几何辅助线之手拉手模型(初三)

手拉手模型

教学目标:

1：理解手拉手模型的概念，并掌握其特点 2：掌握手拉手模型的应用

知识梳理： 1、等边三角形

条件：△OAB ，△OCD 均为等边三角形 结论：；导角核心：

；

2、等腰直角三角形

条件：△OAB ，△OCD 均为等腰直角三角形 结论：；；导角核心：

3、任意等腰三角形

条件：△OAB ，△OCD 均为等腰三角形，且∠AOB = ∠COD 结论：；；

核心图形：

核心条件：

；

；

典型例题：

例1:在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明：（1）△ABE ≌△DBC ；（2）AE=DC； （3）AE 与DC 的夹角为60°；（4）△AGB ≌△DFB ； （5）△EGB ≌△CFB ；（6）BH 平分∠AHC ；GF ∥AC

例2：如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1）△ABE ≌△DBC ；（2）AE=DC；（3）AE 与DC 的夹角为60°； （4）AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC

A

例3：如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1）△ABE ≌△DBC ；（2）AE=DC；（3）AE 与DC 的夹角为60°； （4）AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC

例4：如图，两个正方形ABCD 和DEFG ，连接AG 与CE ，二者相交于H 问：（1）△ADG ≌△CDE 是否成立？（2）AG 是否与CE 相等？ （3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？（4）HD 是否平分∠AHE ？

F

例5：如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ，连接AG,CE, 二者相交于H. 问AG 是否与CE 相等？

（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？（4）HD 是否平分∠AHE ？

1）△ADG ≌△CDE 是否成立？（2） （

A

例6：两个等腰三角形ABD 与BCE ，其中AB=BD,CB=EB,∠ABD=∠CBE ，连接AE 与CD. 问（1）△ABE ≌△DBC 是否成立？

（2）AE 是否与CD 相等？（3）AE 与CD 之间的夹角为多少度？ （4）HB 是否平分∠AHC ？

A

例7：如图，分别以△ABC 的边AB 、AC 同时向外作等腰直角三角形，其中 AB =AE ，AC =AD，∠BAE =∠CAD=90°，点G 为BC 中点，点F 为BE 中点，点H 为CD 中点。探索GF 与GH 的位置及数量关系并说明理由。

例8：如图1，已知∠DAC =90°，△ABC 是等边三角形，点P 为射线AD 任意一点（P 与A 不重合），连结CP ，将线段CP 绕点C 顺时针旋转60°得到线段CQ ，连结QB 并延长交直线AD 于点E. （1）如图1，猜想∠QEP=_______°；

（2）如图2，3，若当∠DAC 是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想∠QEP 的度数，选取一种情况加以证明；

（3）如图3，若∠DAC=135°，∠ACP=15°，且AC=4，求BQ 的长．

例9：在△ABC 中，AB =AC ，点D 是射线CB 上的一动点（不与点B 、C 重合），以AD 为一边在AD 的右侧作△ADE ，使AD =AE ，∠DAE =∠BAC ，连接CE ．

1）如图1，当点D 在线段CB 上，且∠BAC =90︒时，那么∠DCE =_______度； （2）设∠BAC =α，∠DCE =β．

①如图2，当点D 在线段CB 上，∠BAC ≠90︒时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论； ②如图3，当点D 在线段CB 的延长线上，∠BAC ≠90︒时，请将图3补充完整，并直接写出此时α与β之间的数量关系．

（3）结论：α与β之间的数量关系是____________．

例10：在∆ABC 中，AB =BC =2，∠ABC =90︒，BD 为斜边AC 上的中线，将∆ABD 绕点D 顺时针旋转

α(0︒

（1）如图1，直接写出BE 与FC 的数量关系：____________; （2）如图2，M 、N 分别为EF 、BC 的中点. 求证：MN =__________;

（3）连接BF ，CE ，如图3，直接写出在此旋转过程中，线段BF 、CE 与AC 之间的数量关系： .

当堂练习：

1：在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，点D 在射线BC 上（与B 、C 两点不重合），以AD 为边作正方形ADEF ，使点E 与点B 在直线AD 的异侧，射线BA 与射线CF 相交于点G ．若点D 在线段BC 上，①依题意补全图1； ②判断BC 与CG 的数量关系与位置关系，并加以证明；

2：已知：如图，点C 为线段AB 上一点，∆ACM 、∆CBN 是等边三角形．CG 、CH 分别是∆ACN 、∆MCB 的高．求证：CG =CH ．

3：如图，已知∆ABC 和∆AD E 都是等边三角形，B 、C 、D 在一条直线上，试说明CE 与AC +CD 相等的理由．

4：已知，如图，P 是正方形ABCD 内一点，且PA :PB :PC =1:2:3，求∠APB 的度数．

5：如图所示，P 是等边∆ABC 中的一点，PA =

2，PB =PC =4，试求∆ABC 的边长.

6：在Rt △ABC 中，∠ACB =90︒，D 是AB 的中点，DE ⊥BC 于E ，连接CD ． （1）如图1，如果∠A =30︒，那么DE 与CE 之间的数量关系是___________．

（2）如图2，在（1）的条件下，P 是线段CB 上一点，连接DP ，将线段DP 绕点D 逆时针旋转60°，得到线段DF ，连接BF ，请猜想DE 、BF 、BP 三者之间的数量关系，并证明你的结论．

（3）如图3，如果∠A =α（0︒

A

A

D

F

D

C E B C E P B C

E

B

课后练习：

1：在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =α(0︒

（1）如图1，直接写出∠ABD 的大小（用含α的式子表示）；

（2）如图2，∠BCE =150︒，∠ABE =60︒，判断△ABE 的形状并加以证明；

（3）在（2）的条件下，连结DE ，若∠DEC =45︒，求α的值

2：如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，边BA 绕点B 顺时针旋转α角得到线段BP ，连结PA ，PC ，过点P 作PD ⊥AC 于点D ．

（1）如图1，若α=60°，求∠DPC 的度数；

（2）如图2，若α=30°，直接写出∠DPC 的度数；

（3）如图3，若α=150°，依题意补全图，并求∠DPC 的度数．

3：在△ABC 中，AB =AC ，将线段AC 绕着点C 逆时针旋转得到线段CD ，旋转角为α，且0︒

（1）如图1，当∠BAC =100︒，α=60 时，∠CBD 的大小为_________；

（2）如图2，当∠BAC =100︒，α=20︒时，求∠CBD 的大小；

（3）已知∠BAC 的大小为m (60︒

4：如图1，正方形ABCD 与正方形AEFG 的边AB 、AE (AB

（1）当正方形AEFG 旋转至如图2所示的位置时，求证：BE =DG ；

（2）当点C 在直线BE 上时，连接FC ，直接写出∠FCD 的度数；

（3）如图3

，如果α=45︒，AB =2，AE =，求点G 到BE 的距离

∠A =90︒，5：将等腰Rt △ABC 和等腰Rt △ADE 按图1方式放置，AD 边与AB 边重合，将△A AB =2，AD =4．D E

绕点A 逆时针方向旋转一个角度α(0︒≤α≤180︒)，BD 的延长线交直线CE 于点P ．

（1）如图2，BD 与CE 的数量关系是__________，位置关系是__________；

（2）在旋转的过程中，当AD ⊥BD 时，求出CP 的长；

（3）在此旋转过程中，求点P 运动的路线长．

6：△ABC 中，∠ABC =45︒，AH ⊥BC 于点H ，将△AHC 绕点H 逆时针旋转90°后，点C 的对应点为点D ，直线BD 与直线AC 交于点E ，连接EH ．

（1）如图1，当∠BAC 为锐角时，

①求证：BE ⊥AC ；②求∠BEH 的度数；

（2）当∠BAC 为钝角时，请依题意用实线补全图2，并用等式表示出线段EC ，ED ，EH 之间的数量关系．

7：如图1，在∆ACB 和∆AED 中，AC =BC ，AE =DE ，∠ACB =∠AED =90︒，点E 在AB 上，F 是线段BD 的中点，连接CE 、FE ．

（1）请你探究线段CE 与FE 之间的数量关系（直接写出结果，不需要说明理由）；

（2）将图1中的∆AED 绕点A 顺时针旋转，使∆AED 的一边AE 恰好与∆ACB 的边AC 在同一条直线上（如图2），连接BD ，取BD 的中点F ，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；

（3）将图1中的∆AED 绕点A 顺时针旋转任意的角度（如图3），连接BD ，取BD 的中点F ，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．