数学建模血样的分组检验教学设计
数学建模血样的分组检验教学设计
廖辉煌（乐昌市 城关中学）
1. 索引
血样分组检验是医学统计中普遍使用的一种调查方法，但是并不是每一次调查都需要分组，情况取决于以前对该病毒感染概率的统计数字，即题目中的先验概率。
通过建立概率模型，我们得出在不考虑不平均分组的情况下，当阳性的先验概率时，不分组即采取逐个检验的方法为宜；当时，进行一次分组后再对呈阳性的组进行逐个检验效果最佳；当时，应采取两次或多次分组。除此，我们还给出了解释该问题的初等方法。 在模型评价与推广中，我们结合实际情况给出了另一种常用的分组方法――二分法，并提出平均分组的现实可能性和先验概率是影响模型的主要因素。
2. 问题
要在人群中（数量很大，基本上是健康人）找出某种病毒的感染者，为减少检验次数（目的是降低费用），通常采用筛选的办法。即假设人群总数为，将人群分成组，每组的人数为，将每组的份血样混在一起进行化验，若化验结果呈阳性，则需要对改组的每个人重新进行化验，以确定谁是病毒感染者；若化验结果呈阴性，则表明该组全体成员均为阴性，不需要重新化验。
1. 已知阳性的先验概率为，当固定时，如何分组可使得化验次数最小；
2. 找出不应分组的的取值范围；
3. 讨论两次分组的情况，即检测为阳性的组再次分组检验的情况。
3. 问题的分析
本问题所述的情况在医学统计、病毒检测等诸多医学问题中是必须首要解决的问题。进行某种疾病的调查需要大量的统计数据，而统计数据的取得主要靠实验的方法，这就不可避免地要面临如何分组的问题是效率最高（花销最少），找出最优分组方法是本文的主要目的。 由于人群总体数固定，在讨论问题时，我们可以借助于平均每人检验次数这个量来衡量分组与不分组情况的好坏，这是概率模型的主要思路。对于该问题，若不分组，一个人一个人检验，共需检验次，平均每个人检验一次；采取分组的方法，直观上可以感觉到会降低检验次数。分组时计算每个人的平均检验次数，若该值小于1，即认为分组比不分组好。对于两次分组的问题，也采用上述思路，只要两次分组时平均每个人检验次数小于一次分组时平均每个人的检验次数，就可以认为两次分组的方法优于一次分组的方法。
我们也可以借助总的检验次数来进行分析，这是初等模型的主要思路。
1. 模型假设
下面给出该模型的基本假设：
1. 在实际操作中，多次分组的方法要比只分一次组或不分组的方法操作起来繁琐、耗时，且需要更多的人力把工作的重点放在分组的方案上，实际增加了开支。所以若在人数不太多，且两种方法平均每人检验次数相近，宏观上解释就是当不分组或不继续分组比分组或继续分组的次数少或二者差距不大时，使用少分组的方法效率更高、费用更省。本题由于叙述了人数很大的条件，故哪种方法平均每人检验次数少，就采用那种方法；
2. 可以理解先验概率为对某个人检验一次，结果呈阳性的概率，并假设先验概率在一次检验中保持不变（即假设该概率只与疾病有关，而对同一种疾病该值为常量）；
3. 每个人检验一次是阳性的概率相互独立（即不考虑是否有遗传性与病毒的传染）；
4. 为了简化模型便于讨论分析，假设每次分组时都能达到平均分配，而且在进行再次分组时采用的对呈阳性的组进行组内分组的形式。这在实际中是普遍采用的一种方法，它比把呈阳性的组的人重新打乱再进行分组的效率高出很多而且易被人接受。如果设分别表示第一、二次分组时分出的组数， 分别表示第一、二次分组每组的人数，则第一次分组总人数
，第二次分组的总人数实现最优分组方案。 。可以通过调整的值