关于柯西_施瓦茨不等式证明
西南科技大学5高教研究62009年第4期(总第93期)
关于柯西-施瓦茨不等式证明
付英贵
(西南科技大学理学院 四川绵阳 621010)
摘 要:柯西-施瓦茨不等式是高等数学中一个难点问题, 本文将用三种不同证明方法, 注明三种不同方法在处理中的难点和重点, 同时讨论柯西-施瓦茨不等式的应用。
关键词:定积分; 二重积分; 柯西-施瓦茨不等式
一、柯西-施瓦茨不等式:
设f (x ), g (x ) 在区间[a, b]上均匀连续, 证明:
证法一:作函数, F (x ) =
Q
F c (x ) =2Q f(t)g (t)d t #f (x ) g (x) -f (x) Q g (t)d t -g (x ) Q f (t) d t
=Q 2f(x ) g (x ) f(t)g (t)d t -Q f (x ) g (t) d t-Q f (t) g (x)dx =-Q [f(x ) g (t) -f (t) g (x) ]dt [0
2
a
Q
(t) g (t)
Q
a x
b 2
f(x ) g (x )
dx
-
[
x
2
a
Q
2
b
f (x ) dx #
x
2
a
Q
2
b
g (x)dx
a
Q
f (x)d t #
2
a
g (t)d t , 因
2
x x x
22
a a a 2
x x
22
x
2
a a a
x
2
a
故F (x) 在[a, b ]上单调下降, 即F (b ) [F (a ), (a
注:本证明关键是建立辅助函数将问题转化成单调性来证明不等式。本方法中将b 变成x 而建立辅助
函数对数学中辅助函数建立和学习有一定帮助。
例:b >a >e 证明:a >b
b
a
b
a
分析:a >b Z b l n a >a l n b Z b l n a -a l n b >0作f (x ) =x l n a -a ln x (x \a)
证法二:对任意实数K 有:[K f (x ) +g (x ) ]\0两边积分
a
2
Q
b
[K f (x ) +g (x) ]dx =K f (x ) dx +2K f (x) g (x)dx +
a
a
22
Q
2
b
Q
b a
b
a
Q
2
b
g (x)dx \0
故K 的二次三项式的判别法
v =b -4ac =即
2
a
Q
b 2
f (x)g (x ) dx
2
b
-4f (x ) dx #
2
Q
2
a
Q
2
b
g (x ) dx [0
a
Q
b
f(x ) g (x ) dx
[
a
Q
f (x ) dx #
a
Q
2
b
g (x)dx
注:本证明方法关键是将问题转化成二次三项式有无根的问题, 同时利用定积分性质来证明。本方法中建立二次三项式方法值得关注。
Q Q =Q dx Q [f(x)g (y ) -2f (x ) g (x)f (y ) g (y ) +f (y)g (x ) ]dy =Q [Q f (x ) g (y ) dy ]dx-2Q f (x)g (x ) dx Q f (y ) g (y)dy +Q [Q f (y ) g (x) dy ]dx =
Q f (x ) dx #Q g (y)dy -Q f (y ) dy #Q g (x ) dx f (x)g (x )dx +Q =f (x)dx #g
(x ) dx -f (x ) g (x)dx Q Q Q
并且仅当x =y 时, Q dx Q [f(x) g (y) -f (y ) g (x) ]dy =0, 故
f (x ) dx #Q
g g (x) dx =f(x )g
(x ) dx Q Q
若x X y 时, Q dx Q [f (x)g (y ) -f (y ) g (x) ]dy >0, 故
f (x)dx #Q g (x ) dx >f (x)g (x ) dx Q Q
综上所述, 则有f (x)dx #Q g (x ) dx f (x ) g (x)dx [Q Q
证法三:
a
b b
dx
a b
[f(x) g (y) -f (y ) g (x) ]dy
2
2
2
b
22
a
a
b b
22
b b b b
22
a a a a a a
b
2
b
2
b 2
b
2
b
2
a a
a
a a
b
2
b
2
b
2
a a
a
b b
2
a a
b
2
b
22
b
2
a a
a
b b
2
a a
b
2
b
2
b 2
a a 2
a
b
2
b b
2
a
a a
注:本证明方法将本问题转化成二重积分问题, 同时注意和轮换对称性和讨论。本方法中重积分轮换对称性, 对称性在积分中应用是高等数学学习中一个重点、难点, 在教学中请学生注意。
分析:例:
f (x, y ) dxdy =Q f(y, x ) dxdy D 关于y =x 对称Q Q Q
3x -y x +y
dxdy =dxdy =2P Q x +y Q x +y
D
D
2
2
22x 2+y 2[1
x 2+y2[1
二、例:设f (x) 在区间[a , b ]上连续, 且f (x) >0, 证明:
a
Q
b
f (x)dx #
2
证:
a
f(x ) dx #Q
a
b b
1
dx =f (x )
\
a
f (x a
b
dx #a
b a
b
2
dx \(b -a ) f (x)
f(x 2
2
dx
2
b
f (x )
dx f(x )
=(b -a )
参考文献
[1] 同济大学数学教研室. 高等数学(上、下册) 第四版[M].北京:高等教育出版社, 2006.