第五章线性代数答案

第五章 相似矩阵及二次型

1．试用施密特法把下列向量组正交化：

⎛(1)(a 111⎫⎪

1, a 2, a 3) = 124⎪；

⎝139⎪⎭

⎛ 11-1⎫⎪(2) (a 0-11 ⎪

1, a 2, a 3) = -101

⎪ ⎝110⎪⎪⎭

解(1)根据施密特正交化方法:

⎛1⎫令b ⎪

1=a 1= 1⎪

⎝1⎪⎭

b =a [b ⎛-1, a 2] 1⎫⎪22-b , b b 1= 0⎪

11 ⎝1⎪

⎭

b -[b , a ⎛1⎫

13][b 2, a 3]1

⎪3=a 3b b 1-b 2= -2⎪

1, b 1b 2, b 23 ⎝1⎪⎭

⎛

1⎫

1-13⎪

⎪故正交化后得: (b , b 2

1, b 23) = 10-⎪ 3⎪

1⎪⎝113⎪

⎭⎛ 1⎫(2)根据施密特正交化方法令b 0⎪⎪

1=a 1= -1⎪

1⎪⎝⎪⎭

⎛1⎫ ⎪

[b 1, a 1]1 -3⎪

b 2=a 2-b 1= ⎪b 1, b 13 2⎪ 1⎪⎝⎭

⎛-1⎫

⎪

b a [b 1, a 3][b 2, a 3]1 3⎪

3=3-b b 1-b 2=1, b 1b 2, b 25 3

⎪

⎝4⎪⎪⎭⎛

11⎫

1

3-5⎪ ⎪0-13故正交化后得 (b b ⎪2, b 3) =

5⎪1, -123⎪

35⎪

⎝

114⎪35⎪⎪⎭

2．下列矩阵是不是正交阵:

⎛ 1-11⎫⎛184⎫2⎪ --⎪

(1) 13⎪ 999⎪ - 211⎪812⎪; (2) -

99-4

⎪9⎪ 11⎝32-1⎪⎪ ⎭ ⎝-49

-47⎪

97⎪⎭解(1)第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵。

(2)该方阵每一个行向量均是单位向量，且两两正交，故为正交阵。

3．设A 与B 都是n 阶正交阵，证明AB 也是正交阵。 证明 因为A , B 是n 阶正交阵，故A -1=A '，B -1=B ' (AB ) '(AB ) =B 'A 'AB =B -1A -1AB =E 故AB 也是正交阵。

4．求下列矩阵的特征值和特征向量:

⎛a ⎫(1)⎛ 1-1⎫⎛⎝⎪ 123⎫

⎪ 1 a ⎪ ⎪⎭; (2) 213⎪; (3) 2⎪

24⎝⎭ ⎪(a 1a 2 a 1), (a 1≠0) . 336⎪ ⎪⎝a n ⎪

⎭

并问它们的特征向量是否两两正交?

解 (1)①A -λE =-λ-1

24-λ

=(λ-2)(λ-3)

故A 的特征值为λ1=2, λ2=3

②当λ1=2时, 解方程(A -2E ) x =0, 由

(A -2E ) =⎛ -1-1 ⎫⎝22⎪⎪⎛11⎫⎭~ ⎝00⎪⎪⎭ 得基础解系P =⎛ -1 ⎫

1⎝1⎪⎪⎭

所以k 1P 1(k 1≠0) 是对应于λ1=2的全部特征值向量。 当λ2=3时, 解方程(A -3E ) x =0, 由

(A -3E ) =⎛ -2-1 ⎫⎝21⎪⎪⎛⎭~ 21 ⎫⎝00⎪⎛1⎫⎪⎭ 得基础解系P 2= -2⎪ ⎝1⎪⎭

所以k 2P 2(k 2≠0) 是对应于λ3=3的全部特征向量。

⎛1⎫③[P , 1) -2⎪=31, P 2]=P 1'P 2=(-1≠⎝1⎪0 ⎭

2故P 1, P 2不正交。

-λ23

(2)①A -λE =21-λ3=-λ(λ+1)(λ-9) 336-λ

故A 的特征值为λ1=0, λ2=-1, λ3=9 ②当λ1=0时, 解方程Ax =0, 由

⎛12A = 3⎫ 213⎪⎛⎪~ 123⎫ 011⎪⎛⎪得基础解系P -1⎫⎪1= -1⎪

⎝336⎪⎭ ⎝000⎪⎭ ⎝1⎪⎭故k 1P 1(k 1≠0) 是对应于λ1=0的全部特征值向量. 当λ2=-1时, 解方程(A +E ) x =0, 由

⎛223⎫⎛223⎫⎛-1⎫A +E = 223⎪ ⎪~ 001⎪⎪得基础解系P ⎪

2= 1⎪

⎝337⎪⎭ ⎝000⎪⎭ ⎝0⎪⎭

故k 2P 2(k 2≠0) 是对应于λ2=-1的全部特征值向量 当λ3=9时, 解方程(A -9E ) x =0, 由

⎛⎛3⎫⎛11-1⎫ 1⎫ 2⎪

⎪A -9E = -82 2-83⎪ ⎪~ 01-1⎪得基础解系 1⎪

⎝

33-3⎪⎭ 2⎪⎝000⎪P 3= ⎭ 2⎪ ⎪ ⎝1⎪⎪⎭

故k 3P 3(k 3≠0) 是对应于λ3=9的全部特征值向量

⎛-1⎫③[P ⎪

1, P 2]=P 1'P 2=(-1, -1, 1) 1⎪=0

⎝0⎪⎭⎛ 1⎫ [P -1, 1, 0) 2⎪1⎪ ⎪2, P 3]=P 2'P 3=(⎪=0 2 ⎪ ⎝1⎪⎪⎭⎛ 1⎫ 2⎪[P , P 'P 1⎪⎪

13]=P 13=(-1, -1, 1) ⎪=0

2 ⎪ ⎝1⎪⎪⎭

所以P 1, P 2, P 3两两正交。

a 21-λa 1a 2 a 1a n

(3)A -λE =a a 2

2a 12-λ a 2a n

a 2

n a 1a n a 2 a n -λ

=λn -λn -1(a 222

1+a 2+ +a n )

=λn -1[λ-(a 222

1+a 2+ +a n ) ]

∴λ1=a +a + +a =∑a i 2, λ2=λ3= =λn =0

21

22

2n

i =1

n

当λ1=∑a i 2时

n

(A -λE )

222

⎛-a 2⎫-a 3- -a n a 1a 2 a 1a n ⎪222

a 2a 1-a 1-a 2- -a n a 2a n ⎪

= ⎪ ⎪

222⎪ a n a 1a n a 2 -a 1-a 2- -a n -1⎭⎝

-a 1⎫⎛a n 0 0

⎪

初等行变换 0a n 0-a 2⎪

⎪ ~ ⎪ 00 a n -a n -1⎪ 00 0⎪0⎝⎭

取x n 为自由未知量，并令x n =a n ，设x 1=a 1, x 2=a 2, x n -1=a n -1.

⎛a 1⎫ ⎪ a 2⎪

故基础解系为P 1= ⎪

⎪ a ⎪⎝n ⎭

当λ2=λ3= =λn =0时

i =1

2⎛a 1 a 2a 1

(A -0⋅E )=

a a ⎝n 1

2a 2

a n a 2

a 1a n ⎫

⎪a 2a n ⎪

⎪ ⎪2⎪a n ⎭

⎛a 1

初等行变换0 ~

0⎝

可得基础解系

a 20 0

a n ⎫

⎪ 0⎪

⎪

⎪⎪ 0⎭

⎛-a n ⎫⎛-a 2⎫⎛-a 2⎫

⎪ ⎪ ⎪

0⎪ a 1⎪ 0⎪

P 2= 0⎪, P 2= a 1⎪, , P 2= 0⎪

⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪

a ⎪ 0⎪ 0⎪

⎝⎭⎝⎭⎝1⎭综上所述可知原矩阵的特征向量为

⎛a 1-a 2 a n ⎫ ⎪ a 2a 1 0⎪

(P 1, P 2, , P n )= ⎪

⎪ a 0 a 1⎪⎝n ⎭

⎛1-2-4⎫⎛5 ⎪

5．设方阵A = -2x -2⎪与Λ=

-4-21⎪ ⎝⎭⎝

⎫

⎪y ⎪相似，求x , y 。 -4⎪⎭

解 方阵A 与Λ相似，则A 与Λ特征多项式相同，即

-λ-2-45-λ

A -λE =Λ-λE ⇒-2x -λ-2=y -λ

-4-21-λ-4-λ

⎧x =4

⇒⎨

⎩y =5

6．设A , B 都是n 阶方阵，且A ≠0，证明AB 与BA 相似。 证明 A ≠0则A 可逆

A -1(AB ) A =(A -1A )(BA ) =BA 则AB 与BA 相似。

7．设3阶方阵A 的特征值为λ1=1, λ2=0, λ3=-1; 对应的特征向量依次为

2⎫⎛⎛1⎫⎛-2⎫

⎪P = -2⎪ ⎪

⎪，P 3= -1⎪ P 1= 2⎪，2

1⎪ 2⎪ 2⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

求A 。

解 根据特征向量的性质知(P 1, P 2, P 3) 可逆,

⎛λ1⎫ ⎪-1

λ2得:(P 1, P 2, P 3) A (P 1, P 2, P 3) = ⎪ λ3⎪⎝⎭

⎛λ1⎫ ⎪-1

λ2可得A =(P 1, P 2, P 3) ⎪(P 1, P 2, P 3) ⎪λ3⎭⎝

⎛-102⎫

⎪1

得A = 012⎪

3 ⎪⎝220⎭

8．设3阶实对阵A 的特征值6，3，3为与特征值6对应的特征向量为P 1=(1, 1, 1) ', 求A 。

⎛x 1x 2x 3⎫ ⎪

解 设A = x 2x 4x 5⎪

x x x ⎪

56⎭⎝3⎧x 1+x 2+x 3=6⎛1⎫⎛1⎫

⎪ ⎪⎪

由A 1⎪=6 1⎪知①⎨x 2+x 4+x 5=6

1⎪ 1⎪⎪x +x +x =6⎝⎭⎝⎭56⎩3

3是A 的二重特征值, 根据实对称阵的性质定理知A -3E 的秩为1

x 2x 3⎫⎛111⎫⎛x 1-3

⎪ ⎪

x 4-3x 5⎪~ x 2x 4-3x 5⎪ 故利用①可推出 x 2

x x 5x 6-3⎪x 5x 6-3⎪⎝3⎭⎝x 3⎭

秩为1.

⎧(1, 1, 1) =a (x 2, x 4-3, x 5)

则, 存在实的a , b 使得②⎨成立。

⎩(1, 1, 1) =b (x 3, x 5, x 6-3) 由①②解得x 2=x 3=1, x 1=x 4=x 6=4, x 5=1

⎛411⎫ ⎪得A = 141⎪

114⎪⎝⎭

9．试求一个正交的相似变换矩阵, 将下列对称阵化为对角阵:

⎛-20⎫(1)

2 -21-2⎪

⎛⎪;(2) 2

2-2⎫ 2

5-4⎪ ⎝

0-2

0⎪⎭

⎪ ⎝-2-45⎪⎭2-λ-20解(1)A -λE =-2

1-λ

-2=(1-λ)(λ-4)(λ+2) 0

-2

-λ

故得特征值为λ1=-2, λ2=1, λ3=4 当λ1=-2时, 由

⎛ 4-20⎫⎛x 1⎫⎛x 1⎫⎛1 -23-2⎪⎪ x ⎪ ⎪ ⎫

⎪

2⎪=0解得 x 2⎪=k 1 2⎪ ⎝0-22⎪⎭ ⎝x 3⎪⎭ ⎝x 3⎪⎭

⎝2⎪⎭⎛3单位特征向量可取:P ⎫⎪

1= 3⎪

⎝3⎪⎭

当λ2=1时, 由

⎛ 1-20⎫⎛x 1⎫⎛x 1⎫ -20-2⎪⎪ x ⎪ ⎪⎛=k 2⎫⎪

2⎪=0解得 x 2⎪2 1⎪ ⎝0-2-1⎪⎭ ⎝x 3⎪⎭ ⎝x 3⎪⎭

⎝-2⎪⎭⎛3单位特征向量可取: P = ⎫

3⎪

2⎪

⎝-23⎪⎭

当λ3=4时, 由

⎛ -2-20⎫ -2-3-2⎪⎛⎪ x 1⎫⎛ x ⎪⎪=0解得 x 1⎫ x ⎪⎛ 2⎫⎪

22⎪=k 3 -2⎪ ⎝0-2-4⎪⎭ ⎝x 3⎪⎭ ⎝x 3⎪⎭

⎝1⎪⎭⎛3单位特征向量可取: P = ⎫ -23⎪

3 ⎪

⎝3⎪⎭⎛12

2⎫得正交阵(P 1

⎪1, P 2, P 3) =P =3 21-2 ⎪

⎝2-21⎪⎭

P -1

AP = 010⎪⎪

⎝004⎪⎭

⎛2-2-2⎫

(2)A -λE =

λ

2

5-λ-4⎪

-1) 2( ⎪=-(λλ-10) ⎝

-2-45-λ⎪⎭

故得特征值为λ1=λ2=1, λ3=10

当λ1=λ2=1时, 由

⎛ 12-2⎫⎛x 1⎫⎛0⎫⎛x 1⎫⎛- 2

4-4⎪ ⎪ x ⎪ ⎪ x ⎪ 2⎫⎪⎛ 2⎫

⎪

2⎪= 0⎪解得2⎪=k 1 1⎪+k 2 0⎪⎝-2-44⎪⎭ ⎝x 3⎪⎭ ⎝0⎪⎭ ⎝x 3⎪⎭ ⎝0⎪⎭ ⎝1⎪⎭此二个向量正交, 单位化后, 得两个单位正交的特征向量

P 1⎛

-2⎫

⎪1=5 1 ⎪

⎝0⎪⎭⎛-2⎫⎛-2⎫⎛5P *

⎪⎪--4 1⎪⎪= ⎫ 5⎪⎪单位化得P 5⎛ 25⎫⎪2= 12= 5 ⎪

⎝0⎪⎭5 ⎝0⎪⎭ ⎝1⎪⎭3 ⎝1⎪⎭

当λ3=10时, 由

⎛ -82-2⎫⎛x 1⎫⎛0⎫⎛x 1⎫ 2-5-4⎪⎪ x ⎪ ⎪ x ⎪⎛ -1⎫⎪

2⎪= 0⎪解得2⎪=k 3 -2⎪ ⎝-2-4-5⎪⎭ ⎝x 3⎪⎭ ⎝0⎪⎭ ⎝x 3⎪⎭

⎝2⎪⎭⎛-1⎫

单位化P 1

⎪3=3 -2⎪:得正交阵(P 1, P 2, P 3)

⎝2⎪⎭

⎛ 25 -

215-1⎫3⎪⎪= 5 14 515-2⎪3⎪ 52⎪⎪⎝

03

3⎪⎭

P -1

AP = 010⎪ ⎪

⎝001⎪⎭

10．(1) 设A =⎛ 3-2 ⎫⎝-23⎪⎪

⎭，求ϕ(A ) =A 10-5A 9

； ⎛212(2) 设A = ⎫ 122⎪

⎪, 求ϕ(A ) =A 10-6A 9+5A 8

⎝221⎪⎭

解 (1) A =⎛ 32 ⎫

⎝-23⎪⎪⎭

是实对称矩阵.

⎛ 1-1⎫故可找到正交变换矩阵P = 2

1

12⎪

⎪⎪ ⎝22⎪⎭

使得P -1

AP =⎛ 10 ⎫⎝05⎪⎪=Λ⎭

从而A =P ΛP -1, A k =P ΛP -1

因此ϕ(A ) =A 10-5A 9=P Λ10P -1-5P Λ9P -1

=P ⎛ 10 ⎫-1⎛50⎫-1⎛-4⎝0510⎪⎪⎭P -P ⎝0510⎪⎪⎭P =P ⎝0 =1⎛2 1-1 ⎫⎝11⎪⎪⎛⎭ -40 ⎫⎝00⎪⎪1⎛⎭2 11 ⎫⎝-11⎪⎪⎭

=⎛ -2-2 ⎫⎛11⎫

⎝-2-2⎪⎪⎭=-2 ⎝11⎪⎪⎭

(2)同(1)求得正交相似变换矩阵

⎛ 6 --

11⎫⎪P = 6

23⎪ 11⎪ 6

23⎪

⎪ 6

⎝301⎪3⎪⎭

0⎫-1

0⎪⎪⎭P

⎛使得P -1

AP = -100⎫ 010⎪⎪=Λ, A =P ΛP -1

⎝005⎪⎭

ϕ(A ) =A 10-6A 9+5A 8

=A 8(A 2-6A +5E ) =A 8(A -E )(A -5E )

⎛112⎫⎛-312⎫1-2⎫=P Λ8P -1

⋅ 112⎪⎪ 1-32⎪⎛⎪=2 1

11-2⎪⎪

⎝220⎪⎭ ⎝22-4⎪⎭ ⎝-2-24⎪⎭

11．用矩阵记号表示下列二次型:

(1)f =x 2+4xy +y 2+2xz +z 2+4yz ; (2) f =x 2+y 2-7z 2-2xy -4xz -4yz

(3)f =x 2222

1+x 2+x 3+x 4-2x 1x 2+4x 1x 3-2x 1x 4+6x 2x 3-4x 2x 4⎛解 (1) f =(x , y , z ) 121⎫ 242⎪⎛ x ⎫⎪

⎪ y ⎪

⎝121⎪⎭ ⎝z ⎪⎭⎛1-1-2⎫(2) f =(x , y , z ) -11-2⎪⎛⎪ x ⎫ y ⎪

⎪

⎝-2-2-7⎪⎭ ⎝z ⎪⎭

⎛ 1-12-1⎫⎛x 1⎫(3) f =(x x -113-2⎪⎪ x ⎪2⎪

1, 2, x 3, x 4) 2310⎪ x ⎪ 3

⎝-1-201⎪⎪ ⎭ ⎝x ⎪4⎪

⎭

12．求一个正交变换将下列二次型化成标准形:

(1) f =2x 222

1+3x 2+3x 3+4x 2x 3;

(2) f =x 2+x 222

12+x 3+x 4+2x 1x 2-2x 1x 4-2x 2x 3+4x 3x 4

⎛200⎫解 (1)二次型的矩阵为A = 032⎪

⎪

⎝023⎪⎭2-λ

00

A -λE =0

3-λ2=(2-λ)(5-λ)(1-λ) 0

23-λ

11

故A 的特征值为λ1=2, λ2=5, λ3=1 当λ1=2时, 解方程(A -2E ) x =0, 由

⎛000⎫⎛012⎫A -2E = 012⎪⎪~ 001⎪

⎪

⎝021⎪⎭ ⎝000⎪⎭

⎛1⎫⎛1⎫

得基础解系ξ= 0⎪⎪。取P ⎪

11= 0⎪

⎝0⎪⎭ ⎝0⎪⎭

当λ2=5时, 解方程(A -5E ) x =0, 由

⎛A -5E = -30

0⎫ 0-22⎪⎛100⎫ ⎪~ 01-1⎪

⎪

⎝02-2⎪⎭ ⎝000⎪⎭⎛0⎫⎛0⎫

得基础解系ξ= 1⎪⎪取P = 2⎪

22⎪

⎝1⎪⎭ ⎝2⎪⎭

当λ3=1时, 解方程(A -E ) x =0, 由

⎛100⎫A -E = 022⎪⎛⎪~ 100⎫ 011⎪

⎪

⎝022⎪⎭ ⎝000⎪⎭⎛0得基础解系ξ ⎫1⎪⎛⎪取P 0⎫

⎪

3= -3= -2 ⎪

⎝1⎪⎭ ⎝2⎪⎭

于是正交变换为

⎛ x 1⎫00⎫ x ⎪⎛= 1

⎛y 1⎫ 02-2⎪ ⎪ 2⎪⎪ y 2⎪ ⎝x 3⎪⎭ ⎝

022⎪⎭ ⎝y 3⎪

⎭且有f =2y 22+y 2

1+5y 23

⎛ 1

10-1⎫(2)二次型矩阵为A = 1

1-10⎪

⎪ 0-111

⎪ ⎝-1011⎪⎪⎭

12

-λ

10-1A -λE =

11-λ-100

-1

1-λ

1

=(λ+1)(λ-3)(λ-1) 2

-1011-λ

故A 的特征值为λ1=-1, λ2=3, λ3=λ4=1

⎛ 1⎫ 2⎪ -1⎪⎪

当λ1=-1时, 可得单位特征向量P 1= 2⎪ -1⎪

2⎪ 1⎪⎝2⎪⎭⎛ 1⎫ 2⎪ 1⎪⎪

当λ2=3时, 可得单位特征向量P 2= 2⎪

-1⎪ 2⎪ ⎪⎝-12⎪⎭

⎛ 1⎫⎛0 2⎪⎪ 1⎫⎪⎪当λλ, 可得单位特征向量P 3= 03=4=1时 1⎪, P 4= 2⎪ ⎪ 0⎪ ⎝02⎪⎪

⎭

1⎪

⎝2⎪⎭于是正交变换为

⎛

111⎛ 2220⎫

⎪⎪ x 1⎫⎛y x ⎪ 111 -0⎪ 1⎫⎪ 2⎪222

y ⎪ x ⎪= 1 3⎝x ⎪4⎪ ⎭ -

2-11

⎪ 2⎪⎪ 2 20⎪⎪ y 3y ⎪⎪ 111⎪⎝4⎭

⎝2-202⎪⎭且有f =-y 23y 222

1+2+y 3+y 4

13

13．证明：二次型f =x 'Ax 在x =1时的最大值为方阵A 的最特征值。 证明 A 为实对称矩阵，则有一正交阵T ，使得

⎛ λ1⎫TAT -1

= λ⎪

2⎪

⎪=B 成立 ⎝

λ⎪n ⎪⎭其中λ1, λ2, , λn 为A 的特征值，不妨设λ1最大

T 为正交阵，则T -1=T '且=1，故A =T -1B T '=T 'BT -1

则f =x 'Ax =x 'T 'BTx =y 'By =λ222

1y 1+λ2y 2+ +λn y n 其中y =Tx

当y ==x =x =1时

即y 21+y 221即y 2222+ +y n =1+y 2+ +y n =1 f =(λy 22

最大11+ +λn y n ) 最大

y =1=1

λ1

故得证。

14．判别下列二次型的正定性：

(1)f =-2x 224x 2

1-6x 2-3+2x 1x 2+2x 1x 3;

(2)f =x 23x 222

1+2+9x 3+19x 4-2x 1x 2+4x 1x 3+2x 1x 4-6x 2x 4-12x 3x 4

⎛-21

1⎫解 (1)A = 1-60⎪

⎪,

⎝10-4⎪⎭

a -21

-21111=-2

1-6

=11>0, 1-60=-38

⎛ 1-12

1⎫(2)A = -13

0-3⎪

⎪, a 1-111=1>0, 209-6

⎪-13=4>0, ⎝1-3-619⎪⎪⎭

14

1-12

-130=6>0, A =24>0 209

故f 为正定。

15．设U 为可逆矩阵, A =U 'U 证明f =x 'Ax 为正定二次型。

⎛x 1⎫ ⎪⎛a 11a 12 a 1n ⎫

⎪ x 1⎪

证明 设U = ⎪=(a 1, a 2, , a n ) x = ⎪

a ⎪ ⎪⎝n 1a n 2 a nn ⎭ x ⎪⎝n ⎭

f =x 'Ax =x 'U 'Ux =(Ux ) '(Ux )

=(a 11x 1+ +a 1n x n , a 21x 1+ +a 2n x n , , a n 1x 1+ +a nn x n ) ⎛a 11x 1+ +a 1n x n ⎫ ⎪ a 21x 1+ +a 2n x n ⎪

⋅ ⎪

⎪ a x + +a x ⎪

nn n ⎭⎝n 11

=(a 11x 1+ +a 1n x n ) 2+(a 21x 1+ +a 2n x n ) 2 + +(a n 1x 1+ +a nn x n ) 2≥0

⎧a 11x 1+ +a 1n x n =0⎪

若“=0”成立，则⎨成立。

⎪a x + +a x =0

nn n ⎩n 11

⎛x 1⎫

⎪ x 1⎪

即对任意x = ⎪使α1x 1+α2x 2+ +αn x n =0成立。

⎪ x ⎪⎝n ⎭

则α1, α2, , αn 线性相关, U 的秩小于n ，则U 不可逆，与题意产生矛盾。于是f >0成立。

故f =x T Ax 为正定二次型。

16．设对称阵A 为正定阵，证明：存在可逆矩阵U ，使A =U 'U 。 证明:A 正定，则矩阵A 满秩，且其特征值全为正。 不妨设λ1, , λn 为其特征值λi >0i =1, , n 由定理8知，存在一正交阵P

15

⎛ λ1⎫⎪

使P 'AP =Λ= λ 2⎪

⎪ ⎝

λ⎪n ⎪⎭⎛ λ1⎫⎛1= ⎪ 2⎪ 2 ⎪⨯ ⎪

⎝n ⎪⎭ ⎝

又因P 为正交阵，则P 可逆，P -1=P '所以A =PQ Q 'P '=PQ ⋅(PQ ) ' 令(PQ ) '=U ，U 可逆 则A =U 'U 。

⎫⎪⎪ ⎪ ⎪n ⎪⎭

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