成三角形；（2）从围成三角形的三根小棒中任意选出两根，并将它们的长度和与第三根比较，结果怎样？并结合演示和交流，初步发现“围成三角形的三根小棒中，任意两根的长度和大于第三根”。在此基础上，设问：三角形两边长度的和一定大于第三边吗？并引导学生任意“画一个三角形，再量一量、算一算”，进而归纳出“三角形任意两边长度的和大于第三边”的结论。最后，针对学生认识上的难点，引导学生讨论如果三根小棒的长度分别是8厘米、5厘米和3厘米，能不能围成三角形，并在演示和交流中进一步完善对三角形三边关系的认识和理解。这样，先引导学生在摆三角形的操作以及对正例与反例的辨析中，初步发现围成三角形的三根小棒长度之间的关系，并通过画三角形的操作，逐步归纳出三角形的三边关系，再针对认识上的难点展开讨论和探索，进而突破难点，完善认识。活动线索清晰，且具有较强的可操作性，恰到好处地处理了教与学的关系，有利于学生在教师的引领下，有序、有效地开展探索活动，并在这一过程中获得数学知识，感悟数学思想，积累活动经验，发展数学思考。

第78页的“练一练”安排了2道题。第1题呈现了三组线段，要求学生根据每组中3条线段的长度判断它们能否围成三角形，有利于学生巩固三角形的三边关系，强化对三角形特征的认识。第2题引导学生根据给定的三角形的两条边，讨论第三边的长度所在的区间，并选择合适的第三边的长度，有利于学生更深刻地理解三角形的三边关系，培养思维的条理性和严密性，发展空间观念。

例4教学三角形的内角和。由于学生对三角尺上每个角的度数比较熟悉，且在之前的学习中曾计算过每块三角尺3个内角的和，所以这是学生探索和发现三角形内角和的直接基础。教材先让学生算一算每块三角尺3个内角的和，并由此提出问题：其他三角形的内角和也是180°吗？这里引导学生由此及彼地展开推想，是培养学生主动发现和提出问题能力的极好载体，有利于培养学生敏锐的数学眼光和洞察力，形成主动发现和提出问题的意识。在此基础上，引导学生经历三个层次的探究活动，逐步发现三角形内角和等于180°的结论。一是把教材附页中提供的三角形剪下来，用量角器量出每个三角形中3个内角的度数，并算一算，看三角形3个内角的和是多少度；二是想办法把每个三角形的3个内角拼在一起，看看拼成了什么角；三是自己再任意画一个三角形，先剪下来，再拼一拼，并由此揭示三角形内角和等于180°的结论。上述三个层次的活动，层层递进，环环相扣，最贴近学生的认知现实，但由于测量容易产生误差，往往得不到确切的结论，而这恰恰是诱发学生进一步展开探索的动力源泉；拼出平角的活动，是最直观、最有效的方法，且渗透了三角形内角和的证明方法，对以后的学习也有一定的铺垫作用，但这毕竟是个案，要获得结论还需要更多实例的佐证；任意剪一个三角形再拼，为学生归纳结论提供了足够多的例证，满足了探索活动的需要。此外，教材在第113页提供的3个三角形，包含了三角形的3种不同类型，且每个三角形中三个内角的度数都是整十度，既可以避免测量的误差，又能使学生探索和发现规律的过程更严谨，可以

有效防止学生对数学结论形成片面认识。这样设计，重点突出，层次清楚，有利于学生切实经历由特殊到一般的认知过程，在获得知识的同时，积累探索数学规律的经验，初步感悟归纳的思想方法，发展数学思考。

第79页的“练一练”是根据三角形两个内角的度数求第三个角的度数，有利于学生巩固对“三角形内角和等于180°的认识，初步体会这一结论的应用价值。

只要三角形三边的长度确定，这个三角形的形状和大小就完全确定，这个性质叫作三角形的稳定性。三角形的稳定性在日常生活和生产中有着十分广泛的应用。教材通过“你知道吗”介绍了三角形的稳定性及其应用，同时，引导学生通过实验，体会三角形的这一特性。再通过找更多的例子，感受其在生活中的广泛应用。

练习十二安排了13道题。第1～4题是配合例1、例2安排的，主要是通过画一画、拼一拼、摆一摆等具体的活动，帮助学生进一步巩固对三角形特征的认识，掌握画三角形高的方法，发展空间观念。第1题让学生在指定的底边上画出高，进一步理解三角形的底与高的关系，掌握相应的作图技巧。需要说明的是：由于钝角三角形两条短边上的高在三角形的外面，作高时需要延长三角形的底边，学生理解起来有一定的困难，所以在小学阶段只要求学生画出钝角三角形长边上的高，不要求画两条短边上的高。第2题要求学生按要求在方格纸上画三角形，有利于学生进一步理解三角形底与高之间的关系，加深对三角形特征的认识与体验。第3题是用七巧板拼三角形，重在帮助学生强化对三角形特征的认识与理解，感受图形变换的过程和方法。第4题要求学生用同样长的三根小棒摆一个三角形，并应用点到直线距离的知识解释等边三角形中，高一定比邻边短的道理，有利于学生进一步体会三角形的高就是顶点到它对边的垂直线段，进而理解三角形的高的本质特征。第5～8题是配合例3安排的，主要引导学生在“做”三角形的过程中，进一步强化对三角形三边关系的认识。第6题要求学生先量出题中两根小棒的长度，再判断能与这两根小棒围成三角形的第三根小棒可能是多少厘米。促使学生在寻求第三根小棒长度的过程中，初步形成三角形两边长度的差小于第三边的认识，进而加深对三角形三边关系的认识与理解。第7题要求学生把一根长14厘米的吸管剪成3段，并围成一个三角形。解决问题时需要灵活运用三角形的三边关系，先确定其中最长的一条边要小于7厘米，再选择合适的剪法围成三角形。通过练习，有利于学生进一步加深对三角形三边关系的理解，培养灵活运用所学知识解决问题的能力。第8题让学生应用三角形的三边关系解决简单实际问题，使学生在解决问题的过程中不断加深对三角形三边关系的理解，感受所学知识的实际应用价值。第9～13题是配合例4安排的，主要引导学生经历应用三角形内角和等于180°的知识解决问题的过程，巩固对所学知识的认识与体验。第10题让学生应用三角形内角和等于180°的结论，计算一个三角形中未知角的度数，有利于学生进一步巩固对所获得知识的认识，感受数学知识的实用价值。其中，右边一个三角形是直角三角形，有利于学生主动掌握已知直角三角形的一个锐角，求另一个锐角的简便算法，培养灵活运用所学知

识解决问题的能力。第11、12题都是通过简单的图形变换得到不同的三角形。其中，第11题要求学生用两块完全一样的三角尺拼成一个三角形，并计算拼成的三角形三个内角的和；第12题要求学生把一张正方形纸沿对角线对折，再对折，并填出每次对折后图形的名称和内角度数的和。通过练习，既可以使学生初步体会到三角形的内角和不会因为三角形形状、大小的改变而改变，进而强化对三角形内角和等于180°的认识，又可以帮助学生积累一些图形变换的经验。第13题让学生根据两个已知角的度数，计算未知角的度数，进一步强化对三角形内角和等于180°认识，掌握求三角形中未知角度数的思考方法。

【教学建议】

1．这部分内容可以用3课时进行教学。第一课时教学例l 、例2和相关的“试一试”，第76页“练一练”，完成练习十二第1～4题；第二课时教学例3和“练一练”，完成练习十二第5～8题；第三课时教学例4和“练一练”，完成练习十二第9～13题。

2．例1的教学，要让学生在充分感知的基础上，逐步抽象出三角形的特征，形成三角形的概念。教学时，可以先出示例题中的场景图，引导学生在图中找出三角形，再引导学生举出一些生活中见到三角形的例子，为进一步抽象三角形的特征提供更丰富的感性认识。接着，引导学生结合对三角形的已有认识，画出一个三角形，并在小组里讨论三角形有什么特点，尝试概括三角形的特征；然后，由教师在黑板上画出一个三角形，并揭示三角形的概念，同时让学生结合画出的图形说说“首尾相接”“围成”等术语的意思。最后，要求学生观察三角形，数一数三角形顶点、边和角的个数，明确：三角形有3个顶点、3条边和3个角。随后的“试一试”可以先让学生试着画一画，当学生发现过同一条直线上的3个点不能画出一个三角形时，再组织学生讨论：为什么过这3个点不能画出一个三角形？并通过演示和交流，明确：这3个点是同一条直线上的点，过同一条直线上的点只能画出一条直线。所以，三角形的3个顶点不能在同一条直线上。

3．教学例2时，可以先出示“人字梁”的实物图，引导学生讨论“可以怎样测量人字梁的高度”，明确：人字梁的高是指人字梁上面顶点到底边的距离，人字梁的高就是它所在三角形的高；再引导学生量出书上“人字梁”的高，并借助人字梁图抽象出相应的三角形，同时指出：从三角形的一个顶点到它对边的垂直线段是三角形的高，这条对边是三角形的底。随后的“试一试”可以先让学生看图说说画三角形底边上的高，就是要从哪一点起向哪条边画垂线，再试着画一画，并指名演示操作方法，同时明确：画三角形的高就是从某一顶点向它对边画垂线，画图方法和以前学习的过直线外一点向已知直线画垂线的方法相同。

第76页的“练一练”第1题可以结合例l 的教学完成。组织练习时，要注意引导学生结合三角形是由三条线段首尾相接围成的，有3个顶点、3条边、3个角等特征说明判断理由。第2题可以先让学生指一指每个三角形的底和高，再进行测量。同时注意两点：一是要提醒学生把测量结果精确到整厘米数；二是要注意引导学生用规范的语言表达测量的结果。如左起第1个图形，可以这样表达：三角形的底是3厘米，

底边上的高是2厘米。

4．例3的教学，要重点引导学生通过操作、想象和交流，自主发现并归纳三角形的三边关系。可以先按题中的要求，引导学生从四根小棒中任意选择三根试着围一围，看能不能围成三角形，并把围得的结果与同学交流，初步发现任意选出的三根小棒，有时能围成三角形，有时不能围成三角形，进而产生进一步探索的心理需求。接着，引导学生分别比较每次用来围三角形的三根小棒的长度，初步发现当三根小棒中任意两根长度的和小于第三根时，不能围成三角形；当三根小棒中任意两根的长度的和大于第三根时，能围成三角形。并由此提出猜想：围成三角形的三根小棒，任意两根的长度和一定大于第三根。在此基础上，设问：三角形任意两边长度的和一定大于第三边吗？同时引导学生通过“画一个三角形，量一量，算一算”的活动，验证猜想，从而得出结论。最后，引导学生讨论：如果三根小棒的长度分别是8厘米、5厘米和3厘米，能不能围成一个三角形，并通过演示和交流明确认识。需要注意的是：第一，在引导学生比较围成三角形的三根小棒的长度，归纳它们之间关系时，学生往往不能主动想到只有当三根小棒中任意两根长度的和大于第三根时，才能围成一个三角形。教学时，要引导学生分别把围成三角形的小棒长度两两相加，并和第三根比较，以体会“任意”的含义。特别是：如果学生得出“三角形两条短边长度的和大于最长边”的结论，首先要肯定学生的发现是正确的，因为，在三角形的三条边中，只要满足两条短边的长度和大于最长边的条件，就可以围成一个三角形，但这样的结论有一定的局限性。因为，当一个三角形的两条长边相等或三角形的三条边都相等时，上述结论就不能十分准确地描述三角形的三边关系了。所以，用“任意两边长度的和大于第三边”来表达，更为准确、合理。第二，由于操作容易产生误差，当所选的三根小棒中有两根小棒的长度和等于第三根时，学生可能会认为这样的三根小棒也能围成三角形。教学时，可以借助多媒体课件的演示，或通过想象、推理，帮助学生克服认知的难点；还可以引导学生联系例1后面的

“试一试”，理解：如果三角形中两边的长度和等于第三边，那么将出现三角形3个顶点在同一条直线上的情况；而围成三角形的3个顶点不能在同一条直线上，所以，这样的三条线段不能围成一个三角形。

第78页的“练一练”，第1题要着重引导学生在分析每组中三条线段长度之间的关系的基础上作出判断。第2题可以先引导学生根据三角形任意两边的和大于第三边的结论逐一作出判断，再讨论能和12厘米、18厘米这两条线段围成三角形的第三条线段最长应该小于多少厘米，最短应该大于多少厘米，以加深学生对三角形三边关系的理解，并初步认识到三角形任意两边长度的差要小于第三边。

5．例4的教学，重点是让学生通过实际操作，发现三角形的内角和是180°。可以分四步组织学生活动。第一步，出示一副三角尺，告诉学生每块三角尺面上的角都是它的内角，再让学生说说三角尺上的角各是多少度，算出三个内角度数的和，并由此提出“其他三角形的内角和会不会也是180°”想。第二步，先让学生说说要知道其他三角形的内角和是不是180°，可以怎么办，再组织学生小组合作，剪下教材第113页中的三角形，用量角器量出每个三角形3个内角的度数，并算出3个内角度数的和，然后组织全班交

流。同时注意两点：一是对于学生中出现的测量误差，如果误差较大，可以让学生再量一量，以纠正操作中的错误；二是要让学生说一说有什么发现，并在交流中使学生认识到，通过测量和计算，可以发现三角形的内角和应该等于或接近180°。如果还能用其他办法来加以说明，结论就更加可靠了。第三步，先让学生说说还可以用什么办法来说明这一问题，并在交流后引导学生小组合作，想办法把每个三角形的三个内角拼在一起，并观察每次拼出的结果，看能发现什么。再通过展示和交流，使学生看到把三角形的三个内角拼在一起，正好得到一个平角，说明这3个三角形的内角和都等于180°。同时指出：上面的测量和实验只能说明这3个三角形的内角和等于180°，是不是所有三角形都存在同样的规律，还需要进一步验证。第四步，让学生再任意画一个三角形，剪一剪，拼一拼，看能发现什么，并组织反馈和交流，同时揭示：三角形的内角和等于180°。

第79页的“练一练”可以先让学生说说怎样算出三角形中∠3的度数，再独立完成计算，并用量角器量一量，以检验前面的计算结果。

6．“你知道吗”可以先让学生通过阅读了解三角形的稳定性，再通过实验，帮助学生进一步加深认识。实验时，可以组织学生用三根木条钉成一个三角形框架，并用力拉一拉，感受三角形不易变形的事实。还可以让学生用四根木条做成一个长方形（或四边形）框，拉动使其变形，再与三角形进行比较，引导学生思考：为什么会这样？怎样才能把长方形框固定？最后，让学生举出一些三角形稳定性在生活中应用的实例，以加深对三角形稳定性的认识与体验。

7．练习十二的第1题，可以先让学生看图说说画每个三角形底边上的高，应从哪一个顶点向哪一条边画垂线，并通过交流，明确：画三角形的高就是从三角形的顶点向它的对边画垂线，所以要按过直线外一点画已知直线垂线的方法来画。然后，让学生独立完成，并组织反馈与交流。第2题可以先让学生按要求画三角形，并检查画出的三角形的底与高是否符合要求，再组织比较和交流，使学生初步体会到确定表示三角形底边的线段后，只要使另一个顶点到它对边的距离等于高的长度就可以了，顶点的位置是可以变化的。第3题可以先按题中的顺序组织学生活动，并鼓励学生用不同的方法拼出三角形，再具体说说拼三角形的过程和方法。第4题可以先让学生用三根同样长的小棒摆一摆，说说摆成的三角形三条边的长度有什么关系，再对照题中的直观图，联系点到直线的距离，解释这个三角形的高比小棒短的道理。

第6题可以先让学生量出图中两根小棒的长度，再通过独立思考找到答案，并在对各种可能结果的交流中，明确，第三根小棒的长度必须比11厘米短，比5厘米长。第7题，要提醒学生先想好剪成的三段各有多长，再进行操作。组织交流时，既要充分展示学生操作的过程和结果，又要注意引导学生体会解决问题的有效策略。例如，可以先根据吸管长14厘米，确定剪成的3段中最长的一段只有6厘米和5厘米这两种情况，再根据最长一段的长确定另外两段的长。第8题可以让学生独立作出判断，并在交流时引导学生联系两点之间线段最短的知识，解释三角形任意两边的和大于第三边的道理，体会其间的联系。

第10题可以先让学生独立计算，再交流每道题的计算过程和结果。其中，右边的一个三角形，要注意引导学生根据直角三角形两个锐角的度数和是90°，直接用90°减去锐角的度数，求出另一个锐角的度数。第11题，完成操作后，可以启发学生思考原来每块三角尺的内角和是180°，为什么用两块完全一样的三角尺拼成的三角形，内角和还是180°，并通过交流，明确：虽然拼成的三角形比原来的大了，但原来是直角的两个内角拼成了平角，已不再是拼成的三角形的内角了。所以，拼成的三角形的内角和还是180°。第12题可以先让学生用一张正方形纸折一折，再独立完成填空，并通过交流，使学生体会到：无论三角形的形状、大小怎么改变，三角形的内角和总是等于180°。第13题，完成练习后，要着重引导学生说说求三角形未知角度数的思考方法。