面积的变化

《面积的变化》教学设计和说明

教学内容：

苏教版义务教育课程标准实验教科书数学六年级（下册）第52～53页内容。

教学目标：

1.使学生在经历“猜测—验证”的过程中，自主发现平面图形按比例放大后面积的变化规律，进一步体会比例的应用价值，提高学习数学的兴趣。

2.使学生在填表、观察、比较、思考和交流等活动中，培养分析、抽象、概括的能力，进一步体会不同领域数学内容的内在联系，发展对数学的积极情感。

3.使学生应用发现的规律解决实际问题，进一步体验解决问题的乐趣，提高解决问题的策略水平。

【说明：教学目标明确，既有知识方面的目标，又有数学思考，情感与态度方面的目标，而这些目标在教学过程中都得到了落实。】

教学方法与手段：

呈现丰富研究素材，引导学生在独立思考、动手实践、自主探索和合作交流中，通过测量、计算、填表、比较、思考和交流等活动，自主发现，并应用发现的规律解决实际问题。

教学过程：

一、呈现研究素材，揭示课题，初步感知规律

1.电脑呈现研究素材一：p52大长方形是小长方形按比例放大后得

到的图形。你能分别量出它们的长和宽，写出对应边长的比吗？

学生动手测量，填在课本p52上，汇报。

2.提问：把放大后的长方形与放大前的长方形相比，你有什么发现？（大小变了，但形状没有变。）

根据学生的回答，引入：一个长方形的长和宽按比例放大后，面积也发生了变化，而且也是变大的。但究竟是按照怎样的规律发生变化的？这就是我们今天要学习的内容。[板书课题：面积的变化]

3.猜测：谁来估计一下大长方形与小长方形的面积的比是几比几？

师：这仅仅是我们的猜测，还得验证一下呀。能把你的解决过程画在或写在纸上吗？

全班交流。

⑴画图的策略：

大长方形和小长方形的面积比是9：1。

⑵计算的策略：

小长方形的面积：3×1=3（平方厘米）

大长方形的面积：9×3=27（平方厘米）

大长方形与小长方形面积的比是9：1。

⑶列表的策略：

4.引导学

生观察画图、

计算和列表

的过程，启发

思考：

⑴如果大长方形是小长方形按4：1的比放大后得到的图形，它们对应的边长的比是多少？面积比是多少？

先让学生独立思考，再让学生说一说是怎样想的。

⑵如果把一个长方形按n：1比例放大后，放大后的长方形与小长方形相对应边长的比与面积的比有什么样的关系呢？

先让学生在小组里说说，再组织全班学生交流。师生初步总结：把一个长方形按n：1放大后，放大后的长方形与放大前长方形边长的比是n：1，面积的比是n2：1。

【说明：呈现研究素材，使学生在测量、计算、画图、列表验证中初步感知长方形按比例放大后面积的变化规律，充分体现了课程标准中关于“学生是数学活动的主人，教师是数学活动的组织者、引导者与合作者”的理念，清晰自然，步步推进，非常精致。】

二、扩展实验对象，自主合作，建构数学模型

谈话：刚才同学们通过猜测和验证，发现了按一定比例放大后长方形面积与相对应线段比之间的关系，是不是在我们所学过的平面图形中都具有这样的规律呢？让我们继续研究。

电脑呈现研究素材二：p52正方形、三角形和圆分别按比例放大,

得到的图形。

1.讨论：这个几个图形放大后与放大前的面积发生了怎样的变化？你打算怎样利用这些图形进行研究？谁来简要说说操作的过程？

根据学生回答，指导学生先测量出正方形的边长、三角形的底和高、圆的半径，并写出相应的比，填入表中。再计算出每个图形放大前后的面积，并写出相应的比，填在表中。

2.交流：请同学们仔细观察表中每一组按比例放大后与放大前相对应的线段的比与放大后与放大前面积的比，再联系长方形放大后与放大前线段比与放大后与放大前面积的比的关系，在小组里说说自己

发现了什么？

师：谁能用自己的语言表达平面图形放大前后的变化规律？

在学生充分交流的基础上，师生进一步总结：把一个平面图形按n：1放大后，放大后与放大前线段比是n：1，面积的比是n2：1。

3.启发学生进一步思考：如果把一个平面图形按指定的某个比缩小，缩小前后图形面积的变化规律又是什么？

鼓励学生积极思考，大胆发言。

【说明：这一环节引导学生把实验的对象扩展到正方形、三角形和圆，通过测量、计算、探索、验证此前初步感知的规律：把一个平面图形按n：1放大后，放大后与放大前线段比是n：1，面积的比n2：1，还由此类推出把一个平面图形按一定比例缩小，缩小前后图形面积的变化规律，培养学生分析、概括、推理的能力，获得积极的情感体验，感受数学的力量。】

三、应用规律，解决实际问题

11. 的比4

例尺画出的图形，它的实际面积是多少？

让学生独立尝试——应用规律

学生可能出现两种解答方法：

⑴根据图上距离和比例尺先求出实际三角形的底和高，进而根据三角形的面积计算公式，求出实际三角形的面积。

⑵根据比例尺1：4，可知放大后的三角形与放大前的三角形的面积比是16：1，先求出图中三角形的面积，再求出实际三角形的面积。

学生尝试解答后，让学生比一比这两种方法有什么不同？

2. 电脑呈现研究素材四：P53页东港小学的校园平面图。

让学生自主合作——加深理解

同桌从图中选择一幢建筑或一处设施，测量并算出它的实际占地面积。

【说明：让学生利用所学的知识，主动探索解决实际问题的方法，积累解决问题的经验，提高解决问题的策略水平，体验解决问题的乐趣。】

四、拓展延伸，提炼升华，感受数学之美

呈现研究素材五：放大镜，同学们都玩过吧！老师这里有一个3倍的放大镜，如果用它来看一个边长为1厘米的正方形，试一试它的角会放大原来的几倍？边长会放大原来的几倍？面积又会放大原来的几倍呢？

学生实验，汇报。（在3倍的放大镜下面，正方形的角不变，它边长放大为原来的3倍，面积放大原来的9倍。）

师（小结）：一般来说，在k倍的放大镜下面：角度是原来的1倍；长度是原来的k倍；面积是原来的k2倍。这就是 1分米=10厘米，而1平方分米=100平方厘米的道理了。长度和面积的这种关系，叫做相似比原理。你可以用它来计算各种平面图形的面积，也可以用它来分析和说明许多自然现象。雾是水滴，为什么会悬浮在空中？玩具厂把大象按比例缩小，缩小到老鼠那么大。可是，缩小到老鼠那么大的大象，它的腿还是比老鼠的腿粗得多。大象的腿粗得不像话，太不成比例了，这又是为什么？课后有兴趣的学生再想一想，如果一个立体图形按一定的比例放大或缩小，他们的体积又会发生怎样的变化呢？

【说明：通过玩放大镜下的正方形，进一步加深学生对所发现规律的理解，拓宽学生的视野，另对这一规律进行课外延伸，进一步感受到比例知识的应用价值，从中感受到数学应用价值，体验数学之美。】

【总评：全课设计，一方面注重提供丰富的素材，让学生在经历猜测—验证（先观察，再比较，最后测量和计算）过程中，自主发现平面图形按一定比例放大或缩小后面积的变化规律；另一方面注重让学生应用发现的规律，解决求平面图上建筑或设施的实际占地面积问题。这样的活动，不仅使学生在活动中获得数学知识，发展数学思考，而且有利于学生感受数学探索的乐趣，增强主动探索的意识。】