高中三角函数.导数部分公式

一、高中三角函数公式

两角和公式

sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B) =tanA +tanB

1-tanAtanB

tan(A-B) =tanA -tanB

1+tanAtanB

cot(A+B) =cotAcotB -1

cotB +cotA

cot(A-B) =cotAcotB +1

cotB -cotA

倍角公式

tan2A =2tanA

1-tan 2

A

Sin2A=2SinA•CosA Cos2A =

Cos 2A-Sin 2A=2Cos2A-1=1-2sin2A 三倍角公式

sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA

tan3a = tana·tan(ππ

3+a)·tan(3

-a)

半角公式

sin(A

-cos A 2)=2

cos(

A +cos A 2)=2 tan(

A -cos A 2)=1+cos A cot(A 2)=+cos A 1-cos A

tan(A 1-2

)=cos A sin A sin A =1+cos A

和差化积

sina+sinb=2sin

a +b a -2cos b

2 sina-sinb=2cosa +b a -2sin b

2

cosa+cosb = 2cosa +b a -b

2cos 2

cosa-cosb = -2sina +b a -b

2sin 2

tana+tanb=sin(a +b )

cos a cos b

积化和差

sinasinb = -1

2[cos(a+b)-cos(a-b)]

cosacosb = 1

2[cos(a+b)+cos(a-b)]

sinacosb = 1

2[sin(a+b)+sin(a-b)]

cosasinb = 1

2

[sin(a+b)-sin(a-b)]

诱导公式

sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa

sin(π2-a) = cosa

cos(π

2-a) = sina

sin(π

2+a) = cosa

cos(π

2

+a) = -sina

sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa

万能公式

2tan

a sina=

1+(tana

2) 2

1-(tana

) 2

cosa=

1+(tan) 2

22tan

a tana=

1-(tana

) 2

2

其它公式

a•sina+b•cosa=(a2+b 2) ×sin(a+c)

[其中tanc=b

a

]

a•sin(a)-b•cos(a) = (a2+b 2) ×

cos(a-c) [其中tan(c)=

a b ] 1±sin(a) =(sina 2±cos a

2

) 2

其他非重点三角函数

csc(a) =1

sin a

sec(a) =1

cos a

公式一：

设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin （2kπ＋α）= sinα cos （2kπ＋α）= cosα tan （2kπ＋α）= tanα cot （2kπ＋α）= cotα (以上k ∈Z) 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin （π＋α）= -sinα cos （π＋α）= -cosα tan （π＋α）= tanα cot （π＋α）= cotα

公式三：

任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：

sin （-α）= -sinα cos （-α）= cosα tan （-α）= -tanα cot （-α）= -cotα 公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （π-α）= sinα cos （π-α）= -cosα tan （π-α）= -tanα cot （π-α）= -cotα 公式五：

利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π-α）= -sinα cos （2π-α）= cosα tan （2π-α）= -tanα cot （2π-α）= -cotα

公式六： π2

±α及3π2±α与α的三角函数值之间

的关系：

sin （π

2+α）= cosα

cos （π

2+α）= -sinα

tan （π

2+α）= -cotα

cot （π

2+α）= -tanα

sin （π

2-α）= cosα

cos （π

2-α）= sinα

tan （π

2-α）= cotα

cot （π

2-α）= tanα

3π

+α）= -cosα 23πcos （+α）= sinα

23πtan （+α）= -cotα

23πcot （+α）= -tanα

sin （

3π

-α）= -cosα 23πcos （-α）= -sinα

23πtan （-α）= cotα

23πcot （-α）= tanα

sin （

2

2

二、导数公式

1. 定义

f '(x ∆y

f (x 0+∆x ) -f (x 0)

0) =∆lim

x →0∆x =∆lim

x →0∆x

2. 常见函数的导数 （1）

y =c

y '=0 （5）y =sin x

（2）y =x n

y '=nx n -1 （6）y =cos x

y '=

1

（3）

y =log a x

x log a e （7）y =tan x

（4）y =a x

y '=a x

ln a （8）y =cot x

3. 运算

（1）[f (x ) ±g (x ) ]'=f '(x ) ±g '(x )

（2）[f (x ) ⋅g (x ) ]'=f '(x ) ⋅g (x ) +f (x ) ⋅g '(x ) （3）[c ⋅f (x ) ]'=c ⋅f '(x )

[

1

]'=-f '(x ) /f 2(x )

（4）f (x ) （f (x ) ≠0）

[

f (x ) f '(x ) g (x ) -f (x ) ⋅（5）g (x ) ]'=g '(x )

g 2

(x ) （g (x ) ≠0）

4. 复合函数的系数

y =f (u ) u =g (x ) y =F (x ) =f [g (x )] ∴ F '(x ) =f '(u ) ⋅g '(x ) 其中u =g (x )

y '=cos x y '=-sin x

y '=

1

cos 2x y '=-

1sin 2x

5. 切线P （

x 0，y 0）在y =f (x ) 上，以P 为切点，f (x ) 为切线

l ：y -y 0=f '(x 0)(x -x 0)

6. 单调区间

（1）y =f (x ) 在区间（∴（

a ，b ）内可导，且x ∈（a ，b ）总有f '(x ) >0

a ，b ）为y =f (x ) 的增区间

a ，b ）内可导，且x ∈(a , b ) 总有f '(x )

（2）y =f (x ) 在区间（∴（

a ，b ）为y =f (x ) 的减区间

三、定积分相关公式

1．

⎰

b a

f (x ) d x =lim ∑f (ξi ) ∆x i ，

λ→0

i =1

n

其中f (x ) 称为被积函数，f (x ) d x 称为被积表

达式，x 称为积分变量，[a , b ]称为积分区间，a 与b 分别称为积分下限与积分上限， ①定积分是特定和式的极限，它表示一个数．它只取决于被积函数与积分下限、积分上限，而与积分变量采用什么字母无关，例如

⎰

π/2

sin x d x =⎰

π/2

sin t d t ，一般地有

⎰

b

a

f (x ) d x =⎰f (t ) d t ．

a

b

②定积分的几何意义：设f (x ) 在[a , b ]上的定积分为

⎰

b

a

f (x ) d x ，其积分值等于曲线

y =f (x ) 、直线x =a , x =b 和y =0所围成的在x 轴上方部分与下方部分面积的代数和．

2．定积分的性质

（1）积分对函数的可加性，即可推广到有限项的情况即

b

b

b

b

⎰

a

[f (x ) ±g (x ) d x ]=⎰f (x ) d x ±⎰g (x ) d x ,

a

a

2

⎰[f (x ) ±f

a

1 (x ) ± ±f n (x )]d x =⎰f 1(x ) d x ± ±⎰f n (x ) d x ．

a

a

b a

b b

（2）积分对函数的齐次性，即

⎰

b

a

kf (x ) d x =k ⎰f (x ) d x (k 为常数) ．

（3）如果在区间[a , b ]上f (x ) ≡1，则

⎰

b

a

1d x =b -a ．

（4）（积分对区间的可加性）如果a

⎰

b

a

f (x ) d x =⎰f (x ) d x +⎰f (x ) d x ．

a

c

c b

注意：对于a , b , c 三点的任何其他相对位置，上述性质仍成立，仍有

⎰

b

a

f (x ) d x =⎰f (x ) d x +⎰f (x ) d x ．

a

c

c b

（5）（积分的比较性质）如果在区间[a , b ]上有f (x ) ≤g (x ) ，则

⎰

b

a

f (x ) d x ≤⎰g (x ) d x ．

a

b

（6）（积分的估值性质）设M 与m 分别是函数f (x ) 在闭区间[a , b ]上的最大值与最小值，则 m (b -a ) ≤

⎰

b

b

a

f (x ) d x ≤M (b -a ) ．

（7）（积分中值定理） 如果函数f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续，则在区间[a , b ]上至少存在一点ξ，使得

⎰

a

f (x ) d x =f (ξ)(b -a ) ．

3．微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）

设函数f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续，如果F (x ) 是f (x ) 的一个原函数，则

b

b

⎰

a

f (x ) d x =F (x ) a =F (b ) -F (a ) ，

以上公式称为微积分基本定理，又称牛顿–莱布尼茨公式．