圆锥曲线专题训练
解析几何专题训练题
1. 设F y 21、F 2分别是椭圆C :
x 2a
2
+
b
2
=1(a >b >0) 的左右焦点.
(1)设椭圆C
上点2
到两点F 1、F 2距离和等于4,写出椭圆C 的方程和焦点坐标;
(2)设K 是(1)中所得椭圆上的动点,求线段K F 1的中点B 的轨迹方程.
2.已知椭圆C 的离心率
e A 1(-2, 0), A 2(2,0)
(1)求椭圆C 的方程;
(2)点M 在该椭圆上,且MF 1⋅MF 2=0
M y 轴的距离;
(3)过点(1,0)且斜率为1的直线与椭圆交于P,Q两点,求△OPQ的面积.
3
F 1, F 2F 1F 2y =2bx F
2
内分成了3:1. (1)求椭圆的离心率;
(2)过点C (-1, 0) l :x =ky -1交椭圆于不同两点A B A C =2C B ∆A O B 积最大时,求直线l 的方程.
4
>b >0)的焦距为4
k 的直线l C 交于不同两点A 、B . (1)求椭圆C 的标准方程;
(2)当椭圆C 的右焦点F 在以AB 为直径的圆内时,求k 的取值范围.
5.已知动点P 与双曲线2x -2y =1F 1,F 2的距离之和为4.
22
(1)求动点P 的轨迹C 的方程;
(2)若M 为曲线C 上的动点,以M 为圆心,MF 2为半径做圆M. 若圆M 与y 轴有两个交点,
求点M 横坐标的取值范围.
6. 设动点P (x , y ) (y ≥0) 到定点F (0, 1) 的距离比它到x 轴的距离大1,记点P 的轨迹为曲线C . (1)求点P 的轨迹方程;(思考:如果没有y ≥0这个条件轨迹有变化吗?)
(2)设圆M 过A (0,2) ,且圆心M 在曲线C 上,E G 是圆M 在x 轴上截得的弦,试探究当M 运动时,弦长E G 是否为定值?为什么?
y
2=4y
7.(本题满分14分) 如图,已知F
l 过点F
l 1, l 2M , N A , B (
I 4。求椭圆方程。 (II )若OM ⋅MN =0(O 为坐标原点)e
8. 已知焦点在x 轴上,
5
的椭圆的一个顶点是抛物线x =4y 的焦点,过椭圆右焦点F
2
的直线l 交椭圆于A 、B 两点,交y 轴于点M ,且M A =λ1A F , M B =λ2B F .
(1)求椭圆的方程; (2)证明:λ1+λ2为定值。
9. (本小题满分14分)在直角坐标系xO y 中,以M (-
1, 0) 为圆心的圆与直线x --3=0相切.
(Ⅰ)求圆M 的方程;(Ⅱ)如果圆M 上存在两点关于直线m x +y +1=0对称, 求m 的值. (Ⅲ)已知A (-2, 0) 、B (2,0) ,圆内的动点P 满足|P A |⋅|P B |=|P O |,求PA ⋅PB 的取值范围.
2
10.已知双曲线C 1:x
N 2
-y =m (m >0) 与椭圆C 2:
2
x a
22
+
y b
22
=1有公共焦点F 1, F 2,
点
, 1是它们的一个公共点) .
(1)求C 1, C 2的方程;
(2)过点F 2且互相垂直的直线l 1, l 2与圆M :x +(y +1) =a 分别相交于点A , B 和C , D ,求
|A B |+|C D |的最大值,并求此时直线l 1的方程.
2
2
2
11.已知椭圆C 的对称中心为坐标原点O ,焦点在x 轴上,左右焦点分别为F 1, F 2,且|F 1F
2|
点) 在该椭圆上.(1)求椭圆C 的方程;
34
(2)设椭圆C 上的一点P 在第一象限,且满足P F 1⊥P F 2, ⊙O 的方程为x +y =4.求点P 坐标,并判断直线P F 2与⊙O 的位置关系;
(附加第三问)
(3)设点A 为椭圆的左顶点,是否存在不同于点A 的定点B , 对于 O 上任意一点M , 都有
M B M A
22
为常数,若存在,求所有满足条件的点B 的坐标;若不存在,说明理由.
12.(10年广一模)
已知两点M (-1, 0) 、N (1,0) ,点P 为坐标平面内的动点,满足|M N |⋅|N P |=M N M P
.
(1)求动点P 的轨迹方程;
(2)若点A (t , 4)是动点P 的轨迹上的一点,K (m , 0) 是x 轴上的一动点,试讨论直线A K 与圆x +(y -2) =4的位置关系.
13. (10年广州越秀区模拟1) 已知椭圆C :
x a
22
2
2
+
y b
22
=1(a >b >0) 的离心率e =
22
,左、右焦点
分别为F 1、F 2,点P (2, 3) 满足F 2在线段PF 1的中垂线上.
(1)求椭圆C 的方程;
1222
(2)如果圆E :(x -) +y =r 被椭圆C 所覆盖,求圆的半径r 的最大值.
2
14.如图,F 是椭圆的右焦点,以F 为圆心的圆过原点O 和椭圆的右顶点,设P 是椭圆的动点,P 到两焦点距离之和等于4.
(Ⅰ)求椭圆和圆的标准方程; (Ⅱ)设直线l 的方程为x =4, P M ⊥l ,垂足为M ,是否存在点P ,使得∆F P M 为等腰三角形?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由.
15.(本小题满分14分)
已知函数f (x ) =m 圆E 的方程为
x a
22
x -2
+1(m >0, m ≠1) 的图象恒通过定点(a , b ) . 设椭
+
y b
22
=1(a >b >0) .
(1)求椭圆E 的方程.
1t +1
2
(2)若动点T(t,0)在椭圆E 长轴上移动, 点T 关于直线y =-x +范围.
的对称点为S(m,n).求
n m
的取值
16.已知双曲线C :
x a
22
-
y b
22
=1(a >0, b >
0)
,右准线方程为x =
3
(I )求双曲线C 的方程;
(Ⅱ)设直线l 是圆O :x +y =2上动点P (x 0, y 0)(x 0y 0≠0) 处的切线,l 与双曲线C 交于不同的
两点A , B ,证明∠A O B 的大小为定值。
22
17.已知椭圆C :
x a
22
+
y b
22
=1(a >b >
0) 2
圆与直线x -y +=0相切.
(Ⅰ)求椭圆C 的方程; (Ⅱ)设P (4,0)
,M ,N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点,连结P N 交椭圆C 于
另一点E ,求直线P N 的斜率的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,证明直线M E 与x 轴相交于定点.
18. 已知,椭圆C 过点A (1,) ,两个焦点为(-1,0),(1,0)。
2
3
(1) 求椭圆C 的方程;
(2) E,F 是椭圆C 上的两个动点,如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数,证明直线EF 的
斜率为定值,并求出这个定值。
19.(10年佛山二模)
如图,抛物线C 1:y =8x 与双曲线C 2:
C 1, C 2在第一象限的交点,且A F 2=5.
2
x a
22
-
y b
22
=1(a >0, b >0) 有公共焦点F 2,点A 是曲线
(Ⅰ)求双曲线C 2的方程;
(Ⅱ)以F 1为圆心的圆M 与双曲线的一条渐近线相切, 圆N :(x -2) +y =
1.已知点P ,过点P 作互相垂 直且分别与圆M 、圆N 相交的直线l 1和l 2,设l 1被圆M 截 2
2
得的弦长为s ,l 2被圆N 截得的弦长为t .请说明理由.
s 是否为定值?
t
20. (09全国卷) 如图,已知抛物线E :y =x 与圆
M :(x -
4) +y =r
2
2
2
2
(r >相交于0) A 、B 、C 、D 四个点。
(I )求r 得取值范围;
(II )当四边形A B C D 的面积最大时,求对角线A C 、B D 的交点P 坐标
高三(10)班圆锥曲线专题训练题
1. 设F 1、F 2分别是椭圆C :
2
x a
22
+
y b
22
=1(a >b >0) 的左右焦点.
(1)设椭圆C
上点到两点F 1、F 2距离和等于4,写出椭圆C 的方程和焦点坐标;
(2)设K 是(1)中所得椭圆上的动点,求线段K F 1的中点B 的轨迹方程.
解:(1)
由于点2
在椭圆上
a
+
2b
2
=1得2a =4, 椭圆C 的方程为
x
2
4
+
y
2
3
=1,焦
点坐标分别为(-1, 0), (1,0) .
(2)设K F 1的中点为B (x, y)则点K (2x +1, 2y ) , 把K 的坐标代入椭圆
(2x +1)
4
2
x
2
4
+
y
2
3
=1中得
+
(2y ) 3
2
=1. 线段K F 1的中点B 的轨迹方程为 (x +
12
) +
2
y
2
34
=1.
2.已知椭圆C
的离心率
e (1)求椭圆C 的方程;
A 1(-2, 0), A 2(2,0) ;
(2)点M MF 1⋅MF 2=0
,求点M
到y 轴的距离;
(3)过点(1,0)且斜率为1的直线与椭圆交于P,Q两点,求△OPQ的面积. 【答案】解:(1)
(2)
2
3
F 1, F 2,线段F 1F 2被抛物线y =2bx 的焦点F
内分成了3:1的两段. (1)求椭圆的离心率;
(2)过点C (-1, 0) 的直线l :x =ky -1交椭圆于不同两点A 、B ,且A C =2C B ,当∆A O B 的面
积最大时,求直线l 的方程.
【答案】解:(1)由题意知,
2
………………2分
2
∴b =c , a =2b
(2)设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) , ∵A C =2C B ∴(-1-x 1, -y 1) =2(x 2+1, y 2) ,
即2y 2+y 1=0① 由(1)知,a 2=2b 2,∴椭圆方程为x +2y =2b 由
⎧x =ky -1⎨222⎩x +2y =2b 222
得(k +2) y -2ky +1-2b =
222
∴
②
……………12分
当且仅当|k |=
2
……………14分 4
2
>b >0)的焦距为4
k 的直线l C 交于不同两点A 、B . (1)求椭圆C 的标准方程;
(2)当椭圆C 的右焦点F 在以AB 为直径的圆内时,求k 的取值范围.
1分
2分
=2………………………… 4分
分
6(x 2,y 2),
7分
由(1)知右焦点F 坐标为(2,0),∵右焦点F 在圆内部,∴AF ⋅BF 0…………8分
∴(x 1 -2)(x 2-2)+ y1y 2<0
2
即 9分 11分
∴k
12分
经检验得k
l 与椭圆相交,∴直线l 的斜率k 的范围为(-
5.已知动点P 与双曲线2x -2y =1F 1,F 2的距离之和为4.
(1)求动点P 的轨迹C 的方程;
(2)若M 为曲线C 上的动点,以M 为圆心,MF 2为半径做圆M. 若圆M 与y 轴有两个交点,
求点M 横坐标的取值范围.
22
【答案】(1)F 1(-1, 0), F 2(1, 0)
∴P 点的轨迹是椭圆,其中a =2,
c =1,
∴C 6分)
(2
M (x 0, y 0)
∵圆M 与y
d
+y 0222
3x 0+8x 0-16
)
……(12
分)
又-2≤x 0≤2 ……(13分)
6. 设动点P (x , y ) (y ≥0) 到定点F (0, 1) 的距离比它到x 轴的距离大1,记点P 的轨迹为曲线C . (1)求点P 的轨迹方程;(思考:如果没有y ≥0这个条件轨迹有变化吗?)
(2)设圆M 过A (0,2) ,且圆心M 在曲线C 上,E G 是圆M 在x 轴上截得的弦,试探究当M 运动时,弦长E G 是否为定值?为什么?
解:(1)依题意知,动点P 到定点F (0, 1) 的距离等于P 到直线y =-1的距离,曲线C 是以原点为
顶点,F (0, 1) 为焦点的抛物线………………………………2分
∵
p 2
=1 ∴p =2
2
∴ 曲线C 方程是x =4y ………4分
(2)解法1:过点M 作x轴的垂线,垂足为D, 则点D 平分EG, 设圆心为M (a , b ) ,则
|D G |=|M A |-|M D |=a +(b -2) -b =a -4b +4, a =4b
y
2
2
2
2
2
2
2
2
∴|D G |=2, |E G |=4, 即当M 运动时,弦长E G 为定值4.
2=4y
解法2:设圆的圆心为M (a , b ) , ∵圆M 过A (0,2) ,
∴圆的方程为 (x -a ) +(y -b ) =a +(b -2) ………7分 令y =0得:x -2ax +4b -4=0 设圆与x 轴的两交点分别为(x 1, 0) ,(x 2, 0)
方法1:不妨设x 1>x 2
2
2222
,由
2
x 1=
2
x 2=
…………………………10分
∴x 1-x 2=
2
2
又∵点M (a , b ) 在抛物线x =4y
上,∴a =4b , ∴ x 1-x 2=
=4,即E G =4--------------------------------13分
∴当M 运动时,弦长E G 为定值4…………………………………………………14分 〔方法2:∵x 1+x 2=2a ,x 1⋅x 2=4b -4 ∴
(x 1-x 2) =(x 1+x 2) -4x 1⋅x 2=(2a ) -4(4b -4) =4a -16b +16
2
2
2
2
222
又∵点M (a , b ) 在抛物线x =4y 上,∴a =4b , ∴ (x 1-x 2) =16 x 1-x 2=4
∴当M 运动时,弦长E G 为定值4〕 7.(本题满分14分) F
l F 且与双
l 1, l 2M , N A , B .
(I (II 7分
10分。12分
8. (本小题满分14分)
-----------------------------------14分
已知焦点在x 轴上,的椭圆的一个顶点是抛物线x =4y 的焦点,过椭圆右
2
5
焦点F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点,交y 轴于点M ,且M A =λ1A F , M B =λ2B F .
(1)求椭圆的方程; (2)证明:λ1+λ2为定值。
x 22解:(1
)依题意,设椭圆方程为a
2
+
y b
2
=1(
a >b >0) (1分)
因为抛物线x 2
=4y 的焦点为(0,1),所以b ≠1. (2分)
c 由e =a
==
5
, 得a = (4分)
故椭圆方程为
x
2
2
5
+y
=1. (5分)
(2)依题意设A 、B 、M 的坐标分别为(x 1, y 1), (x 2, y 2), (0,y 0) ,
由(1)得椭圆的右焦点F (2,0), (6分)
所以M A =(x 1, y 1-y 0), A F =(2-x
1, y 1)
M B =(x 2, y 2-y 0), B F =(2-x 2, -y 2).
⎧2λ⎪x =1, 由 1
M A =λ⎪1+λ11A F , 得⎨ (8分)
⎪⎪y 1
=y 0⎩1+λ. 1⎧2λ2由 ⎪x 2
=M B =λ得⎪1+λ, ⎨21B F , (10分)
⎪⎪y =y 02. ⎩
1+λ2
⎧1⎪⎪5
因为A 、B 在椭圆上,所以⎨
⎪1⎪⎩5
2
2
(
2λ21+λ12λ21+λ2
) +(
2
2
y 01+λ1
y 01+λ2
) -1,
2
) =1,
2
() +(
⎧⎪λ2+10λ1+(5-5y 0) =0,
即⎨2 (12分) 2
⎪⎩λ2+10λ2+(5-5y 0) =0.
所以λ1, λ2是方程λ+10λ+(5-5y 0) =0的两根,
9. (本小题满分14分)在直角坐标系xO y 中,以M (-
1, 0) 为圆心的圆与直线x -
-3=0相切.
22
(Ⅰ)求圆M 的方程;(Ⅱ)如果圆M 上存在两点关于直线m x +y +1=0对称, 求m 的值. (Ⅲ)已知A (-2, 0) 、B (2,0) ,圆内的动点P 满足|P A |⋅|P B |=|P O |,求PA ⋅PB 的取值范围. 解析:(Ⅰ)依题意,圆M 的半径r 等于圆心M (-
1, 0) 到直线x -
即r =
2
2
2
-3=0的距离,……2分
=2. ∴圆M 的方程为(x +1) +y =4. …………………4分
(Ⅱ)∵圆M 上存在两点关于直线m x +y +1=0对称, ∴直线m x +y +1=0必过圆心M (-1, 0) ,
∴-m +1=0⇒m =1 ………………………………………………………7分 (Ⅲ)设P (x ,y ) ,由|P A |⋅|P B |=|P O |,
222
-y ) (2-x ,-y ) =x -4+y =2(y -1). …………………11分 ∴P A P B =(-2-x ,
2
2
2
=x +y ,即 x -y =2. …………………9分
2
2
2
2
22
∴P A P B 的取值范围为[-2, 6) . …………………
∵点P 在圆M 内,∴(x +1) +y
22
22
10.已知双曲线C 1:x
N 2
-y =m (m >0) 与椭圆C 2:
2
x a
+
y b
=1有公共焦点F 1, F 2,
点
, 1是它们的一个公共点) .
(1)求C 1, C 2的方程;
(2)过点F 2且互相垂直的直线l 1, l 2与圆M :x +(y +1) =a 分别相交于点A , B 和C , D ,求
|A B |+|C D |的最大值,并求此时直线l 1的方程.
2
2
2
解:(1)
点N 是双曲线C 1:x -y =m (m >
0) 上的点,∴m =-1=1. ∴双曲线C 1:x -y =
1,从而F 1(0), F 20) ,∴a >b ,且a -b =2. ①
又点N 在椭圆上,则
2
2
222
222222
2a
2
+
1b
2
=1②
由①②得a =4, b =2,所以椭圆的方程为
x
2
4
+
y
2
2
=1.
(2)设圆M 的圆心为M ,l 1、l 2被圆M 所截得弦的中点分别为E , F ,弦长分别为d 1, d 2,因为
四边形AECF 是矩形,所以M E +M F =F 2M
2
2
2
=3, 即
⎛⎛d 1⎫⎫⎛⎛d 2⎫⎫224-+4-=3d +d =20
,化简得 ⎪ ⎪12 ⎪⎪ ⎪⎪ ⎝2⎭⎭⎝⎝2⎭⎭⎝
22
从而d 1+d 2≤
∴d 1=d 2=
=
⇔d 1=d 2=
∴(d 1+d 2) m ax =
即l 1、l 2被圆C
所截得弦长之和的最大值为. 11.(本小题满分14分)
已知椭圆C 的对称中心为坐标原点O ,焦点在x 轴上,左右焦点分别为F 1, F 2,且|F 1F
2|
点) 在该椭圆上.
34
(1)求椭圆C 的方程;
(2)设椭圆C 上的一点P 在第一象限,且满足P F 1⊥P F 2, ⊙O 的方程为x +y =4.求点P 坐标,并判断直线P F 2与⊙O 的位置关系;
x a
22
2
2
解:(1)设椭圆的方程为+
y b
22
=1, (a >b >0) ,由题意可得:
椭圆C
两焦点坐标分别为F 1(
0) ,F 20) ------------------------------1分
由点) 在该椭圆上,∴2a =
3
4
=6.
∴a =
3, 又c = b =9-5=4,---------------------------3分
2
故椭圆的方程为
x
2
9
+
y
2
4
=1.-----------------------------------------------------4分
(2)解法1:设点P 的坐标为(x , y )(x >0, y >0) , 则
由P F 1⊥P F 2得F 1P ⋅F 2P =0∴(x +
2
2
x
2
9
+
y
2
4
2
=1-----------①
x -+y =0
即x +y =5-------------------------------------②----------------5分
⎧x =⎪
⎪5
------7分 由①②联立结合x >0, y >
0解得:⎨,即点P
的坐标为55⎪
y =⎪5⎩
∴直线P F
2的方程为2x +y -=0
∵圆x +y =4的圆心O 到直线P F
2的距离d =
22
=2
∴直线P F 2与 O 相切-------------------------------------------9分 [解法2:设点P 的坐标为(x , y )(x >0, y >0)
∵P F 1⊥
P F 2,c =
∴|P F 1|+|P F 2|=4c =20
2
2
2
又∵|P F 1|+|P F 2|=2a =6 ∴|P F 1|⋅|P F 2|=8 ∵2cy =|P F 1|⋅|P F 2|
∴=8
5
5
5
5
∴y =
,x =,即点P
的坐标为(, ,下同解法1.]
(附加第三问)
(3)设点A 为椭圆的左顶点,是否存在不同于点A 的定点B , 对于 O 上任意一点M , 都有
M B M A
为常数,若存在,求所有满足条件的点B 的坐标;若不存在,说明理由.
2
2
(附加第三问) 解答(3)设点M 的坐标为(x , y ) ,则x +y =4 假设存在点B (m , n ) ,对于 O 上任意一点M , 都有
|M B |=(x -m ) +(y -n ) , |M A |=(x +3) +y
2
2
2
2
2
2
M B M A
为常数,则
∴
(x -m ) +(y -n )
(x +3) +y
2
2
22
=λ(常数) 恒成立-----------------------------11分
可得(6λ+2m ) x +2ny +13λ-m -n -4=0
4⎧λ=⎪9
⎧3λ+m =0⎧λ=1⎪
4⎪⎪⎪
∴⎨2n =0∴⎨m =-或⎨m =-3(不合舍去)--------13分
3⎪n =0⎪⎪22
13λ-m -n -4=0⎩⎩⎪n =0
⎪⎩
22
∴存在满足条件的点B ,它的坐标为(-12.(10年广一模)
43
, 0) .---------------------------------------14分
已知两点M (-1, 0) 、N (1,0) ,点P 为坐标平面内的动点,满足|M N |⋅|N P |=M N M P
.
(1)求动点P 的轨迹方程;
(2)若点A (t , 4)是动点P 的轨迹上的一点,K (m , 0) 是x 轴上的一动点,试讨论直线A K 与圆x +(y -2) =4的位置关系.
(1)解:设P (x , y ) ,则M N =(2,0) ,N P =(x -1, y ) ,M P =(x +1, y ) .…………2分
2
2
由|M N |⋅|N P |=M N ⋅M P ,得=2(x +1) ,…………………………4分 化简得y =4x .所以动点P 的轨迹方程为y =4x . ……………………5分
(2)解:由A (t , 4)在轨迹y =4x 上,则4=4t ,解得t =4,即A (4, 4).…………6分 当m =4时,直线A K 的方程为x =4,此时直线A K 与圆x +(y -2) =4相离.………7分 当m ≠4时,直线A K 的方程为y =
44-m
(x -m ) ,即4x +(m -4) y -4m =0.…………8分
2
2
2
2
22
22
圆x +(y -2) =4的圆心(0,2) 到直线A K
的距离d =
,
令d =
令d ==2,解得m =1;
令d =>2,解得m >1.
综上所述,当m
当m =1时,直线A K 与圆x +(y -2) =4相切;
当m >1时,直线A K 与圆x +(y -2) =4相离.…………14分
x a
22
2
2
2
2
22
13. (10年广州越秀区模拟1) 已知椭圆C :+
y b
22
=1(a >b >0) 的离心率e =
22
,左、右焦点
分别为F 1、F 2,点P (2, 3) 满足F 2在线段PF 1的中垂线上.
(1)求椭圆C 的方程;
1222
(2)如果圆E :(x -) +y =r 被椭圆C 所覆盖,求圆的半径r 的最大值.
2
解:(1)椭圆C 的离心率e =
22
,得
c a
=
22
,其中c =a
2
-b
2
, 椭圆C 的左、右焦点分别为
2
2
2
F 1(-c , 0), F 2(c , 0) , 又点F 2在线段PF 1的中垂线上, ∴|F 1F 2|=|P F 2|, ∴(2c ) =(3) +(2-c ) ,
x
2
解得c =1, a =2, b =1, ∴椭圆C 的方程为
22
2
+y
2
=1.
(2)设P (x 0, y 0) 是椭圆C 上任意一点, 则
x 02
2
+y 0=
1, |P E |=
2
y 0=1-
2
x 02
2
,
∴|P E |=
=
≤x 0≤当x 0=1时, |P E |m in =
=
2
∴半径r
2
.
14.如图,F 是椭圆的右焦点,以F 为圆心的圆过原点O 和椭圆的右顶点,设P 是椭圆的动点,P 到两焦点距离之和等于4.
(Ⅰ)求椭圆和圆的标准方程; (Ⅱ)设直线l 的方程为x =4, P M ⊥l ,垂足为M ,是否存在点P ,使得∆F P M 为等腰三角形?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由.
解:(Ⅰ)由已知可得2a =4,
x
2
a =2c ⇒a =2, c =1, b =a -c =3
2
222
∴椭圆的标准方程为
4
+
y
3
=1,圆的标准方程为(x -1) +y =1
22
(Ⅱ)设P (x , y ) ,则M (4,y ), F (1,0)
x
2
∵P (x , y ) 在椭圆上∴
4
+
y
2
3
2
=1⇒y =3-
34
2
2
34
x
2
|P F |=(x -1) +y =(x -1) +3-
222
x =
2
14
(x -4)
2
|P M |=|x -4|=9+y =12-
222
34
x 12
|P M |,|P F |≠|P M |,
l 恰为椭圆的右准线,∴|P F |=
(1)若|P F |=|F M |则|P F |+|F M |=P M |这与三角形两边之和大于第三边矛盾
∴|P F |≠|F M |
(2)若|P M |=|F M |, 则(x -4) =12-∵|x |≤2 ∴x =
47
2
34
x ,解得x =4或x =
47, ±2
47
∴y =±
47
∴P (7+
综上可得存在两点(,
7
47
,(, -
x -2
使得△PFM 为等腰三角形.
15.(本小题满分14分)
已知函数f (x ) =m 圆E 的方程为
x a
22
1(m >0, m ≠1) 的图象恒通过定点(a , b ) . 设椭
+
y b
22
=1(a >b >0) .
(1)求椭圆E 的方程.
1t +1
2
(2)若动点T(t,0)在椭圆E 长轴上移动, 点T 关于直线y =-x +范围.
(1) 当x =2时
, f (2) =m 2-2+
x
2
的对称点为S(m,n).求
n m
的取值
1=
∴函数f (x
) 的图象通过定点(
. ∴a =2, b =
所求椭圆的方程为
4
+
y
2
2
=1.
(2) 点T 与点S 关于直线
1⎧n ⎧m =, =1, 2⎪1⎪⎪t +1m -t y =-x +2对称, ∴⎪解方程组得⎨
⎨t +1
⎪n =1-t ⎪n =-m +t +1.
22
⎪⎪t +1⎩2t +1⎩2
/
2
.
设φ(t ) =
n m
=-t -t +1(t ∈[-2, 2]). φ(t ) =-2t
3-1
数. φ(-2) =11, φ(2) =-9, ∴
n m
的取值范围是[-9,11].
16.已知双曲线C :
x a
22
-
y b
22
=1(a >0, b >
0)
,右准线方程为x =
3
(I )求双曲线C 的方程;
(Ⅱ)设直线l 是圆O :x +y =2上动点P (x 0, y 0)(x 0y 0≠0) 处的切线,l 与双曲线C 交于不同的
两点A , B ,证明∠A O B 的大小为定值。
22
【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识,考查曲线和方程的关系等
解析几何的基本思想方法,考查推理、运算能力.
⎧a 2=⎪⎪3,解得a =1, c =(Ⅰ)由题意,得⎨c
⎪c =⎪⎩
a
2
2
2
∴b =c -a =2,∴所求双曲线C 的方程为x -
22
(Ⅱ)点P (x 0, y 0)(x 0y 0≠0)在圆x +y =2上,
2
y
2
2
=1.
圆在点P (x 0, y 0)处的切线方程为
y -y 0=-
x 0y 0
(x -
2
x 0),化简得x 0x +y 0y =2.
⎧2y
=1⎪x -22222
由⎨及x 0+y 0=2得(3x 0-4)x -4x 0x +8-2x 0=0, 2
⎪x x +y y =2
0⎩0
∵切线l 与双曲线C 交于不同的两点A 、B ,且00,
2
2
2
2
2
设A 、B 两点的坐标分别为(x 1, y 1), (x 2, y 2), 则x 1+x 2=
4x 03x 0-4
2
, x 1x 2=
8-2x 0
2
2
3x 0-4
,
O A ⋅O B
∵co s ∠A O B =,且
O A ⋅O B
1
O A ⋅O B =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+2(2-x 0x 1)(2-x 0x 2),
y 0
1
2
=x 1x 2+
⎡4-2x 0(x 1+x 2)+x 0x 1x 2⎤2⎣⎦2-x 0
2
222⎡x 0(8-2x 0)⎤8x 0
⎢4-⎥ =++2222
3x 0-42-x 0⎢3x 0-43x 0-4⎥
⎣⎦
8-2x 0
1
==
8-2x 0
2
2
3x 0-4
-
8-2x 0
2
2
3x 0-4
=0. ∴ ∠A O B 的大小为90.
︒
(20)(本小题满分12分) 17.已知椭圆C :
x a
22
+
y b
22
=1(a >b >
0) 2
圆与直线x -y +=0相切.
(Ⅰ)求椭圆C 的方程; (Ⅱ)设P (4,0)
,M ,N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点,连结P N 交椭圆C 于
另一点E ,求直线P N 的斜率的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,证明直线M E 与x 轴相交于定点. 解:
(Ⅰ)由题意知e =
c a
2
=
2
2
所以e =
2
c a
22
=
a -b a
2
=
34
,即a =4b ,
22
∴a =2b
又因为b =
=1,∴a =2
故椭圆C 的方程为C :
x
2
4
+y =1.…………………………………………4分
2
(Ⅱ)由题意知直线P N 的斜率存在,设直线P N 的方程为y =k (x -4) .
⎧y =k (x -4),
⎪2222
(4k +1) x -32k x +64k -4=0. ① …………6分 由⎨x 2 得2
+y =1. ⎪⎩4
由∆=(-32k ) -4(4k +1)(64k -4) >0, 得12k -1
36
36
2
2222
∴-
又k =0不合题意,所以直线P N 的斜率的取值范围是:(-分
(Ⅲ)设点N (x 1, y 1) ,E (x 2, y 2) ,则M (x 1, -y 1) .
直线M E 的方程为y -y 2=
y 2+y 1x 2-x 1
(x -x 2) .
36
, 0) (0,
36
) .……………9
令y =0,得x =x 2-
y 2(x 2-x 1) y 2+y 1
.…………………………………………11分
将y 1=k (x 1-4) ,y 2=k (x 2-4) 代入整理,得x =
2x 1x 2-4(x 1+x 2)
x 1+x 2-8
. ②
由①得 x 1+x 2=
32k
2
2
4k +1
,x 1x 2=
64k -44k +1
2
2
代入②
整理,得x =1.………………………………………………………………13分 所以直线M E 与x 轴相交于定点(1,0) .……………………………………14分 18. 已知,椭圆C 过点A (1,) ,两个焦点为(-1,0),(1,0)。
2
3
(3) 求椭圆C 的方程;
(4) E,F 是椭圆C 上的两个动点,如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数,证明直线EF 的
斜率为定值,并求出这个定值。
(20)解:
(Ⅰ)由题意,c=1,可设椭圆方程为
x
2
11+b
2
+
94b
2
=1,解得b
2
=3,b
2
=-
34
(舍去)
所以椭圆方程为
4
+
y
2
3
=1。 ……………4分
(Ⅱ)设直线AE 方程为:y =k (x -1) +
2
2
32
,代入
2
x
2
4
+
y
2
3
=1得
(3+4k ) x +4k (3-2k ) x +4(
3232
-k ) -12=0
设E (x E , y E ) , F (x F , y F ) , 因为点A (1,) 在椭圆上,所以
4(3-k ) -12
22
x F =
3+4k
y E =kx E +
32
-k ………8分
又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数,在上式中以—K 代K ,可得
4(x F =
32
+k ) -123+4k
22
+k
y E =-kx E +
32
所以直线EF 的斜率K E F =
y F -y E x F -x E
12
=
-k (x F +x E ) +2k
x F -x E
=
12
即直线EF 的斜率为定值,其值为19.(10年佛山二模)
。 ……12分
如图,抛物线C 1:y =8x 与双曲线C 2:
C 1, C 2在第一象限的交点,且A F 2=5.
2
x a
22
-
y b
22
=1(a >0, b >0) 有公共焦点F 2,点A 是曲线
(Ⅰ)求双曲线C 2的方程;
(Ⅱ)以F 1为圆心的圆M 与双曲线的一条渐近线相切, 圆N :(x -2) +y =
1.已知点P ,过点P 作互相垂 直且分别与圆M 、圆N 相交的直线l 1和l 2,设l 1被圆M 截 得的弦长为s ,l 2被圆N 截得的弦长为t . 请说明理由.
解:(Ⅰ)∵抛物线C 1:y =8x 的焦点为
F 2(2, ,0 ) …………… 1分
2
2
2
s t
是否为定值?
∴双曲线C 2的焦点为F 1(-2, 0) 、F 2(2,0) , …………………… 2分
2
设A (x 0, y 0) 在抛物线C 1:y =8x 上,且A F 2=5,由抛物线的定义得,x 0+2=5,∴x 0=3, …
3分
2
∴y 0=8⨯
3,∴y 0=±,
∴|A F 1|=
=7, ………… 5分
又∵点A 在双曲线上,由双曲线定义得,2a =|7-5|=2,∴a =1, …………… 6分
y
2
∴双曲线的方程为:x -
s t
2
3
=1. ……………………… 7分
(Ⅱ)为定值. 下面给出说明. …………………… 8分
2
2
2
设圆M 的方程为:(x +2) +y =
r ,双曲线的渐近线方程为:y =, ∵圆M
与渐近线y =相切,∴圆M
的半径为r 2=
2
2
=
… 9分
故圆M :(x +2) +y =3, ……………… 10分 设l
1的方程为y -设l
2的方程为y -
=k (x -
1) ,即kx -y +
k =0,
=-
1k
(x -
1) ,即x +ky --1=0,
|
-1|∴点M 到直线l
1的距离为d 1=11分
|3k -N 到直线l
2的距离为d 2=
,………………
∴直线l 1被圆M
截得的弦长s = 直线l 2被圆N
截得的弦长t == ……… 12分
= …………………………
13分
∴
20. (09全国卷)
如图,已知抛物线E :y =x 与圆M :(x -4) +y =r (r >0) 相交于A 、B 、C 、D 四个点。
(I )求r 得取值范围;
(II )当四边形A B C D 的面积最大时,求对角线A C 、B D 的交点P 坐标
分析:(I )这一问学生易下手。将抛物线E :y =x 与圆M :(x -4) +y =r (r >0) 的方程联立,
消去y ,整理得x -7x +16-r =0.............(*)
抛物线E :y =x 与圆M :(x -4) +y =r (r >0) 相交于A 、B 、C 、D 四个点的充要条
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
s t
=
=
=,故
s t
……… 14分
22
件是:方程(*)有两个不相等的正根即可.
易得r ∈4) . 考生利用数形结合及函数和方
程的思想来处理也可以.
(II )考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标。因此利用设而不求、整体代入的 方法
处理本小题是一个较好的切入点.
设四个交点的坐标分别为A (x 1,
、B (x 1,
、C (x 2,
2
、D (x 2。
则由(I )根据韦达定理有x 1+x 2=7, x 1x 2=16-
r ,r ∈则S =
∴S
2
2
4)
12
⋅2⋅|x 2-x 1|2
=|x 2-x 1|+
2
=[(x 1+x 2) -4x 1x 2](x 1+x 2+=(7+r -15)
222
=t ,则S =(7+2t ) (7-2t ) 下面求S 的最大值。
方法一:利用三次均值求解。三次均值目前在两纲中虽不要求,但在处理一些最值问题有时很方便。
它的主要手段是配凑系数或常数,但要注意取等号的条件,这和二次均值类似。
S
2
=(7+2t ) 2
(7-2t ) =
12
(7+2t )(7+2t )(14-4t )
≤
17+2t +7+2t +14-4t 31283
2(3) =2⋅(3
) 当且仅当7+2t =14-4t ,即t =
76
时取最大值。经检验此时r ∈2
4) 满足题意。
方法二:利用求导处理,这是命题人的意图。具体解法略。 下面来处理点P 的坐标。设点P 的坐标为:P (x p , 0)
由A 、P 、
C =
得x 7x p ==t =
。
1-x 2
x 1-
x p
6
以下略。