数学建模与最优化技术

《数学建模与最优化技术》读书笔记

赵金玲 学号：200920373 硕2010级6班

本书是由董文永主编，清华大学出版社出版。该书主要分为五部分：数学建模与最优化的背景、数学建摸的基本概念与分类、数学建模举例、最优化的基本概念与分类、数学建摸与最优化的关系。通过阅读本书，我主要有以下收获。 1 数学建模与最优化的背景

1.1 数学建模的历史与意义

数学建模的历史和数学的历史基本上是一样的，古埃及几何学产生于尼罗河泛滥后土地的重新丈量，古印度几何学的起源则与宗教密切相关，中国的《周批算经》是讨论天文学测量的巨著。

大约公元前５世纪，毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为“四艺”，在其中追求宇宙的和谐规律性。17世纪出现了笛卡尔、牛顿、莱布尼兹等数学家，奠定了微积分的基础，其研究的对象包括行星运动、流体运动、机械运动、植物生长等均属于数学建模的范畴；19世纪后期，数学成为了研究数与形、运动与变化的学问。可以说，数学是模式的科学，其目的是要揭示人们从自然界和数学本身的抽象世界中所观察到的结构和对称性。

1.2 最优化的历史与意义

最优化问题有相当长的发展历史，最早可以追溯到牛顿、拉格朗日时代，由于牛顿等对微积分的重要贡献，才使得差分方程法解决最优化问题成为可能，这其中的先锋者包括贝诺利(Bemot)，欧拉(Eller)和拉格郎日等。20世纪50年代出现了高速计算机，最优化的发展进入旺盛期，出现了大量的新算法。Dantzig 提出了解决线性规划问题的simplex 方法；Bellman 提出了动态规划最优化最优性原理，使得约束最优化成为可能性；Kuhn 和Tucher 提出的最优化规划问题的充分和必要条件开创了非线性规划优化技术的基础。构成现代优化理论的相关技术是模拟退火SA 、遗传算法GA 、蚁群算法、禁忌搜索、神经网络、EDA 、CMA-ES 等现代启发式最优化算法，他们均是从60年代发展起来的，这些算法的产生同

样来源于建模。

2 数学建摸的基本概念与分类

2.1 模式、模型、原型、数学模型的定义

模式通常指事物或现象的标准形式，可以简单理解为模样，式样或形式。模型是指为了特定目的将原型所具有的本质属性的某一部分信息经过加工、精华、提炼而成的原型替代物。模式、模型与数学模型之间的包含关系为：模式＞模型＞数学模型，模型相对而言是模式的具体化（实物或表示形式）。

所谓数学模型是指对某种事物系统的特征和数量关系，借助数学语言而建立的符号系统。广义上讲，数学模型是指凡是以响应的客观原型作为背景加以一级抽象或多级抽象的数学概念、数学式子、数学理论等等都叫数学模型；狭义上讲，数学模型是指那些反映特定问题或特定事物的数学符号系统。本书所指数学模型是指狭义的数学模型，即仅限于解决具体的实际问题。

2.2 数学模型的分类

按照人们对原型的认识过程来分，数学模型可分为描述性数学模型和解释性数学模型。描述性数学模型即采用归纳法，从特殊到一般，从分析具体事物归纳出描述事物的数学模型的方法。解释性数学模型即采用演绎法，从一般到特殊，从一般的公理系统出发，借助于数序推理的方法给出公理系统正确解释的一种数学建模方法。

按照模型的应用领域可分为：人口模型、交通模型、生态模型、传染模型、系统模型等。

按照建立数学模型的方法可分为：微分方程模型、差分方程模型、随机模型、组合最优化模型、层次模型、最优控制模型、图论模型、规划模型等。

按照人们对系统了解程度，可分为白箱模型、灰色系统模型、黑箱模型等。白箱模型即对系统相当的了解，利用系统的机理方程建立起来的数学模型，例如：模拟流体的流动、汽车外形的设计等，还包括我们众所周知的牛顿力学、分子生物学。黑箱模型是指对系统并不了解，利用实验数据来建立系统的输入与输出之间的响应模型（逼近模型、拟合模型），是原始系统的等价模型，例如当年的开普勒三定律，就是通过观察得到的实验数据进而形成了对应的数学模型，经长期验证变成了定律。灰色系统模型是介于白箱模型和黑箱模型之间的模型，例如社

会学系统、生态系统、环境系统等。一般而言，对于白箱模型采用机理建模，对于黑箱模型采用统计建模，灰色系统可以将两种方法结合在一起。

3 数学建模的方法和步骤

3.1 数学建模的基本方法

（1）机理分析法：根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律。机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究(Case Studies)来学习。

（2）测试分析法：将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型。

（3）二者结合：用机理分析建立模型结构, 用测试分析确定模型参数。

3.2 数学建模的步骤

（1）表述：根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题。

（2）求解：选择适当的数学方法求得数学模型的解答。

（3）解释：将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象。

（4）验证：用现实对象的信息检验得到的解答。

4 最优化的基本概念与分类

4.1 最优化的基本概念

最优化技术是一门较新的学科分支，它在物质运输、自动控制、机械设计、采矿冶金、经济管理等科学技术各领域中有广泛应用。最优化所研究的问题是在众多的可行方案中怎样选择最合理的一种以达到最优目标，将达到最优目标的方案称为最优方案或最优决策，搜寻最优方案的方法称为最优化方法，关于最优化方法的数学理论称为最优化论。最优化问题至少有两要素：一是可能的方案；二是要追求的目标。后者是前者的函数，如果第一要素与时间无关就称为静态最优化问题，否则称为动态最优化问题。

最优化技术工作被分成两个方面，一是由实际生产或科技问题形成最优化的数学模型，二是对所形成的数学问题进行数学加工和求解。对于第二方面的工作，目前已有一些较系统成熟的资料，但对于第一方面工作即如何由实际问题抽象出数学模型，目前很少有系统的资料，而这一工作在应用最优化技术解决实际问题时是十分关键的基础，没有这一工作，最优化技术将成为无水之源，难以健康发展。

4.2 最优化问题分类

⎧⎧⎧线性问题⎪⎪无约束问题⎪⎨非线性问题⎧一维问题⎪⎪⎨⎪⎪⎪静态问题⎨⎩n 维问题⎩⎪⎪⎧线性规划最优化问题⎨⎪约束问题⎨⎪⎪⎩非线性规划⎩⎪⎧无约束⎪动态问题⎨⎪⎩约束⎩

5 最优化方法在数学建模中的应用

最优化问题的本质是求函数极值的问题、无约束非线性规划问题和约束非线性规划问题。常用的数学建模软件包括：MATLAB 、MAPLE 、MATHEMATICAN (Mathematics) 、SAS 、SPSS 。

5.1 线性规划问题的模型

线性规划问题的标准形式是：

其中： i = 1、L 、m ，或用矩阵表示为：s t AX = b，X j ≥0，j = 1，L ，n X ≥0，其中A 是m ×n 矩阵，c 是n 维行向量，b 是m 维列向量。

一般的线性规划问题总可以通过变量替换、引进松弛变量等手段化为标准形式，从而求解方法可以采用单纯形法、对偶单纯形法、原始—对偶单纯形法和Karmarkar 内点法等常用的方法，可用相应的数学软件求解，如Maple 、MATLAB 等，以提高计算速度。因此，难点仍在于如何从实际问题中构造出模型来。在实际应用中，可以用线性规划问题的模型求解的问题的共同点是：(1) 可用一组未知量X 1，L ，Xn 表示可选择的某一方案；(2) 存在一定的约束条件； (3) 都有一个决策目标。

5.2 非线性规划问题的模型

非线性规划问题广泛见之于工程、国防、管理等许多重要领域, 在结构设计、化学反应设计、电力分配、石油开采等方向都有直接的应用。但它不像线性规划问题具有明显的特点，有一般的模式，因此只能是我们自行去摸索出的模型，这里仅举例子加以说明。

构件的表面积问题。 一个半球形与圆柱形相接的构件，要求在构件体积V

一定的条件下，确定构件的尺寸使其表面积最小。

设该圆柱形底面半径X 1，高为X 2，则其数学模型为：

min3πX 12 + 2πX 1X 2 ，s t 2/3πX 13 +πX 1 2X 2 =V，X ≥0，i = 1，2。

结束语

在当今信息技术时代，随着科学技术的飞速发展，数学正迅速地向自然科学、技术科学、经济管理科学和社会科学等各个领域渗透，发挥愈来愈多的、甚至是举足轻重的作用，特别是数学与计算机技术的结合，使数学已成为一种重要的可以实现的技术。要发挥数学的作用，首先就是要将所研究的各种问题归结为一个相应的数学问题，即建立该问题的数学模型，在此基础上才有可能利用数学的理论和方法进行深入的分折和研究，从而为解决实际问题提供精确的数据与可靠的指导。最优化方法做为建立数学模型的一种基本方法，在解决实际问题中也发挥着越来越大的作用。

最后感谢老师的辛勤教诲，祝您身体健康！工作顺利！