2016年四川省达州市中考数学试卷(解析版)

2016年四川省达州市中考数学试卷

一、（共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求）

1．下列各数中最小的是（ ）

A ．0 B ．﹣3 C ．﹣ D ．1

2．在“十二•五”期间，达州市经济保持稳步增长，地区生产总值约由819亿元增加到1351亿元，年均增长约10%，将1351亿元用科学记数法表示应为（ ）

A ．1.351×1011 B ．13.51×1012 C ．1.351×1013 D ．0.1351×1012

3．如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“你”字所在面相对的面上标的字是（ ）

A ．遇 B ．见 C ．未 D ．来

的解集在数轴上表示正确的是（ ） 4．不等式组

A ．

C ． B ． D．

5．下列说法中不正确的是（ ）

A ．函数y=2x的图象经过原点

B ．函数y=的图象位于第一、三象限

C ．函数y=3x﹣1的图象不经过第二象限

D ．函数y=﹣的值随x 的值的增大而增大

6．如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A ，B ，C ，D 中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为（ ）

A ． B ． C ． D ．

7．2）B 是y 轴左侧⊙A 优弧上一点，如图，半径为3的⊙A 经过原点O 和点C （0，，则tan ∠OBC 为（ ）

A ． B ．2 C ． D ．

8．如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是（ ）

A ．25 B ．33 C ．34 D ．50

9．如图，在△ABC 中，BF 平分∠ABC ，AF ⊥BF 于点F ，D 为AB 的中点，连接DF 延长交AC 于点E ．若AB=10，BC=16，则线段EF 的长为（ ）

A ．2 B ．3 C ．4 D ．5

10．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a ≠0）的图象与x 轴交于点A （﹣1，0），与y 轴的交点B 在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论： ①abc ＞0

②4a+2b+c＞0

③4ac ﹣b 2＜8a

④＜a ＜

⑤b ＞c ．

其中含所有正确结论的选项是（ ）

A ．①③ B ．①③④ C．②④⑤ D．①③④⑤

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分，把最后答案直接填在题中的横线上）

11．分解因式：a 3﹣4a= ．

12．AB ∥CD ，AE 交CD 于点C ，DE ⊥AE 于点E ， 如图，若∠A=42°，则∠D=．

13．已知一组数据0，1，2，2，x ，3的平均数是2，则这组数据的方差是 14．n 分别为一元二次方程x 2+2x﹣2018=0的两个实数根， 设m ，则m 2+3m+n=．15．如图，P 是等边三角形ABC 内一点，将线段AP 绕点A 顺时针旋转60°得到线段AQ ，连接BQ ．若PA=6，PB=8，PC=10，则四边形APBQ 的面积为 ．

16．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的边AB ：BC=3：2，点A （3，0），B （0，6）分别在x 轴，y 轴上，反比例函数y=（x ＞0）的图象经过点D ，且与边BC 交于点E ，则点E 的坐标为 ．

三、解答题（72分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）（一）（本题2个小题，共12分）

17．计算：﹣（﹣2016）0+|﹣3|﹣4cos45°．

18．已知x ，y 满足方程组，求代数式（x ﹣y ）2﹣（x+2y）（x ﹣2y ）的值．

（二）、本题2个小题，共14分．

19．达州市图书馆今年4月23日开放以来，受到市民的广泛关注.5月底，八年级（1）班学生小颖对全班同学这一个多月来去新图书馆的次数做了调查统计，并制成了如图不完整的统计图表．

请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：

（1）填空：a= ，b= ；

（2）求扇形统计图中“0次”的扇形所占圆心角的度数；

（3）从全班去过该图书馆的同学中随机抽取1人，谈谈对新图书馆的印象和感受．求恰好抽中去过“4次及以上”的同学的概率．

20．如图，在▱ABCD 中，已知AD ＞AB ．

（1）实践与操作：作∠BAD 的平分线交BC 于点E ，在AD 上截取AF=AB，连接EF ；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

（2）猜想并证明：猜想四边形ABEF 的形状，并给予证明．

（三）、本题2个小题，共16分．

21．如图，在一条笔直的东西向海岸线l 上有一长为1.5km 的码头MN 和灯塔C ，灯塔C 距码头的东端N 有20km ．以轮船以36km/h的速度航行，上午10：00在A 处测得灯塔C 位于轮船的北偏西30°方向，上午10：40在B 处测得灯塔C 位于轮船的北偏东60°方向，且与灯塔C 相距12km ．

（1）若轮船照此速度与航向航向，何时到达海岸线？

（2）若轮船不改变航向，该轮船能否停靠在码头？请说明理由．（参考数据：≈1.4，≈1.7）

22．C 为半圆O 上一点，BC ，如图，已知AB 为半圆O 的直径，连接AC ，过点O 作OD ⊥AC 于点D ，过点A 作半圆O 的切线交OD 的延长线于点E ，连接BD 并延长交AE 于点F ． （1）求证：AE •BC=AD•AB ；

（2）若半圆O 的直径为10，sin ∠BAC=，求AF 的长．

（四）、本题2个小题，共19分

（1）求表中a 的值；

（2）若该商场购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．该商场计划将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售．请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？

（3）由于原材料价格上涨，每张餐桌和餐椅的进价都上涨了10元，按照（2）中获得最大利润的方案购进餐桌和餐椅，在调整成套销售量而不改变销售价格的情况下，实际全部售出后，所得利润比（2）中的最大利润少了2250元．请问本次成套的销售量为多少？ 24．△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B ，C 重合），以AD 为边在AD 右侧作正方形ADEF ，连接CF ．

（1）观察猜想

如图1，当点D 在线段BC 上时，

①BC 与CF 的位置关系为：

②BC ，CD ，CF 之间的数量关系为：（将结论直接写在横线上） （2）数学思考

如图2，当点D 在线段CB 的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．

（3）拓展延伸

如图3，当点D 在线段BC 的延长线上时，延长BA 交CF 于点G ，连接GE ．若已知AB=2，CD=BC ，请求出GE 的长．

（五）、本题11分

25．如图，已知抛物线y=ax2+2x+6（a ≠0）交x 轴与A ，B 两点（点A 在点B 左侧），将直尺WXYZ 与x 轴负方向成45°放置，边WZ 经过抛物线上的点C （4，m ），与抛物线的另一交点为点D ，直尺被x 轴截得的线段EF=2，且△CEF 的面积为6．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）探究：在直线AC 上方的抛物线上是否存在一点P ，使得△ACP 的面积最大？若存在，请求出面积的最大值及此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）将直尺以每秒2个单位的速度沿x 轴向左平移，设平移的时间为t 秒，平移后的直尺为W ′X ′Y ′Z ′，其中边X ′Y ′所在的直线与x 轴交于点M ，与抛物线的其中一个交点为点N ，请直接写出当t 为何值时，可使得以C 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形．

2016年四川省达州市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、（共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求）

1．下列各数中最小的是（ ）

A ．0 B ．﹣3 C ．﹣ D ．1

【考点】实数大小比较．

【分析】根据正数都大于0，负数都小于0，两个负数绝对值大的反而小即可解答．

【解答】解：因为在A 、B 、C 、D 四个选项中只有B 、C 为负数，故应从B 、C 中选择； 又因为|﹣3|＞|﹣|=2，

所以﹣3＜﹣，

故选B ．

2．在“十二•五”期间，达州市经济保持稳步增长，地区生产总值约由819亿元增加到1351亿元，年均增长约10%，将1351亿元用科学记数法表示应为（ ）

A ．1.351×1011 B ．13.51×1012 C ．1.351×1013 D ．0.1351×1012

【考点】科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值是易错点，由于1351亿有12位，所以可以确定n=12﹣1=11．

【解答】解：1351亿=135 100 000 000=1.351×1011．

故选A ．

3．如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“你”字所在面相对的面上标的字是（ ）

A ．遇 D ．来

【考点】几何体的展开图．

【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．

【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，

“遇”与“的”是相对面，

“见”与“未”是相对面，

“你”与“来”是相对面．

故选D ．

4．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）

B ．见 C ．未

A ．

C ． B ． D．

【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．

【分析】分别解两个不等式，然后求它们的公共部分即可得到原不等式组的解集．

【解答】解：

由①得，x ≤3；

由②得，x ＞﹣；

所以，不等式组的解集为﹣＜x ≤3．

故选A ．

5．下列说法中不正确的是（ ）

A ．函数y=2x的图象经过原点

B ．函数y=的图象位于第一、三象限

C ．函数y=3x﹣1的图象不经过第二象限

D ．函数y=﹣的值随x 的值的增大而增大

【考点】正比例函数的性质；一次函数的性质；反比例函数的性质．

【分析】分别利用正比例函数以及反比例函数的定义分析得出答案．

【解答】解：A 、函数y=2x的图象经过原点，正确，不合题意；

B 、函数y=的图象位于第一、三象限，正确，不合题意；

C 、函数y=3x﹣1的图象不经过第二象限，正确，不合题意；

D 、函数y=﹣的值，在每个象限内，y 随x 的值的增大而增大，故错误，符合题意． 故选：D ．

6．如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A ，B ，C ，D 中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为（ ）

A ． B ． C ． D ．

【考点】勾股定理的应用．

【分析】从点A ，B ，C ，D 中任取三点，找出所有的可能，以及能构成直角三角形的情况数，即可求出所求的概率．

B ，C ，D 中任取三点能组成三角形的一共有4种可能，∵从点A ，【解答】解：其中△ABD ，

△ADC ，△ABC 是直角三角形，

∴所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为．

故选D ．

7．2）B 是y 轴左侧⊙A 优弧上一点，如图，半径为3的⊙A 经过原点O 和点C （0，，则tan ∠OBC 为（ ）

A ． B ．2 C ． D ．

【考点】圆周角定理；锐角三角函数的定义．

【分析】作直径CD ，根据勾股定理求出OD ，根据正切的定义求出tan ∠CDO ，根据圆周角定理得到∠OBC=∠CDO ，等量代换即可．

【解答】解：作直径CD ，

在Rt △OCD 中，CD=6，OC=2，

则OD=

tan ∠CDO===4， ，

由圆周角定理得，∠OBC=∠CDO ，

则tan ∠OBC=

故选：C ． ，

8．如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是（ ）

A ．25 B ．33 C ．34 D ．50

【考点】规律型：图形的变化类．

【分析】由第一次操作后三角形共有4个、第二次操作后三角形共有（4+3）个、第三次操作后三角形共有（4+3+3）个，可得第n 次操作后三角形共有4+3（n ﹣1）=3n+1个，根据题意得3n+1=100，求得n 的值即可．

【解答】解：∵第一次操作后，三角形共有4个；

第二次操作后，三角形共有4+3=7个；

第三次操作后，三角形共有4+3+3=10个；

…

∴第n 次操作后，三角形共有4+3（n ﹣1）=3n+1个；

当3n+1=100时，解得：n=33，

故选：B ．

9．如图，在△ABC 中，BF 平分∠ABC ，AF ⊥BF 于点F ，D 为AB 的中点，连接DF 延长交AC 于点E ．若AB=10，BC=16，则线段EF 的长为（ ）

A ．2 B ．3 C ．4 D ．5

【考点】相似三角形的判定与性质；平行线的判定；直角三角形斜边上的中线．

【分析】根据直角三角形斜边上中线是斜边的一半可得DF=AB=AD=BD=5且

∠ABF=∠BFD ，结合角平分线可得∠CBF=∠DFB ，即DE ∥BC ，进而可得DE=8，由EF=DE﹣DF 可得答案．

【解答】解：∵AF ⊥BF ，

∴∠AFB=90°，

∵AB=10，D 为AB 中点，

∴DF=AB=AD=BD=5，

∴∠ABF=∠BFD ，

又∵BF 平分∠ABC ，

∴∠ABF=∠CBF ，

∴∠CBF=∠DFB ，

∴DE ∥BC ，

∴△ADE ∽△ABC ，

∴=，即，

解得：DE=8，

∴EF=DE﹣DF=3，

故选：B ．

10．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a ≠0）的图象与x 轴交于点A （﹣1，0），与y 轴的交点B 在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论： ①abc ＞0

②4a+2b+c＞0

③4ac ﹣b 2＜8a

④＜a ＜

⑤b ＞c ．

其中含所有正确结论的选项是（ ）

A ．①③ B ．①③④ C．②④⑤ D．①③④⑤

【考点】二次函数的性质．

【分析】根据对称轴为直线x=1及图象开口向下可判断出a 、b 、c 的符号，从而判断①；根据对称轴得到函数图象经过（3，0），则得②的判断；根据图象经过（﹣1，0）可得到a 、b 、c 之间的关系，从而对②⑤作判断；从图象与y 轴的交点B 在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间可以判断c 的大小得出④的正误．

【解答】解：①∵函数开口方向向上，

∴a ＞0；

∵对称轴在原点左侧

∴ab 异号，

∵抛物线与y 轴交点在y 轴负半轴，

∴c ＜0，

∴abc ＞0，

故①正确；

②∵图象与x 轴交于点A （﹣1，0），对称轴为直线x=﹣1，

∴图象与x 轴的另一个交点为（3，0），

∴当x=2时，y ＜0，

∴4a+2b+c＜0，

故②错误；

③∵图象与x 轴交于点A （﹣1，0），

∴当x=﹣1时，y=（﹣1）2a+b×（﹣1）+c=0，

∴a ﹣b+c=0，即a=b﹣c ，c=b﹣a ，

∵对称轴为直线x=1

∴=1，即b=﹣2a ，

∴c=b﹣a=（﹣2a ）﹣a=﹣3a ，

∴4ac ﹣b 2=4•a •（﹣3a ）﹣（﹣2a ）2=﹣16a 2＜0

∵8a ＞0

∴4ac ﹣b 2＜

8a

故③正确

④∵图象与y 轴的交点B 在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，

∴﹣2＜c ＜﹣1

∴﹣2＜﹣3a ＜﹣1，

∴＞a ＞；

故④正确

⑤∵a ＞0，

∴b ﹣c ＞0，即b ＞c ；

故⑤正确；

故选：D ．

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分，把最后答案直接填在题中的横线上） 11．分解因式：a 3﹣4a= a （a+2）（a ﹣2） ．

【考点】提公因式法与公式法的综合运用．

【分析】原式提取a ，再利用平方差公式分解即可．

【解答】解：原式=a（a 2﹣4）

=a（a+2）（a ﹣2）．

故答案为：a （a+2）（a ﹣2）

12．如图，AB ∥CD ，AE 交CD 于点C ，DE ⊥AE 于点E ，若∠A=42°，则∠D= 48° ．

【考点】平行线的性质．

【分析】首先根据平行线的性质求得∠ECD 的度数，然后在直角△ECD 中，利用三角形内角和定理求解．

【解答】解：∵AB ∥CD ，

∴∠ECD=∠A=42°，

又∵DE ⊥AE ，

∴直角△ECD 中，∠D=90°﹣∠ECD=90°﹣42°=48°．

故答案为：48°．

13．已知一组数据0，1，2，2，x ，3的平均数是2，则这组数据的方差是

【考点】方差；算术平均数．

【分析】先由平均数的公式计算出x 的值，再根据方差的公式计算即可．

【解答】解：∵数据0，1，2，2，x ，3的平均数是2，

∴（0+1+2+2+x+3）÷6=2，

∴x=4，

∴这组数据的方差= [（2﹣0）2+（2﹣1）2+（2﹣2）2+（2﹣2）2+（2﹣4）2+（2﹣3）2]=，

．

故答案为：．

14．设m ，n 分别为一元二次方程x 2+2x﹣2018=0的两个实数根，则m 2+3m+n=2016．

【考点】根与系数的关系．

【分析】先利用一元二次方程根的定义得到m 2=﹣2m+2018，则m 2+3m+n可化简为2018+m+n，再根据根与系数的关系得到m+n=﹣2，然后利用整体代入的方法计算．

【解答】解：∵m 为一元二次方程x 2+2x﹣2018=0的实数根，

∴m 2+2m﹣2018=0，即m 2=﹣2m+2018，

∴m 2+3m+n=﹣2m+2018+3m+n=2018+m+n，

∵m ，n 分别为一元二次方程x 2+2x﹣2018=0的两个实数根，

∴m+n=﹣2，

∴m 2+3m+n=2018﹣2=2016．

15．如图，P 是等边三角形ABC 内一点，将线段AP 绕点A 顺时针旋转60°得到线段AQ ，连接BQ ．若PA=6，PB=8，PC=10，则四边形APBQ 的面积为

24+9

．

【考点】旋转的性质；等边三角形的性质．

【分析】连结PQ ，如图，根据等边三角形的性质得∠BAC=60°，AB=AC，再根据旋转的性质得AP=PQ=6，∠PAQ=60°，则可判断△APQ 为等边三角形，所以PQ=AP=6，接着证明△APC ≌△ABQ 得到PC=QB=10，然后利用勾股定理的逆定理证明△PBQ 为直角三角形，再根据三角形面积公式，利用S 四边形APBQ =S△BPQ +S△APQ 进行计算．

【解答】解：连结PQ ，如图，

∵△ABC 为等边三角形，

∴∠BAC=60°，AB=AC，

∵线段AP 绕点A 顺时针旋转60°得到线段AQ ，

∴AP=PQ=6，∠PAQ=60°，

∴△APQ 为等边三角形，

∴PQ=AP=6，

∵∠CAP+∠BAP=60°，∠BAP+∠BAQ=60°，

∴∠CAP=∠BAQ ，

在△APC 和△ABQ 中，

，

∴△APC ≌△ABQ ，

∴PC=QB=10，

在△BPQ 中，∵PB 2=82=64，PQ 2=62，BQ 2=102，

而64+36=100，

∴PB 2+PQ2=BQ2，

∴△PBQ 为直角三角形，∠BPQ=90°，

∴S 四边形APBQ =S△BPQ +S△APQ =×6×8+

故答案为24+9． ×62=24+9．

16．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的边AB ：BC=3：2，点A （3，0），B （0，6）分别在x 轴，y 轴上，反比例函数y=（x ＞0）的图象经过点D ，且与边BC 交于点E ，则点E 的坐标为 （2，7） ．

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．

【分析】首先过点D 作DF ⊥x 轴于点F ，易证得△AOB ∽△DFA ，然后由相似三角形的对应边成比例，求得点D 的坐标，即可求得反比例函数的解析式，再利用平移的性质求得点C 的坐标，继而求得直线BC 的解析式，则可求得点E 的坐标．

【解答】解：过点D 作DF ⊥x 轴于点F ，则∠AOB=∠DFA=90°，

∴∠OAB+∠ABO=90°，

∵四边形ABCD 是矩形，

∴∠BAD=90°，AD=BC，

∴∠OAB+∠DAF=90°，

∴∠ABO=∠DAF ，

∴△AOB ∽△DFA ，

∴OA ：DF=OB：AF=AB：AD ，

∵AB ：BC=3：2，点A （3，0），B （0，6），

∴AB ：AD=3：2，OA=3，OB=6，

∴DF=2，AF=4，

∴OF=OA+AF=7，

∴点D 的坐标为：（7，2），

∴反比例函数的解析式为：y=①，点C 的坐标为：（4，8），

设直线BC 的解析式为：y=kx+b，

则，

解得：，

∴直线BC 的解析式为：y=x+6②，

联立①②得：或（舍去），

∴点E 的坐标为：（2，7）．

故答案为：（2，7）．

三、解答题（72分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）（一）（本题2个小题，共12分）

17．计算：﹣（﹣2016）0+|﹣3|﹣4cos45°．

【考点】平方根；绝对值；零指数幂；特殊角的三角函数值．

【分析】原式利用二次根式性质，零指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．

【解答】解：原式=2

18．已知x ，y 满足方程组，求代数式（x ﹣y ）2﹣（x+2y）（x ﹣2y ）的值． ﹣1+3﹣4×=2．

【考点】代数式求值；解二元一次方程组．

【分析】求出方程组的解得到x 与y 的值，原式利用平方差公式，完全平方公式化简，去括号合并后代入计算即可求出值．

【解答】解：原式=x2﹣2xy+y2﹣x 2+4y2=﹣2xy+5y2，

，

①+②得：3x=﹣3，即x=﹣1，

把x=﹣1代入①得：y=，

则原式=+=．

（二）、本题2个小题，共14分．

19．达州市图书馆今年4月23日开放以来，受到市民的广泛关注.5月底，八年级（1）班学生小颖对全班同学这一个多月来去新图书馆的次数做了调查统计，并制成了如图不完整的统计图表．

（1）填空：a= 16 ，b= 20 ；

（2）求扇形统计图中“0次”的扇形所占圆心角的度数；

（3）从全班去过该图书馆的同学中随机抽取1人，谈谈对新图书馆的印象和感受．求恰好抽中去过“4次及以上”的同学的概率．

【考点】扇形统计图．

【分析】（1）根据去图书馆“1次”的学生数÷其占全班人数的百分比可得总人数，将总人数减去其余各次数的人数可得“2次”的人数，即a 的值，将“3次”的人数除以总人数可得b 的值；

（

2

）将

360

°乘以

“

0次”人数占总人数比例可得；

（3）直接根据概率公式可得．

【解答】解：（1）该班学生总数为：12÷24%=50（人），

则a=50﹣8﹣12﹣10﹣4=16，

b=

（2）扇形统计图中“0次”的扇形所占圆心角的度数为：360°×=57.6°； ×100=20；

（3）从全班去过该图书馆的同学中随机抽取1人，有50种等可能结果，

其中恰好抽中去过“4次及以上”的同学有4种结果，

故恰好抽中去过“4次及以上”的同学的概率为

故答案为：（1）16，20．

=．

20．如图，在▱ABCD 中，已知AD ＞AB ．

（1）实践与操作：作∠BAD 的平分线交BC 于点E ，在AD 上截取AF=AB，连接EF ；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

（2）猜想并证明：猜想四边形ABEF 的形状，并给予证明．

【考点】平行四边形的性质；作图—基本作图．

【分析】（1）由角平分线的作法容易得出结果，在AD 上截取AF=AB，连接EF ；画出图形即可；

AF=AB，（2）由平行四边形的性质和角平分线得出∠BAE=∠AEB ，证出BE=AB，由（1）得：

得出BE=AF，即可得出结论．

【解答】解：（1）如图所示：

（2）四边形ABEF 是菱形；理由如下：

∵四边形ABCD 是平行四边形，

∴AD ∥BC ，

∴∠DAE=∠AEB ，

∵AE 平分∠BAD ，

∴∠BAE=∠DAE ，

∴∠BAE=∠AEB ，

∴BE=AB，

由（1）得：AF=AB，

∴BE=AF，

又∵BE ∥AF ，

∴四边形ABEF 是平行四边形，

∵AF=AB，

∴四边形ABEF 是菱形．

（三）、本题2个小题，共16分．

21．如图，在一条笔直的东西向海岸线l 上有一长为1.5km 的码头MN 和灯塔C ，灯塔C 距码头的东端N 有20km ．以轮船以36km/h的速度航行，上午10：00在A 处测得灯塔C 位于轮船的北偏西30°方向，上午10：40在B 处测得灯塔C 位于轮船的北偏东60°方向，且与灯塔C 相距12km ．

（1）若轮船照此速度与航向航向，何时到达海岸线？

（2）若轮船不改变航向，该轮船能否停靠在码头？请说明理由．（参考数据：≈1.4，≈1.7）

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．

【分析】（1）延长AB 交海岸线l 于点D ，过点B 作BE ⊥海岸线l 于点E ，过点A 作AF ⊥l 于F ，首先证明△ABC 是直角三角形，再证明∠BAC=30°，再求出BD 的长即可角问题． （2）求出CD 的长度，和CN 、CM 比较即可解决问题．

【解答】解：（1）延长AB 交海岸线l 于点D ，过点B 作BE ⊥海岸线l 于点E ，过点A 作AF ⊥l 于F ，如图所示．

∵∠BEC=∠AFC=90°，∠EBC=60°，∠CAF=30°，

∴∠ECB=30°，∠ACF=60°，

∴∠BCA=90°，

∵BC=12，AB=36×=24，

∴AB=2BC，

∴∠BAC=30°，∠ABC=60°，

∵∠ABC=∠BDC+∠BCD=60°，

∴∠BDC=∠BCD=30°，

∴BD=BC=12，

∴时间t==小时=20分钟，

∴轮船照此速度与航向航向，上午11：：00到达海岸线．

（2）∵BD=BC，BE ⊥CD ，

∴DE=EC，

在RT △BEC 中，∵BC=12，∠BCE=30°，

∴BE=6，EC=6≈10.2，

∴CD=20.4，

∵20＜20.4＜21.5，

∴轮船不改变航向，轮船可以停靠在码头．

22．C 为半圆O 上一点，BC ，如图，已知AB 为半圆O 的直径，连接AC ，过点O 作OD ⊥AC 于点D ，过点A 作半圆O 的切线交OD 的延长线于点E ，连接BD 并延长交AE 于点F ． （1）求证：AE •BC=AD•AB ；

（2）若半圆O 的直径为10，sin ∠BAC=，求AF 的长．

【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；切线的性质；锐角三角函数的定义．

【分析】（1）只要证明△EAD ∽△ABC 即可解决问题．

（2）作DM ⊥AB 于M ，利用DM ∥AE ，得

【解答】（1）证明：∵AB 为半圆O 的直径，

∴∠C=90°，

∵OD ⊥AC ，

∴∠CAB+∠AOE=90°，∠ADE=∠C=90°，

∵AE 是切线，

∴OA ⊥AE ，

∴∠E+∠AOE=90°，

∴∠E=∠CAB ，

∴△EAD ∽△ABC ，

∴AE ：AB=AD：BC ，

∴AE •BC=AD•AB ．

（2）解：作DM ⊥AB 于M ，

∵半圆O 的直径为10，sin ∠BAC=，

∴BC=AB•sin ∠BAC=6，

∴AC=

∵OE ⊥AC ，

∴AD=AC=4，OD=BC=3，

∵sin ∠MAD=

∴DM==， ==，BM=AB﹣AM=， =8， =，求出DM 、BM 即可解决问题． ，AM=

∵DM ∥AE ，

∴=，

．

∴AF=

（四）、本题2个小题，共19分

（1）求表中a 的值；

（2）若该商场购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．该商场计划将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售．请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？

（3）由于原材料价格上涨，每张餐桌和餐椅的进价都上涨了10元，按照（2）中获得最大利润的方案购进餐桌和餐椅，在调整成套销售量而不改变销售价格的情况下，实际全部售出后，所得利润比（2）中的最大利润少了2250元．请问本次成套的销售量为多少？

【考点】一次函数的应用；一元一次不等式组的应用．

【分析】（1）根据餐桌和餐椅数量相等列出方程求解即可；

（2）设购进餐桌x 张，餐椅（5x+20）张，销售利润为W 元．根据购进总数量不超过200张，得出关于x 的一元一次不等式，解不等式即可得出x 的取值范围，再根据“总利润=成套销售的利润+零售餐桌的利润+零售餐椅的利润”即可得出W 关于x 的一次函数，根据一次函数的性质即可解决最值问题；

（3）设本次成套销售量为m 套，先算出涨价后每张餐桌及餐椅的进价，再根据利润间的关系找出关于m 的一元一次方程，解方程即可得出结论．

【解答】解：（1）由题意得=，

解得a=150，

经检验，a=150是原分式方程的解；

（

2

）设购进餐桌

x

张，则购进餐椅（5x+20）张，销售利润为W 元．

由题意得：x+5x+20≤200，

解得：x ≤30．

∵a=150，

∴餐桌的进价为150元/张，餐椅的进价为40元/张．

依题意可知：

W=x •+x •+（5x+20﹣x •4）•（70﹣40）=245x+600，

∵k=245＞0，

∴W 关于x 的函数单调递增，

∴当x=30时，W 取最大值，最大值为7950．

故购进餐桌30张、餐椅170张时，才能获得最大利润，最大利润是7950元．

（3）涨价后每张餐桌的进价为160元，每张餐椅的进价为50元，

设本次成套销售量为m 套．

依题意得：m+（30﹣m ）×+×（70﹣50）=7950﹣2250，

即6700﹣50m=5700，解得：m=20．

答：本次成套的销售量为20套．

24．△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B ，C 重合），以AD 为边在AD 右侧作正方形ADEF ，连接CF ．

（1）观察猜想

如图1，当点D 在线段BC 上时，

①BC 与CF 的位置关系为：．

②BC ，CD ，CF 之间的数量关系为：（将结论直接写在横线上） （2）数学思考

如图2，当点D 在线段CB 的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．

（3）拓展延伸

如图3，当点D 在线段BC 的延长线上时，延长BA 交CF 于点G ，连接GE ．若已知AB=2，CD=BC ，请求出GE 的长．

【考点】四边形综合题．

【分析】（1）①根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB ≌△FAC ，根据全等三角形的性质即可得到结论；②由正方形ADEF 的性质可推出△DAB ≌△FAC ，根据全等三角形的性质得到CF=BD，∠ACF=∠ABD ，根据余角的性质即可得到结论；

（2）根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB ≌△FAC ，根据全等三角形的性质即可得到结论

（3）根据等腰直角三角形的性质得到BC=AB=4，AH=BC=2，求得DH=3，根据正方形的性质得到AD=DE，∠ADE=90°，根据矩形的性质得到NE=CM，EM=CN，由角的性质得到∠ADH=∠DEM ，根据全等三角形的性质得到EM=DH=3，DM=AH=2，等量代换得到CN=EM=3，EN=CM=3，根据等腰直角三角形的性质得到CG=BC=4，根据勾股定理即可得到结论．

【解答】解：（1）①正方形ADEF 中，AD=AF，

∵∠BAC=∠DAF=90°，

∴∠BAD=∠CAF ，

在△DAB 与△FAC 中，

∴△DAB ≌△FAC ，

∴∠B=∠ACF ，

∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF ⊥BD ；

故答案为：垂直；

②△DAB ≌△FAC ，

∴CF=BD，

∵BC=BD+CD，

∴BC=CF+CD；

故答案为：BC=CF+CD；

（2）成立，

∵正方形ADEF 中，AD=AF，

∵∠BAC=∠DAF=90°，

∴∠BAD=∠CAF ，

在△DAB 与△FAC 中，， ，

∴△DAB ≌△FAC ，

∴∠B=∠ACF ，CF=BD

∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF ⊥BD ；

∵BC=BD+CD，

∴BC=CF+CD；

（3）解：过A 作AH ⊥BC 于H ，过E 作EM ⊥BD 于M ，EN ⊥CF 于N ，

∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴BC=AB=4，AH=BC=2，

∴CD=BC=1，CH=BC=2，

∴DH=3，

由（2）证得BC ⊥CF ，CF=BD=5，

∵四边形ADEF 是正方形，

∴AD=DE，∠ADE=90°，

∵BC ⊥CF ，EM ⊥BD ，EN ⊥CF ，

∴四边形CMEN 是矩形，

∴NE=CM，EM=CN，

∵∠AHD=∠ADC=∠EMD=90°，

∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°，

∴∠ADH=∠DEM ，

在△ADH 与△DEM 中，

∴△ADH ≌△DEM ，

∴EM=DH=3，DM=AH=2，

∴CN=EM=3，EN=CM=3，

∵∠ABC=45°，

∴∠BGC=45°，

∴△BCG 是等腰直角三角形，

∴CG=BC=4，

∴GN=1，

∴EG==． ，

（五）、本题11分

25．如图，已知抛物线y=ax2+2x+6（a ≠0）交x 轴与A ，B 两点（点A 在点B 左侧），将直尺WXYZ 与x 轴负方向成45°放置，边WZ 经过抛物线上的点C （4，m ），与抛物线的另一交点为点D ，直尺被x 轴截得的线段EF=2，且△CEF 的面积为6．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）探究：在直线AC 上方的抛物线上是否存在一点P ，使得△ACP 的面积最大？若存在，请求出面积的最大值及此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）将直尺以每秒2个单位的速度沿x 轴向左平移，设平移的时间为t 秒，平移后的直尺为W ′X ′Y ′Z ′，其中边X ′Y ′所在的直线与x 轴交于点M ，与抛物线的其中一个交点为点N ，请直接写出当t 为何值时，可使得以C 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形．

【考点】二次函数综合题；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的性质．

【分析】（1）根据三角形的面积公式求出m 的值，结合点C 的坐标利用待定系数法即可求出a 值，从而得出结论；

（2）假设存在．过点P 作y 轴的平行线，交x 轴与点M ，交直线AC 于点N ．根据抛物线的解析式找出点A 的坐标．设直线AC 的解析式为y=kx+b，点P 的坐标为（n ，﹣n 2+2n+6）（﹣2＜n ＜4），由点A 、C 的坐标利用待定系数法即可求出直线AC 的解析式，代入x=n，即可得出点N 的坐标，利用三角形的面积公式即可得出S △ACP 关于n 的一元二次函数，根据二次函数的性质即可解决最值问题；

（3）根据直尺的摆放方式可设出直线CD 的解析式为y=﹣x+c，由点C 的坐标利用待定系数法即可得出直线CD 的解析式，联立直线CD 的解析式与抛物线的解析式成方程组，解方程组即可求出点D 的坐标，令直线CD 的解析式中y=0，求出x 值即可得出点E 的坐标，结合线段EF 的长度即可找出点F 的坐标，设出点M 的坐标，结合平行四边形的性质以及C 、D 点坐标的坐标即可找出点N 的坐标，再由点N 在抛物线图象上，将其代入抛物线解析式即可得出关于时间t 的一元二次方程，解方程即可得出结论．

【解答】解：（1）∵S △CEF =EF •y C =×2m=6，

∴m=6，即点C 的坐标为（4，6），

将点C （4，6）代入抛物线y=ax2+2x+6（a ≠0）中，

得：6=16a+8+6，解得：a=﹣，

∴该抛物线的解析式为y=﹣x 2+2x+6．

（2）假设存在．过点P 作y 轴的平行线，交x 轴与点M ，交直线AC 于点N ，如图1所示．

令抛物线y=﹣x 2+2x+6中y=0，则有﹣x 2+2x+6=0，

解得：x 1=﹣2，x 2=6，

∴点A 的坐标为（﹣2，0），点B 的坐标为（6，0）．

设直线AC 的解析式为y=kx+b，点P 的坐标为（n ，﹣n 2+2n+6）（﹣2＜n ＜4）， ∵直线AC 过点A （﹣2，0）、C （4，6），

∴，解得：，

∴直线AC 的解析式为y=x+2．

∵点P 的坐标为（n ，﹣n 2+2n+6），

∴点N 的坐标为（n ，n+2）．

∵S △ACP =PN •（x C ﹣x A ）=×（﹣n 2+2n+6﹣n ﹣2）×[4﹣（﹣2）]=﹣（n ﹣1）2+∴当n=1时，S △ACP 取最大值，最大值为

此时点P 的坐标为（1，）．

，， ， ∴在直线AC 上方的抛物线上存在一点P ，使得△ACP 的面积最大，面积的最大值为

此时点P 的坐标为（1，）．

（3）∵直尺WXYZ 与x 轴负方向成45°放置，

∴设直线CD 的解析式为y=﹣x+c，

∵点C （4，6）在直线CD 上，

∴6=﹣4+c，解得：c=10，

∴直线CD 的解析式为y=﹣x+10．

联立直线CD 与抛物线解析式成方程组：，

解得：，或，

∴点D 的坐标为（2，8）．

令直线CD 的解析式y=﹣x+10中y=0，则0=﹣x+10，

解得：x=10，即点E 的坐标为（10，0），

∵EF=2，且点E 在点F 的左边，

∴点F 的坐标为（12，0）．

设点M 的坐标为（12﹣2t ，0），则点N 的坐标为（12﹣2t ﹣2，0+2），即N （10﹣2t ，2）．

∵点N （10﹣2t ，2）在抛物线y=﹣x 2+2x+6的图象上，

∴﹣（10﹣2t ）2+2（10﹣2t ）+6=2，整理得：t 2﹣8t+13=0，

解得：t 1=4﹣

，t 2=4+．

∴当t 为4﹣

或4+秒时，可使得以C 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形．

2016年6月28日