伯努利方程推导
d V 1
=F +∇∙P dt ρ根据流体运动方程
上式两端同时乘以速度矢量
d dt
d ⎛V 2⎫ 1
⎪=F ∙V +(∇∙P )∙V ⎪dt ⎝2⎭ρ
右端第二项展开——
⎛V 2
2⎝
⎫11⎪⎪=F ∙V +ρ∇∙P ∙V -ρ(P ∙∇)∙V ⎭
()
利用广义牛顿粘性假设张量P ，得出单位质量流体微团的动能方程
p d ⎛V 2⎫ 1
⎪⎪=F ∙V +ρdiv P ∙V +ρdiv V -E dt 2⎝⎭
()
右第三项是膨胀以及收缩在压力作用下引起的能量转化项（膨胀：动能增加内能增加
热流量方程：用能量方程减去动能方程 反映内能变化率的热流量方程
1 dq d 2
c υT +V /2=F ∙V +div P ∙V +dt ρdt
()()
d dt
⎛V 2 2⎝
得到
d
(c υT )=-p div V +E +dq dq =d (c υT )+p div V -E dt ρdt dt dt ρ
⎫1p
⎪=F ∙V +div P ∙V +div V -E ⎪ρρ⎭
()
dq d
(c υT )+p d i V =v dt ρ对于理想流体，热流量方程简化为： dt
这就是通常在大气科学中所用的“热力学第一定律”的形式。
由动能方程推导伯努利方程：
d ⎛V 2⎫ 1p
⎪=F ∙V +div P ∙V +div V ⎪dt ρρ⎝2⎭
()
对于理想流体，动能方程简化为：无热流量项。
⎡∂(pu ) ∂(pv ) ∂(pw ) ⎤
div P ∙V =-⎢++=-V ∙∇p -pdiv V ⎥∂x ∂y ∂z ⎣⎦又因为故最终理想流体的动能方
()
程可以写成：
d
dt
⎛V 2 2⎝
V ⎫⎪⎪=F ∙V -ρ⋅∇p ⎭
【理想流体动能的变化，仅仅是由质量力和压力梯度力对流体微团作功造成的，而与热能不
发生任何转换。】
假设质量力是有势力，且质量力位势为Φ，即满足：F =-∇Φ
d ΦF ∙V =-V ∙∇Φ=-
dt 考虑Φ为一定常场，则有：
d ⎛V ⎫V
⎪=F ∙V -⋅∇p ⎪dt ⎝2⎭ρ
理想流方程体动能方程
2
假设质量力是有势力，是定常场
d
dt
⎛V 2⎫V 2+Φ⎪⎪=-ρ⋅∇p ⎝⎭
d dp ∂p
-=--V ⋅∇p =-V ⋅∇p dt dt ∂t 由定常条件：-->
d d ρ
=0dt dt 不可压缩条件-->
⎛V 2⎫d
⎪+Φ=- 2⎪dt ⎝⎭
⎛V 2⎫1dp
⎪+Φ=- 2⎪ρdt ⎝⎭ ⎛V 2p ⎫ ⎪+Φ+ 2⎪=0ρ⎝⎭
d ⎛p ⎫
⎪ ρ⎪
⎝⎭-->dt
V 2p
+Φ+=const 2ρ等式右端括号内部分的个体变化为零，也即：
定常运动:流体运动的迹线和流线是重合, 于是沿流体运动的流线也有
V 2p
+Φ+=const 2ρ
例：求水从容器壁小孔中流出时的速率。
解：水从小孔中流出时的流速可以根据伯努利方程求解。设ABC 为一条流线。A 和B 分别是这条流线在水面和小孔处的两点, 其中水面上点A 和孔口处点B 都与大气接触, 所以那里的压强都等于大气压p0。容器的横截面比小孔的截面大得多, 根据连续性方程, vA