小正方体计数问题以及长方体展开图求面积

三视图中的小正方体计数问题

通过小正方体组合图形的三视图，确定组合图形中小正方体的个数，在中考或竞赛中经常会遇到。解决这

类问题如果没有掌握正确的方法，仅仅依赖空间想象去解决，不仅思维难度很大，还很容易出错。

通过三视图计算组合图形的小正方体的个数，关键是要弄清楚这个小正方体组合图形共有多少行、多少列、每行每列中各有多少层，理清了这些行、列、层的数量，小正方体的个数就迎刃而解了。在三视图中，通过主视图、俯视图可以确定组合图形的列数；通过俯视图、左视图可以确定组合图形的行数；通过主视图、左视图可以确定行与列中的最高层数。

以上方法可简要地概括为：“主俯看列，俯左看行，主左看层，分清行列层，计数不求人。”

一、结果唯一的计数

例1 在一仓库里堆放着若干个相同的正方体货箱，仓库管理员将这堆货箱的三视图画了出来，如图所示，则这堆正方体货箱共有（ ）。

A ．9箱 B ．10箱 C ．11箱 D ．12箱

分析：由三视图可知，这堆货箱共有从前到后3行，从左到右3列。由左视图：第一行均为1层，第二行

最高2层，第三行最高3层；由主视图：第一列、第三列均为1层，第二列（中间列）最高为3层。故第二行、第二列为2层，第三行第二列为3层，其余皆为1层。各行、各列小正方体的个数如俯视图中所表示。这堆货箱共有3+1+1+2+1+1=9（箱）。

练习题

1．在一仓库里堆放着若干个相同的正方体货箱，仓库管理员将这堆货箱的三视图画了出来（如图），则这堆正方体货箱共有（ ）

A ．4箱 B ．5箱 C ．6箱 D ．7箱

2．在仓库里堆放着若干个相同的正方体货箱，仓库管理员将这堆货箱从三个方向看到的图形画了出来，如图所示，则这堆正方体货箱共有（ ）

A ．9箱 B ．10箱 C ．11箱 D ．12箱

3．在某仓库里堆放着若干个相同的正方体货箱，管理员将这堆货箱的三视图画了出来（如图），则这堆正方体货箱共有（ ） A ．8箱 B ．9箱 C ．10箱 D ．11箱

4．在一个仓库里堆放有若干个相同的正方体货箱，仓库管理员将这堆货箱的三视图画出来，如图，则这堆货箱共有（ ）

A ．6个 B ．5个 C ．4个 D ．3个

5．在一个仓库里堆放有若干个相同的正方体货箱，仓库管理员将这堆货箱的三视图画出来，如图，则这堆货箱共有（ ）

A ．4个 B ．5个 C ．6个 D ．7个

6．在学校教师办公室里堆放着若干个相同的正方体粉笔盒，某同学将这堆粉笔盒的三视图画了出来，如图，则这堆粉笔盒共有（ ）

A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个

7．在抗震救灾某仓库里放着若干个相同的正方体货箱，某摄影记者将这堆货箱的三视图照了出来（如图），则这堆正方体货箱共有（ ）

A ．2箱 B ．3箱 C ．4箱 D ．5箱

8．在一个仓库里堆积着若干个正方体的货箱，要搬运这些货箱很困难，可是仓库管理员要落实一下箱子的数量，于是就想出一个方法：将这堆货箱分别从正面、左面、上面所看到的平面图形画了出来，如图所示，你能根据这些平面图形帮他清点一下箱子的数量吗？这些正方体货箱的个数为（ ）

A ．5 B ．6 C ．7 D ．8

9．如图是抗争救灾某仓库里放着若干个正方体货箱，某摄影记者将这堆货箱的三视图照了出来，则这堆正方体货箱共有（ ）

A ．5箱 B ．6箱 C ．7箱 D ．8箱

10．在学校仓库里堆放着若干个盒相同的正方体小粉笔盒，仓库管理员将这堆粉笔盒的三视图画了出来，如图所示，则这堆正方体小粉笔盒共有（ ）

A ．11盒 B ．10盒 C ．9盒 D ．8盒

11．在一个仓库里堆积着正方体的货箱若干，要搬运

这些箱子很困难，可是仓库管理员要落实一下箱子的

数量，于是就想出一个办法：将这堆货物的三种视图

画了出来，如图，你能根据三视图，帮他清点一下箱

子的数量吗？这些正方体箱的个数是（ ）

A ．6 B ．7 C ．8 D ．9

12．在一个仓库里堆积着正方体的货箱若干，要搬运这些箱子很困难，可是仓库管理员要落实一下箱子的数量，于是就想出一个办法：将这堆货物的三种视图画了出来，如图，你能根据三视图，帮他清点一下箱子的数量吗？这些箱子的个数是（ ）

A ．9 B ．8 C ．7 D ．6

13．仓库里堆积着正方体的货箱若干，根据如图所示的三视图可得出箱子的个数是（ ）

A ．6 B ．7 C ．8 D ．9

二、根据两种视图确定计数范围（结果不唯一的计数）

（1）知道几何体的主视图和俯视图

例2. 如图2，是由若干个（大于8个）大小相同的正方体组成的一个几何体的主视图和俯视图，则这个几何体的左视图不可能是（ ）。

分析：由给出的主视图、俯视图可以看出，该几何体共有2行，3列。第1列均为1层，第2列最高2层，第3列最高3层。

左视图为A 时，第1行、第2行最高均为3层。几何体中，第1列第1行为1层；第2列第1行、第2

行均可为1层或2层，，但不能同时为1层；第3列两行均为3层。此时，小正方体的个数如俯视图A 所示，最少为1+2+1+3+3=10（个），最多为1+2+2+3+3=11个。

左视图为B 时，第一行均为1层，第二行最高为3层。几何体中，第1列第1行为1层；第2列第1行为

1层，第2行均可为2层；第3列第1行为1层，第2行为3层。此时，小正方体的个数如俯视图B 所示。小正方体个数为1+1+1+2+3=8（个）。

左视图为C 时，第1行最高为2层，第2行最高为3层。几何体中，第1列第1行为1层；第2列第1

行为1层或2层，第2行均为1层或2层，但不能同时为1层；第3列第1行为1层或2层（不能与第2列第1行同时都为1层），第2行为3层。此时，小正方体的个数如俯视图C 所示。小正方体最少为1+2+1+1+3=8（个），最多为1+2+2+2+3=10个。

左视图为D 时，第1行最高为3层，第2行最高为2层。几何体中，第1列第1行为1层；第2列第1

行为1层或2层，第2行均为1层或2层，但不能同时为1层；第3列第1行为3层，第2行为1层或2层（不能与第2列第2行同时为1层）。此时，小正方体的个数如俯视图C 所示。小正方体最少为1+1+3+2+1=8（个），最多为1+2+2+2+3=10个。

练习题

1．如图是一个由若干个相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图，则能组成这个几何体的小正方体的个数最多是（ ）

A ．11个 B ．12个 C ．13个 D ．14个

2．如图是一个由若干个相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图，则能组成这个几何体的小正方体的个数最多是（ ）

A ．11个 B ．12个 C ．13个 D ．14个

3．由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数最多有（ ）

A ．4 B ．5 C ．6 D ．7

4．如图，分别是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体的主视图和俯视图，则组成这个几何体的小正方体的个数最多为（ ）

A ．7个 B ．8个 C ．9个 D ．10个

5．由n 个相同的小正方体堆成的几何体，其主视图、俯视图如图所示，则n 的最大值是（ ）

A ．16 B ．18 C ．19 D ．20

6．如图，由几个相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图，组成这个几何体的小正方体的个数最多是（ ）

A ．7个 B ．8个 C ．9个 D ．10个

7．由若干个相同小正方体组合成一个几何体，使组合几何体的主视图、俯视图如图所示．这样的组合几何体不只有一种，它的组成最少需要x 个小正方体，最多需要y 个小正方体．则y ﹣x 的值为（ ）

A ．4 B ．3 C ．2 D ．1

8．一个几何体由一些大小相同的小正方体组成，如图是它的主视图和俯视图，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少为（ ）

A ．3 B ．4 C ．5 D ．6

10．一个几何体由一些大小相同的小正方体组成，如图是它的主视图和俯视图，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少为（ ）

A ．4 B ．5 C ．6 D ．7

11．某几何体由一些大小相同的小正方体组成，如图分别是它的主视图和俯视图，那么要组成该几何体，至少需要多少个这样的小正方体（ ）

A ．3 B ．4 C ．5 D ．6

16．如图是一个由小正方体组成的物体的主视图和俯视图，由这两个图可以确定此物体所需的小正方形最少为（ ）

A ．7个 B ．8个 C ．10个 D ．12个

17．由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图与俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数最多为（ ）

A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．不能确定

18．如图是一些大小相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图，则组成这个几何体的小正方体最多块数是（ ）

A ．8 B ．10 C ．12 D ．14

19．如图是由一些大小相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图，则组成这个几何体的小正方体的块数最多是（ ）

A ．5 B ．6 C ．7 D ．8

20．如图，是由一些大小相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图，则组成这个几何体的小正方体最多块数是（ ）

A ．9 B ．10 C ．11 D ．12

19．如图是由一些相同的小正方体构成的几何体的主视图和左视图，在这个几何体中，小正方体的个数可能是 个．

20. 桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示，这个几何体最多可以由

个这样的正方体组成．

21．如图，一个几何体是由一些大小相同的小正方体摆成的，其主视图与左视图如图所示，则组成这个几何体

的小正方形最少有 个，最多有 个．

22．一个几何体是由若干个相同的正方体组成的，其主视图和左视图如图所示，则这个几何体最多可由 个这样的正方体组成．

23．如图，一个几何体的主视图和左视图相同．则摆成这个几何体最少需要 个小正方体．

25．一个几何体是由一些大小相同的小正方体摆成的，其主视图与左视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体最少有 个．

26．某一物体由若干相同的小正方体组成，其主视图，左视图分别如图，则该物体所含小正方体的个数最多有 个．

27．桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示，所以这个几何体最多可以由 个这样的正方体组成．

29．由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和左视图如图所示．

（1）请你画出这个简单几何体三种不同的俯视图；

（2）若组成这个简单几何体的小正方体的块数为n ，请你写出n 的所有可能值．

30．桌子上摆放着一个由若干个相同小正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示，试画出它的俯视图．

（3）知道几何体的俯视图和左视图

1．用一些大小相同的小正方体组成的几何体的左视图和俯视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的块数，最多可能是（ ）

A ．17 B ．18 C ．19 D ．20

2．由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的左视图和俯视图，如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最少是（ ）

A ．4 B ．5 C ．6 D ．7

3．如图，由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的俯视图和左视图，组成这个几何体的小正方体的个数是（ ）

A ．5或6或7

B ．6或7 C ．6或7或8 D ．7或8或9

1. 如图是一个长方体纸盒的展开图，求这个纸盒的表面积和容积．（纸的厚度不计）（单位：厘米）

2. 如图所示是一个长方体纸盒的展开图．

（单位：cm ）

（1）做这个铁盒需要多少铁皮？

（2）这个铁盒的容积是多少毫升？（铁皮厚度忽略不计）

3. 右图是一个长方体纸盒的展开图。如果不要盖子，做这个纸盒需要多少材料？

4. 看图计算，如图是长方体纸箱的展开图，请你根据有关数据，求出纸箱的体积．（单位：分米）

找次品

3瓶木糖醇，其中一瓶少了2粒，你能找出少的那一瓶吗？

在天平的左右两边各放1瓶钙片如果平衡，次品是剩下的那瓶

5瓶木糖醇，其中一瓶少了2粒，至少称几次就能保证把次品找出来？应该怎样称？

在9个零件里有 1 个是次品(次品重一些) ，用天平称，至少称几次就一定能找出次品来?